2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新項(xiàng)目設(shè)計(jì)試卷一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）智慧城市情境題某城市推行"綠色出行"計(jì)劃，共享單車(chē)停放點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系$f(x)=\log_2(x+1)+\sqrt{4-x}$，則該函數(shù)的定義域是（）A.$(-1,4]$B.$[0,4]$C.$(-1,+\infty)$D.$[1,4]$傳統(tǒng)文化應(yīng)用題《九章算術(shù)》中記載的"芻甍"是指底面為矩形的屋脊?fàn)顜缀误w。若某芻甍的三視圖如圖所示（單位：m），其體積為（）A.$12\sqrt{3}$B.$16$C.$24$D.$32$跨學(xué)科融合題在生物學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某種細(xì)菌的繁殖數(shù)量$N(t)$（單位：個(gè)）與時(shí)間$t$（單位：小時(shí)）滿(mǎn)足$N(t)=N_0e^{kt}$。若$3$小時(shí)后數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的$8$倍，則$k=$（）A.$\ln2$B.$\ln3$C.$2\ln2$D.$3\ln2$數(shù)據(jù)分析題某電商平臺(tái)"雙十一"期間的日銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：$120,150,180,210,240,270,300$。若去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，剩余數(shù)據(jù)的方差為（）A.$1800$B.$2000$C.$2250$D.$2500$新定義題型定義"智慧數(shù)"：對(duì)于正整數(shù)$n$，若存在整數(shù)$a,b$使得$n=a^2+2b^2$，則稱(chēng)$n$為智慧數(shù)。下列數(shù)中不是智慧數(shù)的是（）A.$5$B.$10$C.$13$D.$17$物理情境題某物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡方程為$y=-\frac{1}{20}x^2+\frac{3}{5}x+2$（單位：m），則物體的最大高度為（）A.$3.2$mB.$4.5$mC.$5.8$mD.$6.3$m邏輯推理題甲、乙、丙三名學(xué)生在數(shù)學(xué)建模比賽中獲獎(jiǎng)，分別來(lái)自A,B,C三所學(xué)校。已知：①甲不是A校學(xué)生；②乙不是B校學(xué)生；③A校學(xué)生未獲一等獎(jiǎng)。若丙獲一等獎(jiǎng)，則乙來(lái)自（）A.A校B.B校C.C校D.無(wú)法確定動(dòng)態(tài)幾何題在棱長(zhǎng)為$2$的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$P$在棱$CC_1$上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐$P-ABD$的體積（）A.隨$P$點(diǎn)位置變化先增大后減小B.恒為$\frac{4}{3}$C.隨$P$點(diǎn)位置變化逐漸增大D.恒為$\frac{8}{3}$二、填空題（共4小題，每題5分，共20分）密碼學(xué)應(yīng)用題某保密系統(tǒng)采用二進(jìn)制加密，將明文"1011"通過(guò)矩陣$\begin{pmatrix}1&2\0&1\end{pmatrix}$變換后得到密文，則密文對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為_(kāi)_______。環(huán)境科學(xué)題某湖泊治理工程中，污染物濃度$C(t)$（單位：mg/L）隨時(shí)間$t$（單位：天）變化的模型為$C(t)=\frac{100}{1+9e^{-0.5t}}$，則污染物濃度降至$10$mg/L需要的時(shí)間為_(kāi)_______（精確到整數(shù)）。體育競(jìng)技題乒乓球比賽中，甲選手的發(fā)球成功率為$0.8$，乙選手接發(fā)球成功率為$0.7$，則甲發(fā)球后得分的概率為_(kāi)_______。開(kāi)放探究題在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(1,0)$，$B(0,1)$，點(diǎn)$P$在直線(xiàn)$x+y=2$上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的最小值為_(kāi)_______。三、解答題（共6小題，共70分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（12分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)的某種零件成本$C(x)$（單位：元）與產(chǎn)量$x$（單位：千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系為$C(x)=x^3-6x^2+15x+10$，銷(xiāo)售收入$R(x)=20x-0.5x^2$。（1）求利潤(rùn)函數(shù)$L(x)$的表達(dá)式；（2）當(dāng)產(chǎn)量$x$為何值時(shí)，利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。立體幾何創(chuàng)新題（12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$中點(diǎn)。（1）證明：$A_1D\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）若點(diǎn)$E$在棱$CC_1$上，且二面角$A_1-BE-C$的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$CE$的長(zhǎng)。概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題（12分）某社區(qū)開(kāi)展"老年健康"調(diào)查，隨機(jī)抽取$100$位老人，得到其每天鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖如下：（1）求直方圖中$a$的值及鍛煉時(shí)間的中位數(shù)；（2）從鍛煉時(shí)間在$[60,80)$的老人中隨機(jī)選取$2$人，求至少有$1$人鍛煉時(shí)間在$[70,80)$的概率。解析幾何與物理融合題（12分）拋物線(xiàn)$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過(guò)點(diǎn)$F$的直線(xiàn)$l$與拋物線(xiàn)交于$A,B$兩點(diǎn)。（1）若直線(xiàn)$l$的傾斜角為$60^\circ$，求$|AB|$；（2）在力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，物體從$A$點(diǎn)平拋，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)$F$后落在$B$點(diǎn)，已知重力加速度$g=10m/s^2$，求物體拋出時(shí)的初速度。數(shù)列與數(shù)學(xué)文化題（12分）"楊輝三角"是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就，其第$n$行（從$0$開(kāi)始計(jì)數(shù)）的數(shù)對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式$(a+b)^n$的展開(kāi)式系數(shù)。（1）寫(xiě)出第$7$行的所有數(shù)字；（2）證明：楊輝三角中任意一行的數(shù)字之和等于$2^n$；（3）在第$m$行中，若存在連續(xù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求$m$的最小值。項(xiàng)目式探究題（10分）情境：學(xué)校計(jì)劃建造一個(gè)"雨水回收系統(tǒng)"，其截面為矩形加半圓形（如圖），周長(zhǎng)固定為$10$米。任務(wù)：（1）建立儲(chǔ)水量$V$（單位：$m^3$）與半圓半徑$r$（單位：m）的函數(shù)關(guān)系；（2）通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法求最大儲(chǔ)水量及對(duì)應(yīng)的$r$值；（3）結(jié)合實(shí)際，分析該設(shè)計(jì)在材料成本、施工難度等方面的優(yōu)缺點(diǎn)，提出改進(jìn)建議。跨學(xué)科壓軸題（10分）背景：在"碳中和"目標(biāo)下，某城市的碳排放總量$E(t)$（單位：萬(wàn)噸）與時(shí)間$t$（單位：年）滿(mǎn)足微分方程$\frac{dE}{dt}=-kE$，其中$k>0$為減排系數(shù)。問(wèn)題：（1）求解該微分方程，得到$E(t)$的表達(dá)式（初始條件$E(0)=E_0$）；（2）若$2025$年（$t=0$）碳排放總量為$1000$萬(wàn)噸，計(jì)劃$2035$年減排至$500$萬(wàn)噸，求$k$的值；（3）結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的"邊際成本"概念，分析當(dāng)$k=0.05$時(shí)，第$10$年的減排成本變化率（已知減排成本$C=200E(t)$萬(wàn)元）。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共20分）綜合項(xiàng)目設(shè)計(jì)主題：校園能耗優(yōu)化系統(tǒng)要求：以小組為單位（3-5人）完成以下任務(wù)，提交研究報(bào)告（2000字左右）及數(shù)學(xué)模型：（1）數(shù)據(jù)收集：記錄一周內(nèi)教學(xué)樓的用電量（單位：kW·h）、溫度（單位：℃）、光照強(qiáng)度（單位：lux）等數(shù)據(jù)；（2）數(shù)學(xué)建模：建立用電量與影響因素的多元線(xiàn)性回歸模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著性；（3）優(yōu)化設(shè)計(jì)：基于模型結(jié)果，設(shè)計(jì)節(jié)能方案（如照明控制、空調(diào)溫度調(diào)節(jié)等），計(jì)算年節(jié)能效益；（4）可視化呈現(xiàn)：用Matplotlib或Excel繪制數(shù)據(jù)圖表，制作演示PPT；（5）反思改進(jìn)：分析模型局限性，提出考慮新能源（如太陽(yáng)能）接入的改進(jìn)方向。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)據(jù)完整性（4分）模型合理性（6分）方案創(chuàng)新性（5分）報(bào)告規(guī)范性（5分）五、附加題（共10分，不計(jì)入總分）探索性問(wèn)題在數(shù)論中，若正整數(shù)$n$滿(mǎn)足$\sigma(n)=2n$（$\sigma(n)$為$n$的所有正約數(shù)之和），則稱(chēng)$n$為"完全數(shù)"。已知$6$是最小的完全數(shù)，（1）證明：$28$是完全數(shù)；（2）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得提出：若$2^p-1$是素?cái)?shù)，則$2^{p-1}(2^p-1)$是完全數(shù)。請(qǐng)用該結(jié)論寫(xiě)出一個(gè)五位數(shù)的完全數(shù)。（注：所有題目需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，將答案寫(xiě)在答題卡指定位置）本試卷通過(guò)12類(lèi)創(chuàng)新題型實(shí)現(xiàn)多維度考查：情境創(chuàng)新：覆蓋智慧城市、傳統(tǒng)文化等8類(lèi)現(xiàn)實(shí)