2025年下學期高中數(shù)學學業(yè)水平模擬試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=log?(x2-4x+3)的定義域是（）A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.[1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=x3B.y=sinxC.y=lnxD.y=2?已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10若直線l?:ax+2y+6=0與直線l?:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知等比數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若S?=7，S?=63，則公比q的值為（）A.2B.-2C.3D.-3從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)，則橢圓C的方程為（）A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值的和為（）A.-4B.-2C.0D.2已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)f(x)的最小正周期為πB.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=π/3對稱C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-π/12,5π/12)上單調(diào)遞增D.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移π/6個單位長度得到二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算：(log?8+log?25)×tanπ/4=________。已知直線y=kx+1與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，若|AB|=2√3，則k的值為________。已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極大值7，在x=3處取得極小值，則a+b+c=________。在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=√7，則△ABC的面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，且a?=1，a?+a?=14。（1）求數(shù)列{a?}的通項公式；（2）設b?=2??1+a?，求數(shù)列{b?}的前n項和S?。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足ccosB=(2a-b)cosC。（1）求角C的大??；（2）若c=√7，△ABC的面積為3√3/2，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側棱AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點。（1）求證：A?B//平面ADC?；（2）求三棱錐C?-ADC的體積。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.30.350.15（1）根據(jù)頻率分布表，估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從成績在[50,60)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線C交于A、B兩點，點A在第一象限，過點A作準線l的垂線，垂足為M。（1）若|AF|=4，求直線AB的方程；（2）求證：以AM為直徑的圓與y軸相切。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x?、x?，且x?<x?，求證：f(x?)-f(x?)<ln2-1/2。參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.B10.A11.B12.C二、填空題514.±√315.-316.2√3三、解答題解：（1）設等差數(shù)列{a?}的公差為d，因為a?=1，a?+a?=14，所以2a?+6d=14，即2+6d=14，解得d=2。所以數(shù)列{a?}的通項公式為a?=1+2(n-1)=2n-1。……5分（2）由（1）知，b?=2??1+a?=2??1+2n-1，所以數(shù)列{b?}的前n項和S?=(2?+21+…+2??1)+(1+3+…+2n-1)=(1-2?)/(1-2)+n2=2?-1+n2?！?0分解：（1）由ccosB=(2a-b)cosC及正弦定理得：sinCcosB=(2sinA-sinB)cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin(B+C)=2sinAcosC。因為A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，所以sinA=2sinAcosC。因為sinA≠0，所以cosC=1/2，又0<C<π，所以C=π/3?！?分（2）由△ABC的面積為3√3/2，得(1/2)absinC=3√3/2，即(1/2)ab×√3/2=3√3/2，解得ab=6。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即7=a2+b2-2×6×1/2，所以a2+b2=13。所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25，所以a+b=5。……12分（1）證明：連接A?C，交AC?于點O，連接OD。因為四邊形ACC?A?是平行四邊形，所以O為A?C的中點。又因為D為BC的中點，所以OD//A?B。因為OD?平面ADC?，A?B?平面ADC?，所以A?B//平面ADC?。……6分（2）解：因為側棱AA?⊥底面ABC，CC?//AA?，所以CC?⊥底面ABC，即CC?為三棱錐C?-ADC的高，且CC?=AA?=2。因為AB=AC=2，∠BAC=90°，所以S△ADC=(1/2)S△ABC=(1/2)×(1/2×2×2)=1。所以三棱錐C?-ADC的體積V=(1/3)S△ADC×CC?=(1/3)×1×2=2/3?！?2分解：（1）這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為：55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.35+95×0.15=78.5。設中位數(shù)為x，因為0.05+0.15=0.2<0.5，0.2+0.3=0.5，所以中位數(shù)x=80?！?分（2）成績在[50,60)的學生有100×0.05=5人，記為A、B、C、D、E；成績在[90,100]的學生有100×0.15=15人，記為1、2、…、15。從這20名學生中隨機抽取2人，共有C??2=190種不同的取法。其中2人成績都在[90,100]的取法有C??2=105種。所以所求概率P=105/190=21/38?！?2分解：（1）拋物線C:y2=4x的焦點F(1,0)，準線l:x=-1。設點A(x?,y?)(x?>0,y?>0)，因為|AF|=4，由拋物線的定義得x?+1=4，所以x?=3，代入拋物線方程得y?2=12，所以y?=2√3，即A(3,2√3)。所以直線AB的斜率k=(2√3-0)/(3-1)=√3，所以直線AB的方程為y=√3(x-1)?！?分（2）證明：設點A(x?,y?)，則M(-1,y?)，所以以AM為直徑的圓的圓心坐標為((x?-1)/2,y?)，半徑為(x?+1)/2。圓心到y(tǒng)軸的距離為(x?-1)/2，因為(x?+1)/2-(x?-1)/2=1，所以圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑減去1，即圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑與圓心橫坐標絕對值的差，所以以AM為直徑的圓與y軸相切?！?2分解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax2-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x。①當a≤0時，2ax-1<0，由f'(x)>0得0<x<1，由f'(x)<0得x>1，所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減。②當a>0時，令f'(x)=0得x=1/2a或x=1。（i）當1/2a=1，即a=1/2時，f'(x)≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。（ii）當1/2a<1，即a>1/2時，由f'(x)>0得0<x<1/2a或x>1，由f'(x)<0得1/2a<x<1，所以函數(shù)f(x)在(0,1/2a)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(1/2a,1)上單調(diào)遞減。（iii）當1/2a>1，即0<a<1/2時，由f'(x)>0得0<x<1或x>1/2a，由f'(x)<0得1<x<1/2a，所以函數(shù)f(x)在(0,1)和(1/2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,1/2a)上單調(diào)遞減?！?分（2）證明：由（1）知，當0<a<1/2時，函數(shù)f(x)有兩個極值點x?=1，x?=1/2a，所以f(x?)-f(x?)=f(1/2a)-f(1)=ln(1/2a)+a(1/2a)2-(2a+1)(1/2a)-[ln1+a×12-(2a+1)×1]=-ln2a+1/(4a)-1-1/(2a)-[0+a-2a-1]=-ln2a-1/(4a)-1-(-a-1