2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力測(cè)試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|2x-3>0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定義域是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（）A.y=1/xB.y=2-xC.y=x2-2xD.y=ln(x+1)已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a//b，則m的值為（）A.-4B.4C.-9D.9已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cosα的值為（）A.4/5B.-4/5C.3/4D.-3/4函數(shù)y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知a=log?3，b=log?2，c=log?/23，則a,b,c的大小關(guān)系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，若f(1)=0，f'(1)=0，f''(1)=6，則a+b+c=（）A.-1B.0C.1D.2已知直線l?:ax+2y+6=0與直線l?:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.(2,-3),4B.(-2,3),4C.(2,-3),16D.(-2,3),16從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.74種C.40種D.34種已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=（）A.-x2-2xB.-x2+2xC.x2-2xD.x2+2x二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：log?8+2?+(-1)2?2?=________。已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，a?=1，a?+a?=14，則數(shù)列{a?}的前10項(xiàng)和S??=________。已知tanα=2，則sin2α+cos2α=________。已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則函數(shù)f(x)的極大值為________，極小值為________。（本小題第一空3分，第二空2分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-5>0}，求A∪B，(?RA)∩B。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，且a與b的夾角為60°。（1）求a·b的值；（2）若c=a+2b，d=2a-b，求c·d的值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,-1)。（1）求圓C的方程；（2）若直線l:kx-y+3=0與圓C相交于M,N兩點(diǎn)，且|MN|=2√3，求k的值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1（a∈R）。（1）若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，求a的值；（2）當(dāng)a=1時(shí)，證明：f(x)≥0對(duì)任意x∈R恒成立；（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1（n∈N*）。（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列{na?}的前n項(xiàng)和S?。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.C3.D4.A5.B6.B7.A8.A9.A10.A11.B12.A二、填空題（每小題5分，共20分）314.10015.116.3，-1三、解答題（共70分）（本小題滿分10分）解：由x2-4x+3<0，得1<x<3，所以A=(1,3)?！?分由2x-5>0，得x>5/2，所以B=(5/2,+∞)?！?分所以A∪B=(1,+∞)?！?分?RA=(-∞,1]∪[3,+∞)，……8分所以(?RA)∩B=[3,+∞)。……10分（本小題滿分12分）解：（1）f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)。……4分所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π?！?分（2）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]?！?分當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時(shí)，f(x)取得最大值√2；……10分當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-1?！?2分（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)閍=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，所以|a|=|b|=1。……2分因?yàn)閍與b的夾角為60°，所以a·b=|a||b|cos60°=1×1×1/2=1/2。……5分（2）c·d=(a+2b)·(2a-b)=2a2-a·b+4a·b-2b2=2|a|2+3a·b-2|b|2。……8分因?yàn)閨a|=|b|=1，a·b=1/2，所以c·d=2×1+3×1/2-2×1=3/2。……12分（本小題滿分12分）解：（1）f'(x)=3x2-6x+2?！?分令f'(x)=0，得x=1±√3/3。……4分當(dāng)x<1-√3/3或x>1+√3/3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；……6分當(dāng)1-√3/3<x<1+√3/3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減?！?分所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1-√3/3,1+√3/3)?！?分（2）因?yàn)閒(-1)=-1-3-2+1=-5，f(1-√3/3)=f(1)-√3/3×f'(1)+(1/2)(√3/3)2f''(1)=1-3+2+1=1，f(1+√3/3)=1-3+2+1=1，f(2)=8-12+4+1=1?！?0分所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為1，最小值為-5。……12分（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為r。因?yàn)閳AC的圓心在直線x-y-1=0上，所以a-b-1=0，即b=a-1?！?分因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,-1)，所以(a-1)2+(b-1)2=r2，(a-2)2+(b+1)2=r2。……4分將b=a-1代入，得(a-1)2+(a-2)2=(a-2)2+(a)2，解得a=2，所以b=1?！?分所以r2=(2-1)2+(1-1)2=1，所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=1?！?分（2）由（1）知，圓C的圓心坐標(biāo)為(2,1)，半徑r=1。因?yàn)閨MN|=2√3，所以圓心C到直線l的距離d=√(r2-(|MN|/2)2)=√(1-3)=√(-2)，顯然不成立?！?0分所以本題無解。……12分（本小題滿分12分）解：（1）f'(x)=e?-a。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=0處取得極值，所以f'(0)=e?-a=0，解得a=1?！?分經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，符合題意。……3分（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=e?-x-1，f'(x)=e?-1。令f'(x)=0，得x=0。當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。……5分所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，也是最小值，f(0)=e?-0-1=0?！?分所以f(x)≥0對(duì)任意x∈R恒成立?！?分（3）f'(x)=e?-a。當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=e?-a>0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意?！?分當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=lna。當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。……9分所以函數(shù)f(x)在x=lna處取得極小值，也是最小值，f(lna)=e^(lna)-alna-1=a-alna-1。……10分要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需f(lna)=a-alna-1<0，即alna>a-1，lna>1-1/a。令g(a)=lna-1+1/a，則g'(a)=1/a-1/a2=(a-1)/a2。當(dāng)0<a<1時(shí)，g'(a)<0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，g'(a)>0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞增?！?1分所以函數(shù)g(a)在a=1處取得極小值，也是最小值，g(1)=ln1-1+1=0。所以當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0，即lna>1-1/a，所以f(lna)<0。又因?yàn)楫?dāng)x→-∞時(shí)，f(x)=e?-ax-1→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)=e?-ax-1→+∞。所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。綜上，a的取值范圍是(1,+∞)?！?2分四、附加題（共20分）（本小題滿分10分）解：（1）f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立。所以函數(shù)f(x)的最小值為3?！?分（2）由（1）知，函數(shù)f(x)的最小值為3。因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，所以3≥a2-2a，即a2-2a-3≤0?！?分解得-1≤a≤3。所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,3]。……10分（本小題滿分10分）（1）證明：因?yàn)閍???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1)。……2分因?yàn)閍?=1，所以a?+1=2≠0，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列?！?分（2）解：由（1）知，a?+1=2×2^(n-1)=2?，所以a?=2?-1?！?分（3）解：na?=n(2?-1)=n×2?-n。設(shè)數(shù)列{n×2?}的前n項(xiàng)和為T?，則T?=1×2+2×22+3×23+…+n×2?，2T?=1×22+2×23+…+(n-1)×2?+n×2^(n+1)，兩式相減，得-T?=2+22+23+…+2?-n×2^(n+1)=2(2?-1)/(2-1)-n×2^(n+1)=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)，所以T?=(n-1)×2^(n+1)+2?！?分設(shè)數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和為S?'，則S?'=n(n+1)/2。……9分所以S?=T?-S?'=(n-1)×2^(n+1)+2-n(n+1)/2。……10分命題說明本試卷共分選擇題、填空題、解答題和附加題四個(gè)部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。試卷注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，涵蓋了集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何等高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。選擇題和填空題主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，解答題主要考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和運(yùn)算能力，