2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)入門試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）下列語(yǔ)句中不是命題的是（）A.3是素?cái)?shù)B.請(qǐng)勿吸煙C.雪是白色的D.5+7=12設(shè)集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A∩B的結(jié)果是（）A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,4}D.?命題公式?(p∨q)的等價(jià)式是（）A.?p∨?qB.?p∧?qC.p→?qD.?p→q設(shè)集合A={a,b,c}，則A的冪集P(A)的元素個(gè)數(shù)是（）A.3B.6C.8D.9若關(guān)系R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，則R不滿足的性質(zhì)是（）A.自反性B.對(duì)稱性C.傳遞性D.反自反性下列圖形中是歐拉圖的是（）A.有4個(gè)頂點(diǎn)、5條邊的連通圖B.頂點(diǎn)度數(shù)分別為1,1,2,2的連通圖C.存在奇度數(shù)頂點(diǎn)的連通圖D.每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)均為偶數(shù)的連通圖設(shè)函數(shù)f:Z→Z，f(x)=2x+1，則f是（）A.單射但非滿射B.滿射但非單射C.雙射D.既非單射也非滿射一棵有5個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù)，其邊數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6命題“所有偶數(shù)都是整數(shù)”的謂詞邏輯符號(hào)化形式是（）A.?x(P(x)→Q(x))，其中P(x)：x是偶數(shù)，Q(x)：x是整數(shù)B.?x(P(x)∧Q(x))，其中P(x)：x是偶數(shù)，Q(x)：x是整數(shù)C.?x(P(x)∧Q(x))，其中P(x)：x是偶數(shù)，Q(x)：x是整數(shù)D.?x(P(x)→Q(x))，其中P(x)：x是偶數(shù)，Q(x)：x是整數(shù)下列關(guān)系中是偏序關(guān)系的是（）A.整數(shù)集上的“小于”關(guān)系B.集合{1,2,3}上的“整除”關(guān)系C.實(shí)數(shù)集上的“不等于”關(guān)系D.學(xué)生集合上的“同學(xué)”關(guān)系二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）設(shè)命題p：“今天下雨”，q：“我去圖書館”，則命題“如果今天不下雨，我就去圖書館”的符號(hào)化形式為_(kāi)_______。集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，則A∪B=，A-B=。設(shè)關(guān)系R={(1,2),(2,3),(3,1)}是集合{1,2,3}上的關(guān)系，則R的自反閉包r(R)=，對(duì)稱閉包s(R)=。無(wú)向圖G有6個(gè)頂點(diǎn)，各頂點(diǎn)度數(shù)分別為1,2,2,3,3,3，則G的邊數(shù)為_(kāi)_______。一棵無(wú)向樹(shù)有3個(gè)2度頂點(diǎn)，2個(gè)3度頂點(diǎn)，其余頂點(diǎn)都是葉子，則該樹(shù)的葉子數(shù)為_(kāi)_______。三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）用真值表判斷命題公式(p→q)∧(?p∨q)的類型（重言式、矛盾式或可滿足式）。設(shè)集合A={1,2,3,4}，關(guān)系R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,2)}，（1）寫出R的關(guān)系矩陣；（2）判斷R是否具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，并說(shuō)明理由。求命題公式(p∧q)∨r的主析取范式和主合取范式。已知無(wú)向圖G的頂點(diǎn)集V={v1,v2,v3,v4,v5}，邊集E={(v1,v2),(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v5),(v4,v5)}，（1）畫出G的圖形；（2）寫出G的鄰接矩陣；（3）判斷G是否為連通圖，并說(shuō)明理由。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）證明：對(duì)于任意集合A、B、C，有(A∩B)∪C=A∩(B∪C)當(dāng)且僅當(dāng)C?A。證明：在任何無(wú)向圖中，度數(shù)為奇數(shù)的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。五、應(yīng)用題（本大題共1小題，共10分）某中學(xué)組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)學(xué)科競(jìng)賽，其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有20人，參加物理競(jìng)賽的有15人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有12人；同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽的有5人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)競(jìng)賽的有3人，同時(shí)參加物理和化學(xué)競(jìng)賽的有2人；三個(gè)學(xué)科競(jìng)賽都參加的有1人。求參加競(jìng)賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實(shí)際試卷中無(wú)需提供）試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：知識(shí)點(diǎn)覆蓋：涵蓋命題邏輯（選擇1,3,9，計(jì)算1,3）、集合論（選擇2,4，填空2，計(jì)算2,4，證明1）、關(guān)系（選擇5，填空3，計(jì)算2）、圖論（選擇6,10，填空4,5，計(jì)算4，證明2）、函數(shù)（選擇7）等核心內(nèi)容，符合教學(xué)大綱要求。難度梯度：基礎(chǔ)題（選擇1-5,7,8，填空1-3）占60%，中檔題（選擇6,9,10，填空4,5，計(jì)算1-3）占30%，綜合題（證明1-2，應(yīng)用1）占10%，整體難度適中。題型多