第一章數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)

第一節(jié)數(shù)據(jù)分組與變量數(shù)列【★★★單選、簡答】

一、*數(shù)據(jù)分組

1.數(shù)據(jù)分組:就是對某一變量的不同取值，按照其自身變動特點和研究需要劃分成不同的

組別，以便更好地研究該變量分布特征及變動規(guī)律.由于變量有離散變量與連續(xù)變量的

區(qū)別，因而對其進(jìn)行分組可分為單項分組與組距分組兩種不同的分組方法。

2.若變量是離散型變量，且取值只有不多的幾個時，則采用單項分組,單項分組的做法是:

將變量的不同取值作為一組的組別，變量有多少個不同取值就劃分成多少組。

3.若變量是連續(xù)型變量，或者是取值較多的離散型變量，則需采用組距分組.組距分組的

做法是:將變量的全部取值按照其大小順序劃分成若干個不同數(shù)值的區(qū)間。

二、里變量數(shù)列

1.▲變量數(shù)列的概念:在對變量取值進(jìn)行分組的基礎(chǔ)上，將各組不同的變量值與其變量值

出現(xiàn)的次數(shù)排列成的數(shù)列，稱為變量數(shù)列,由于對變量分組有單項分組和組距分組兩種

不同的方法，因而分組后所形成的變量數(shù)列也有單項數(shù)列和組距數(shù)列兩種。

2.▲變量數(shù)列組成要素:組別：由不同變量值所劃分的組；頻壑：各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)；

頻率:各組次數(shù)與總次數(shù)之比。

3.編制組距數(shù)列的步驟:

1）確定組數(shù):組距大、組數(shù)就少；組距小、組數(shù)就多。

2）確定組距:上下限之間的距離，開口組參照相鄰組；開口組組中值參照相鄰組

3）確定組限:每組的最大值稱為該組的上限，最小值是下限；組中值=（上限+下限）/2

上限不在內(nèi)，下限一定在內(nèi)。【2013.11案例分析一小題】

4）計算各組的次數(shù)（頻數(shù)）：

5）編制變量數(shù)列:

4.向上累計頻數(shù)（或頻率）的具體做法是:由變量值低的組向變量值高的組依次累計頻數(shù)

（或頻率），向上累計頻數(shù)的結(jié)果表明某組上限以下的各組次數(shù)（或頻數(shù)）之和是多少；

向上累計頻率的結(jié)果表明某組上限以下的各組次數(shù)（或頻數(shù)）之和占總次數(shù)（或總頻數(shù)）

的比重是多少?！纠}：P7]

5.向下累計頻數(shù)（或頻率）的具體做法是：由變量值高的組向變量值低的組依次累計頻數(shù)

（或頻率），向下累計頻數(shù)的結(jié)果表明某組下限及以上各組次數(shù)（或頻數(shù)）之和是多少；

向下累計頻率的結(jié)果表明某組下限及以上各組次數(shù)（或頻數(shù)）之和占總次數(shù)（或總頻數(shù)）

的比重。

6.變量數(shù)列分布圖：常用的次數(shù)分布圖主要有柱狀圖、直方圖和折線圖等幾種。[2013.11

案例分析要求畫直方圖、折線圖】

7.▲什么是洛倫茨曲線？它的主要用途是？

洛倫茨曲線就是累計頻數(shù)（或頻率）分布曲線，主要用途是研究社會財富、土地和

工資收入的分配是否公平。

第二節(jié)分布中心的測度

一、?▲分布中心的概念及意義【★★單選、簡答】

1.分布中心：是指距離一個變量的所有取值最近的位置。

2.分布中心的意義：

a）變量的分布中心是變量取值的一個代表，可以用來反映其取值的一般水平。

b）變量的分布中心可以揭示其取值的次數(shù)分布在直角坐標(biāo)系上的集中位置，可以用來

反映變量分布密度曲線的中心位置，即對稱中心或尖峰位置。

二、?分布中心的測度指標(biāo)及其計算方法★★單選、案例】P14

1＞算術(shù)平均數(shù)

?上運用算術(shù)平均數(shù)應(yīng)注意什么問題，在實際應(yīng)用中如何有效避免這些問題？

算術(shù)平均數(shù)容易受到極端變量值的影響。當(dāng)一個變量的取值出現(xiàn)極小或極大，都將影響其計

算結(jié)果的代表性。為了提高算術(shù)平均數(shù)的代表性，需要對變量中的極大值或極小值進(jìn)行剔除。

1）簡單算術(shù)平均數(shù)：如果所掌握的資料是未經(jīng)分組整理的一組變量值，就需要采用簡單算

術(shù)平均的方法計算其算術(shù)平均數(shù)。

設(shè)某一變量比的不同取值為父“…，X",則計算其算術(shù)平均數(shù)的公式為：

_XI+X2+?-?+Xn_￡憶XI

人=-------------=1

nn

n

式中：'代表算術(shù)平均數(shù)；代表變量值總和；凡代表變量值個數(shù)之和。

2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：如果所掌握的資料是已經(jīng)經(jīng)過分組整理的變量數(shù)列資料，包括單項分

組的單項數(shù)列和組距分組的組距數(shù)列，要計算其變量值的算術(shù)平均數(shù)都需要采用加權(quán)算術(shù)平

均的方法。

設(shè)第，無，父”代表各組的變量值，8,石，…，3（同下用的Y）代表各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，

也稱權(quán)數(shù)。則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：

'p.i3i￡￥「一乙￡YI

自列方法:

單項數(shù)列：頻數(shù)x組別/頻數(shù)值之和

組距數(shù)列：先計算組中值，再X頻數(shù)/頻數(shù)值之和【分組數(shù)列計算平均數(shù)-2014.11案例分析】

假如平均數(shù)為2660,已知標(biāo)準(zhǔn)差為874.86,試計算變異系數(shù)。憶=2=竺竺=0.32]

x2660

2、中位數(shù)【2015.11單選題】

1）中位數(shù)是指將某一變量的變量值按照從小到大的順序排成一列，位于這列數(shù)中心位置上

的那個變量值。

2）由于所掌握的資料不同，確定中位數(shù)的方法也有所區(qū)別：

a）分組資料中位數(shù)的確定：首先將所有的變量值由小到大排列；如果是奇數(shù)，則公式

為n+1-確定中位數(shù)所處的位置。如果是偶數(shù)，則公式為n立與n/2+l的中位數(shù)。

b）單項數(shù)列中位數(shù)的確定：首先計算向上或向下累計次數(shù)；然后由公式計算結(jié)果

與累計次數(shù)的結(jié)果確定中位數(shù)在單項數(shù)列中所處組的位置，則該組的好量值就是中

位數(shù)。

c）組距數(shù)列中位數(shù)的確定：首先根據(jù)組距數(shù)列資料計算向上或向下累計次數(shù)；然后由

公式計算結(jié)果與累計次數(shù)的結(jié)果確定中位數(shù)在數(shù)列中所在的組，最后由下限公

式和上市艮公式均可計算中位數(shù)?！綪20】

3、眾數(shù)

1）套數(shù)：是指某一變量的全部取值中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值。【2013.11/2014.11單

選】

2）眾數(shù)的確定

a）未分組的變量值,則只需要統(tǒng)計出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值即可；

b）單項數(shù)列，則頻數(shù)（或頻率）最大組的變量值就是眾數(shù)，

c）組距數(shù)列，要確定眾數(shù)，首先依據(jù)各組變量值出現(xiàn)次數(shù)的多少確定眾數(shù)所在的組，

然后采用上限公式或者下限公式確定眾數(shù)即可。【P22】

4、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者的關(guān)系【P23】

在正態(tài)分布的情況下，變量值的分布是以算術(shù)平均數(shù)為中心，兩邊呈對稱型，離中心越遠(yuǎn)的變量

值的次數(shù)越少，離中心越近的變量值的次數(shù)越多，其分布形狀類似鐘形。

對稱分布:

右偏分布：眾-中-平）

AR中他atT均“

眾數(shù)?與中位數(shù)%的距離約為中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的2倍。2（7-?）=餌-/或:

2（%,一君=%-me

【沖刺單選題】.已知某班級高等數(shù)學(xué)期末考試成績中位數(shù)為72分，算術(shù)平均數(shù)為69分，則該

班級學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)的近似值為78【要點透析】叫）=3m2-2^=3X72-2X69=78.

第三節(jié)離散程度的測度

1、▲離散程度測度的意義

變量各取值之間的離散程度是變量次數(shù)分布的一個重要特征，測定它對實際研究有重要

意義：

1）通過對變量取值之間離散程度的測定，可以反映各個變量值之間的差異大小,從而也就

可以反映分布中心指標(biāo)對各個變量值代表性的高低。

2）通過對變量取值之間離散程度的測定，可以大致反映變量次數(shù)分布密度曲線的形狀。

2、▲■離散程度的測度指標(biāo)★★單選、案例】［2013.11單選】

簡答題：測度變量值之間離散程度的常用指標(biāo)有哪些？有極差、四分位全距、平均差、

標(biāo)準(zhǔn)差、方差和變異系數(shù)120系.11簡答題】

1）楊羞：又稱全距，是指一組變量值中最大變量值與最小變量值之差，用來表示變量的變

動范圍.通常用R代表全距，公式：R=max（￡）-min（%J【2014.11單選】

優(yōu)點:計算簡便、直觀易于理解。

缺點:只利用兩個極端值，不能充分利用數(shù)列的全部信息。

2）四分位全距:是指將一組由小到大排列的變量數(shù)列分成四等分，可得到三個分割點Q1、

Q2、Q3,分別稱為第一個、第二個、第三個四分位數(shù)；然后用第一個四分位數(shù)Q1減去第

三個四分位數(shù)Q3所得差的絕對值，即為四分位全距?！綪27】

當(dāng)研究資料中出現(xiàn)極端時，采用四分位全距來衡量數(shù)據(jù)之間的差異程度要比全距更換具

代表性。分組資料確定四分位全距在實際研究中很少應(yīng)用。

3）平均差:是變量各個取值偏差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，由于變量的各個取值與其算術(shù)平均

數(shù)的偏差有正有負(fù)，直接相加會使其正負(fù)抵消而為0,所以可將每個偏差取絕對值后再

相加求平均，如此使得到了平均差.實際上，平均差反映了變量的各個取值離其算術(shù)平

均數(shù)的平均距離.

a）若所掌握的資料是未分組的資料，則計算平均差應(yīng)采用簡單平均法，［P28］

b）若所掌握的資料是已分組的變量數(shù)列資料，則計算平均差應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均法，

[P29]

4）標(biāo)準(zhǔn)差【2013.11案例分析-先計算標(biāo)準(zhǔn)差再計算變異系數(shù)】：是變量的各個取值偏差平

方的平均數(shù)的平方根，又稱為根方差.

a）若所掌握的資料是未分組的資料，則計算標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)采用簡單平均法，[P29]

b）若所掌握的資料是已分組的變量數(shù)列資料，則計算標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均法，

[P30

c）標(biāo)準(zhǔn)差不是用離差的絕對值求平均數(shù)，而是用離差的平方求平均數(shù)，通過離差平方

和的運算不但可以消除離差正負(fù)項的差別，而且強化了離差的信息，使其在數(shù)學(xué)性

質(zhì)上也有許多明顯的優(yōu)越性，因此，標(biāo)準(zhǔn)差在實踐中較平均差應(yīng)用廣泛。

5）隹：標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差，它與標(biāo)準(zhǔn)差的作用相同，也可用來描述變量分布的離散

程度.

史方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)如下：

a）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減平均數(shù)的平方.

b）變量與算術(shù)平均數(shù)離差平方和具有最小的性質(zhì)，即變量與算術(shù)平均數(shù)計算的方差小

于變量與任何其他常數(shù)計算的方差。

c）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。

d）幾個獨立變量代數(shù)和的方差，等于各變量方差的代數(shù)和。

e）n個獨立變量代數(shù)和的標(biāo)準(zhǔn)差不大于各變量標(biāo)準(zhǔn)差的代數(shù)和.

6）變異系數(shù)【考點】：當(dāng)兩變量各自有不同的數(shù)量級和不同量綱（單位）時，不具有可比

性，難以直接對比。這時采用變異系數(shù)。

變異系數(shù)概念[2013.11四選一題】

：衡量變量的各個取值之間絕對差異的指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的比率,具體來說有極差系數(shù)、

平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)等.各變異系數(shù)的計算公式分別為：

R￡把￡

Vfl=jTxi00%%=-X100%I：=]FX100%

案例.經(jīng)計算已知實驗班的平均成績?yōu)?8分，標(biāo)準(zhǔn)差為11分,計算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。

V,=-xl00%=—xl00%=14.1%

°x78

案例.為什么要計算變異系數(shù)（可用文字描述或舉例說明）？[2013.11四選二】

?極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量變量各個取值之間絕對差異程度的指標(biāo)，都具有一定的量綱，這些指標(biāo)數(shù)值的大

小不僅取決于變量取值之間的差異程度，而且取決于變量取值水平即數(shù)量級的高低。顯然，對于不同的變量，其變

量值的絕對差異程度指標(biāo)不能夠直接對比，這就需要在這些絕對差異指標(biāo)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出反映變量各取值之間相對

差異程度的無量綱指標(biāo)及變異系數(shù)。實踐中，變異系數(shù)主要用于具有不同量綱、不同平均水平的變量各自取值之間

差異程度的比較。

或舉例說明：

■計量單位不同（量綱不同）

甲企業(yè)工人的生產(chǎn)效率X甲=61件/人，標(biāo)準(zhǔn)差。甲=7件/人

乙企業(yè)工人的生產(chǎn)效率*乙=5000元/人，標(biāo)準(zhǔn)差。■乙=320元/人

由于計量單位不同，無法直接用標(biāo)準(zhǔn)差比較兩企業(yè)工人生產(chǎn)效率各自的差異程度。

通過計算，甲、乙企業(yè)工人生產(chǎn)效率的變異系數(shù)為：

7320

=—=11.48%6.4%

%61“5000

把不可比變?yōu)榭杀攘?，比較兩企業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，可知甲企業(yè)工人生產(chǎn)效率之間的差異程度大.

數(shù)量級水平不同_

某種食品大包裝的均值"=500克/包，標(biāo)準(zhǔn)差大=10克/包；

某種食品小包裝的均值，小=50克/包，標(biāo)準(zhǔn)差0小=4克/包

由于數(shù)量級不同，無法直接用標(biāo)準(zhǔn)差比較兩種包裝重量穩(wěn)定性的高低。通過計算，兩種包裝重量的變異系數(shù)為：

104

VC=——=2%K=一=8%

隊500.50

把不可比變?yōu)榭杀攘?，比較兩種包裝的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，可知大包裝重量的穩(wěn)定性高。

第四節(jié)偏度與峰度

1.【沖刺單選】偏度與峰度的概念：變量分布的偏斜程度是指其取值分布的非對稱程度；變量

分布的峰度是指其取值分布密度曲線頂部的平坦程度或尖峭程度.

2.▲?測度偏度和峰度有什么意義?【沖刺-簡答題】

1）一方面可以加深人們對變量取值的分布狀況的認(rèn)識；

2）另一方面，人們還可以將所關(guān)心的變量的偏度指標(biāo)值和峰度指標(biāo)值與某種理論分布的偏

度指標(biāo)值進(jìn)行比較，以判斷所關(guān)心的變量與某種理論分布的近似程度，為進(jìn)一步的推斷

分析奠定基礎(chǔ)。

3.*偏度的測度【★★★單選、案例】

1）直觀偏度系數(shù)：直觀偏度系數(shù)是利用描述變量分布中心的不同指標(biāo)之間的直觀關(guān)系而確

定的測度變量分布偏斜程度的指標(biāo).主要有皮爾遜偏度系數(shù)和鮑萊偏度系數(shù)兩種，

a）皮爾遜偏度系數(shù)的數(shù)值在-3?+3的范圍之內(nèi)，皮爾遜偏度系數(shù)的絕對值越接近于3,

變量分布的偏斜程度越大；皮爾遜偏度系數(shù)的絕對值越接近于0,變量分布的偏斜

程度就越小.

b）鮑萊偏度系數(shù)的數(shù)值在7?+1之間.其絕對值越接近于1,變量分布的偏斜程度越

大；其絕對值越接近于0,變量分布的偏斜程度越小.

2）矩偏度系數(shù)：矩偏度系數(shù)就是利用變量的矩來確定的變量分布偏斜程度的指標(biāo)，變量分

布的矩有兩種，一種稱為原點矩，即變量所有取值的某次方的算術(shù)平均數(shù)；另一種稱為

中心矩，即變量所有取值與其算術(shù)平均數(shù)離差的某次方的算術(shù)平均數(shù).其中乘方的次數(shù)

稱為階數(shù).對于變量無，其？n階原點矩用“Q。表示，其血階中心矩用Sm表示.

3.峰度的測度★單選、案例】

對觀測變量分布密度曲線頂峰的尖峭程度的測定，通常主要用峰度系數(shù)指標(biāo)，

峰度系數(shù)的構(gòu)造，需要利用觀測變量取值的四階中心距來進(jìn)行.將變量的四階中心矩與其標(biāo)

準(zhǔn)差的四次方相除，所得比率就稱為峰度系數(shù)，其計算公式為：

工

Ku=a<l

第五節(jié)兩個變量的相關(guān)關(guān)系★★單選、簡答】

▲?測度指標(biāo)有協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。【案例：P39]

一、協(xié)方差

1.協(xié)方差是兩個變量的所有取值與其算術(shù)平均數(shù)離差乘積的算術(shù)平均數(shù)，它可以用來測定

兩變量之間相關(guān)關(guān)系的方向和密切程度。

2.若對兩個變量X和Y同時進(jìn)行了n次觀測，所獲得無和y的成對觀測數(shù)據(jù)為：（%,,y.）,

（%2,外），…，（'”，y?）,則兩變量X和Y的協(xié)方差的計算需采用簡單算術(shù)平均法，其

計算公式為：【P37】

二、相關(guān)系數(shù)里【簡述方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)】

1.若是根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算，相關(guān)系數(shù)通常用P父y表示，

其計算公式為：

%，

式中：為表示總體的協(xié)方差；所以表示總體變量%的標(biāo)準(zhǔn)差；與表示總體變量y的標(biāo)準(zhǔn)

差.

2.若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算，相關(guān)系數(shù)通常用Ka表示，

其計算公式為：

式中：5打表示樣本的協(xié)方差；5r表示樣本變量%的標(biāo)準(zhǔn)差；￡?表示樣本變量y的標(biāo)準(zhǔn)差.

第一章概率與概率分布【?！荨居嬎泐}看書】

第一節(jié)隨機事件與概率

一、隨機事件★單選、簡答】

1.相關(guān)概念介紹：

1)在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為確定性事件；

2)事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象；

3)在概率論中，將隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果都稱為隨機事件，簡稱事

件，同時它又將實驗結(jié)果中的每一個結(jié)果稱為一個樣本點，又稱為基本事件。

2.事件的關(guān)系與運算

1)事件的包含與相等:若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,或稱

事件A包含于事件B,即事件A是事件B的子集。若事件A包含事件B,事件B也包含事

件A,則稱事件A與B相等.

2)事件的并(和)：若事件A與事件B至少有一個發(fā)生，則記為AUB(或A+B),并且稱為

事件A與B的并(和)

3)事件的交(積)：若事件A與事件B同時發(fā)生，則記為AC1B(或AB),并且稱為事件A

與B的交(積)

4)事件的差:若事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則記為A-B,并且稱為事件A與B的差.

5)互不相容事件(也稱互斥事件)：若事件A與B不可能同時發(fā)生，也就是說，AB是不可

能事件，即AB=M\則稱事件A與B是互K相容事件，或者稱A與B是互斥事件.

6)對立事若事件A與事件隔足：AA=夕和AU*Q,則稱A1是A的對立事件，或者

稱A是彳的對立事件.

7)完備事件組:設(shè)A,,A2,A“是有限或可數(shù)個事件，若其滿足：

A/，=aiWji,j=—

AIUA2U-UA?=Q

則稱由A,,A2,A“所組成的事件組為一個完備事件組.

二'隨機事件的概率隨機事件★★單選、案例】

1.概率的定義：

1)頻數(shù)與頻率在N次獨立的試驗中，事件A發(fā)生了N1次，比值N1/N稱為事件A發(fā)生的

頻率。

2)W：隨機事件A發(fā)生的可能性大小的度量(數(shù)值)，稱為事件A發(fā)生的概率。記作P

(A)oL

3)統(tǒng)計定義:頻率的穩(wěn)定性表現(xiàn)，當(dāng)試驗次數(shù)增加時N將圍繞某一常數(shù)P上下擺動而趨

向P

2.概率的性質(zhì)：【沖刺二單選】

⑴OWP(A)W1

⑵P(Q)=1,P(0)=O［必定和不可能］

(3)若A與B互不相容(也稱互斥)，則有：

P(AUB)=P(A)+P(B)

(4)若A與彳是對立事件，則有：

P(A)+P(A)=1或p(A)=1-P(A)

(5)若A與B是任意兩事件，則有：

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

此式稱為概率的加法公式.

二、古典概率

若一個隨機試驗的樣本空間是由有限個樣本點構(gòu)成，且每個樣本點在實驗中是等可能地

出現(xiàn)，那么，事件A發(fā)生的概率就可用下列公式來計算：

P(A)=m/n=A包含的樣本點個數(shù)/樣本空間中全部樣本點數(shù)【例題P47]

四、條件概率與事件的獨立性隨機事件★★單選、簡答】

1.條件概率的定義

在隨機試驗中，有時除了需要知道事件B發(fā)生的概率P(B)外，還需要知道在事件A已經(jīng)發(fā)生

的條件下事件B的概率，我們把這個概率記作P(B|A).其公式如下：

P(B|A)=PQ15)(P(A)>0)

凡O

例1：一盒中有10個蛋，6個正品，4個次品，從盒中每次取一個，不放回地取兩次，求第

二個也是正品的概率=P(B|A)=5/9

例2：袋子中有3個白球，2個紅球，1個黃球，現(xiàn)從袋中隨意取2個球，則取得的2個球中

1個是紅球1個是白球的概率為2/5[P=挈=乃.]【沖刺二單選】

2.條件概率的計算方法

1)用條件概率的定義公式P(B|A)=pQ)計算P(B|A)

2)采用縮減樣本空間方法，即根據(jù)事件已經(jīng)發(fā)生的信息縮減樣本空間，再在此基礎(chǔ)上計算

B的概率.【例題P49]

3.乘法公式[2013.11單選】

P(AB)=P(A)P(BIA)(P(A)>0)此式稱為概率的乘法公式，簡稱乘法公式.

例題：設(shè)A、B為獨立條件，P(A)=0.8,P(B)=0.7。則P(AB)為(B)

A.0.1B.0.56C.0.87D.1

4.全概率公式與貝葉斯公式【史簡述全概率公式與貝葉斯公式及其使用范圍】

若設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Q,B,,Bz,….B“是一個完備事件組，且P(0)>O(i=1,2,…，

n),則對E的任一事件A,都有：

P(A)=P(B,)P(A|B,)+P(B2)P(A|B2)+-+P(B?)P(A|B?)=力P(B,)P(A|B,)

上式稱為全概率公式.

,1)—P(A)—7；-------------------------------------

|B?)

上式稱為逆概率公式，或稱為貝葉斯公式，

在全概率公式和貝葉斯公式中的B,,B“….B”是導(dǎo)致事件A發(fā)生的各種原因、情況或

途徑及其可能性.P(Bf)(i=1,2,九)是各種原因發(fā)生的概率，稱為先驗概率，一般由

實際經(jīng)驗給出.貝葉斯公式中的P(B,|A)稱為后驗概率，它反映了事件A發(fā)生后各種原因&

(i=1,2,n)造成的可能性的大小.

5.事件的獨立性

若事件A和B滿足等式P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A、B是相互獨立的.

兩事件相互獨立的概念可以推廣到有限多個事件的情形.

第二節(jié)隨機變量及其分布★★單選、簡答】

一、?隨機變量的概念

1.隨機變量的概念：設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Q={e}.若對于每一個eGQ,都對應(yīng)唯一實

數(shù)X(e),則稱變量X(e)為隨機變量，記作X.以后用字母X,Y,…表示隨機變量.

2.史為什么要引入隨機變量的概念：在生產(chǎn)生活中，僅僅討論隨機事件的概率顯然是不夠的，

為了更好地提示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，并利用數(shù)學(xué)分析的方法來描述，這就需要把隨機試驗的

結(jié)果數(shù)量化，即要用某一變量的不同取值來表示隨機試驗中出現(xiàn)的各種不同結(jié)果，這就是引

入隨機變量的原因。

3,*隨機變量的特征：隨機性；統(tǒng)計規(guī)律性；它是定義在樣本空間上的實單值函數(shù)。

二、隨機變量的概率分布【2013.11單選】

1.離散型隨機變量的概率分布

若隨機變量的全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量叫做離散型隨機變

量。

史常見的離散型隨機變量的概率分布及如何表示。

1)兩點分布：兩點分布的應(yīng)用條件是：若互相獨立的重復(fù)試驗只有“成功”和“失敗”兩

種結(jié)果，這種試驗稱為貝努里試驗，其分布律為：

Xab

Pk1—pp

2)超幾何分布：若要確定n次實驗中恰好出現(xiàn)k次，成功的概率，則需采用下列概率模型:

3)二項分布：若要確定其恰好有k次成功的概率，其中隨機變量X表示實驗次數(shù)，則所需概率

模型為：

P{X=k}=,k=0,1,2,…，n

式中：0<p<1；n為正整數(shù)；n和p為二項分布的兩個重要的參數(shù).

4)泊松分布：服從泊松分布的隨機變量對于描述在一個特定時間或空間范圍內(nèi)某一事件發(fā)生的

次數(shù)通常很有用。

泊松分布的應(yīng)用條件：

a)任何兩個相等的間隔期內(nèi)某一事件發(fā)生次數(shù)的概率相等

b)在某一間隔內(nèi)某一事件的發(fā)生與否和其他任何一個間隔期內(nèi)該事件的發(fā)生與否相互獨

立。

泊松分布的分布律為：

P{X=k}=，k=0.1,2,-

記作X?P(T),式中入>0為參數(shù).

2.連續(xù)型隨機變量的概率分布

對于隨機變量X的分布函數(shù)F(z),如果存在非負(fù)函數(shù)f(X),使對任意實數(shù)％有：

FCT)=

則稱無為連續(xù)型隨機變量，f(%)為父的概率分布密度，簡稱分布密度或概率密度，分布密度

的圖形叫做分布密度曲線.

3.下面介紹幾種?常用的連續(xù)型隨機變量的概率分布：

1)均勻分布.若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

(1//、

7---，a(工<b

/(x)=Jb-a

I0,其他

則稱隨機變量X在[a,b]上服從均勻分布，

2)正態(tài)分布.若隨機變量X的概率密度為

f(X)=e-,-oo<x<+°°

其中，。>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為口、。的正態(tài)分布.記作X?N(u、o,2).

3)指數(shù)分布.指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為

x>0

/(力=

\0,x<0

其中，入>0為參數(shù).

第三節(jié)隨機變量的數(shù)字特征與獨立性★★單選、簡答】

一、隨機變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學(xué)期望

■簡述期望和方差各描述的是隨機變量的什么特征？隨機變量的期望值也稱為平均值，它是

隨機變量取值的一種加權(quán)平均數(shù)，是隨機變量分布的中心，描述了隨機變量值的平均水平，

而方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，用來衡量隨機變量的取值對其數(shù)學(xué)期望的

偏離程度。

①離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望定義為：X

E(X)=y黑的

②連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望的定義為：自

E(X)=

2.史方差

①離散型隨機變量的方差定義為：

D(X)=E[X-E(X)]2=

②連續(xù)型隨機變量的方差定義為：

D(X)=E[X-E(X)]2=

為了便于計算方差，下面引入一個計算方差的簡捷公式：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

③方差的性質(zhì)：設(shè)c為常數(shù)，則D(c)=0.設(shè)X為隨機變量，c為常數(shù)，則有D(cX)=C?D(X).設(shè)

X、Y是兩個相互獨立的隨機變量,則有D(X+Y)=D(X)+D(Y).

3.一些常用隨機變量的期望和方差

①(0-1)分布.設(shè)X服從(0-1)分布，則E(X)=P,D(x)=(1-p)p.

②二項分布，設(shè)X?B(n,p),則X的分布律為：

P{X=k}=(ktg,1,2,■■■,n,0<p<1),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).

③泊松分布，設(shè)X?n(入)，即X的分布律為：

P{X=k}=(k=0,1,2,n；X>0)

則其數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)=入，D(X)=入.

④均勻分布.設(shè)隨機變量X在[a,b]上服從均勻分布，則其概率密度為：

其他

則E(x)=2,D(X)=o

⑤正態(tài)分布.設(shè)X~N(u,^2輯則其分布密度為:

f(X)=v2^0,—(-00<X<+00,a>0)

其數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)=u,D(X)=c2.

⑥指數(shù)分布.設(shè)X服從指數(shù)分布，則其分布密度為：

其數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)=,D(X)=.

2.二維隨機向量與隨機變量的獨立性

(1)二維隨機向量及其分布

①離散型隨機向量的概率分布.

P{x=XtY=F;}=R,i,j=1,2,-??

稱為隨機向量(X,近港合概率分布，簡稱概率分布，也稱聯(lián)合分布律。

稱=P：-,i=1,2,-??

為X的邊緣概率受益

稱P{Y=力}=.1=P.i,i=1,2,???

為Y的邊緣概率分布.

②連續(xù)型隨機向量的概率分布：對于二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)F(X,Y),如果存

在非負(fù)函數(shù)f(X,y),使對任意實數(shù)無，y有：

F(X—jIf(w?v)dudv

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，于(X,y)稱為(X,Y)的聯(lián)合概率分布密度，簡稱

概率密度.

X的邊緣分布密度為：fX(X)=

Y的邊緣分布密度為：丸(父)=

(2)隨機變量的獨立性【立兩個隨機變量相互獨立的充分必要條件】

為兩中隨機更上，落肺伍:ft立效育+_________

FQ.y)=PiX^x.Y^y}=P{X&H>?P'.Y^y一Fx(_r)?

則稱X、Y相互獨立.

若x、y是二維離散型隨機向量，則它們相互獨立的充分必要備件是

p?=p,.p.,i.j=1.2.—

若X.Y是二維連續(xù)型隨機向量，則它們相互獨立的充分必要■條件是

=/X(j)?

第四節(jié)大數(shù)定律與中心極限定理

一'大數(shù)定律

1.貝努里大數(shù)定理

設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p,在n次獨立重復(fù)試驗中，A發(fā)生m次，那么對任意給

定的正數(shù)￡,有

{II<￡}=1

2.辛欽大數(shù)定律

設(shè)隨機變量X,,X2,…，X”，…相互獨立，服從同一分布，且E(X")=U(k=1,2,-■■),則任

意正數(shù)￡,恒有

位就年{||<￡)=1

二'中心極限定理％】

定理1"設(shè)隨機變量X,.X”…，X”，…相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：

E(XJ=u,D(Xj="2」0(k=1,2,■-■)

則恒有

此定理稱為林德貝格一勒維中心極限定理，也稱為獨立同分布的中心極限定理，

龐理2：版X“?B(n,p),0<p<1,則

此定理稱為德莫佛一一拉普拉斯中心極限定理.

第三章時間序列分析

第一節(jié)時間序列概述

一、時間序列的概念和種類【★★★,單選】【識記】

1.▲?時間序列的概念:時間序列就是按照時間順序?qū)⒂^察取得的某個統(tǒng)計指標(biāo)（變量）的一

組觀察值進(jìn)行排列而成的序列.

2.?時間序列的構(gòu)成要素:一是指標(biāo)所屬的時間，也稱時間變量列）;二是指標(biāo)在所對應(yīng)的時間

上表現(xiàn)的具體數(shù)值（y）。

3.▲時間序列的作用有哪些？

①反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展變化過程

②描述現(xiàn)象的發(fā)展趨勢和發(fā)展速度

③探索現(xiàn)象發(fā)展變化的規(guī)律

④對某些社會經(jīng)濟現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測

⑤利用時間序列可以在不同地區(qū)或國家之間進(jìn)行對比分析

4.▲?時間序列的分類

1）按指標(biāo)性質(zhì)分類.時間序列按照所排列指標(biāo)的性質(zhì)不同，可以分為以下三種：

a）時點序列:是指由某一時點指標(biāo)的不同時點上的指標(biāo)值按照時間先后順序排列而成的時

間序列.

b）時期序列:是指某一時期指標(biāo)的不同時期上的指標(biāo)值按時間先后順序排列而成的時間序

列。

c）特征序列:是指由某一相對指標(biāo)或者平均指標(biāo)的不同時間上的指標(biāo)值按照時間先后順序

排列而成的時間序列。

2）按指標(biāo)數(shù)值變化特征分類.時間序列按指標(biāo)數(shù)值變化特征不同，可以分為以下兩種：

a）如果一個時間序列中的指標(biāo)數(shù)值不存在持續(xù)增長或下降的趨勢，并且其波動的幅度在不

同的時間也沒有顯著差異，那么該時間序列就是一個平穩(wěn)序列.

b）如果一個時間序列中的指標(biāo)數(shù)值存在著持續(xù)增長或下降的趨勢，或者其波動的幅度在不

同的時間有明顯的差異，那么該時間序列就是一個非平穩(wěn)序列.

二、時間序列的影響因素和模型【★★★,單選簡答題】【識記】

1.時間序列的影響因素

任何客觀現(xiàn)象所構(gòu)成的時間序列隨著時間的推移都會發(fā)生各種各樣的變化，而這種變化

又是受到各種影響因素共同作用的結(jié)果.這些影響因素歸納起來主要包括

底時間序列的影響因素：長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）、循環(huán)變動（C）和不規(guī)則變動（I）.

1）▲季節(jié)變動的含義及特點是什么？

季節(jié)變動，指手自然界季節(jié)更替影響而發(fā)生的年復(fù)一年的有規(guī)律的變化。

特點是：具有周期性、規(guī)律性，且周期長度固定。

案例：如果廣告費用的逐期增長量基本相等，即近似常數(shù)，則廣告費時間序列長期

趨勢就是線性的。［2013.11案例分析-】

2.▲?時間序列的變動模型

時間序列可分解為多種模型，其中最常見的有乘法模型和加法模型.

乘法模型：Y=T?S?C?I（乘法模型是假定四個因素對現(xiàn)象發(fā)展有相互影響的作用；）

加法模型：Y=T+S+C+I（而加法模型假定各因素對現(xiàn)象發(fā)展的影響是相互獨立的。）

第二節(jié)時間序列特征指標(biāo)［★★★★選擇題,簡答題】【▲?反映時間序列變動特征的指標(biāo)有幾類？答一

和二中的

一、時間序列水平指標(biāo)

?【時間序列水平指標(biāo):簡稱水平指標(biāo)，一般用來反映研究現(xiàn)象的絕對變動量或平均變動量，

具體包括平均發(fā)展水平、增長量和平均增長量三種指標(biāo).］

1.平均發(fā)展水平:又稱序時平均數(shù),它是將一個時間序列中各個時間上的指標(biāo)值加以平均

而得到的平均數(shù)，用以反映所研究現(xiàn)象在一段時間內(nèi)的一般水平或者代表水平.

三種不同時間序列條件下序時平均數(shù)的計算方法

由時期序列計算序時平均數(shù)；【案例P82】

公式：

由時點序列計算序時平均數(shù)；【案例P821

公式：

由特征序列計算序時平均數(shù)；【案例P83】

公式：

2.增長量:增長量是報告期水平與基期水平之差，它反映報告期較基期增長（或減少）的

絕對數(shù)量.用公式表示為：增長量=報告期水平一基期水平

?增長量有逐期增長量和累積增長量之分

逐期增長量是報告期水平與前一期水平之差y1-yo,y2-yi,y3-y2,...y?-yn.112013.11案例分析

/2014.11案例分析】

累積增長量是報告期水平與某一固定時期的水平之差。Y1-yo,y2-yo,y3-yo，…,yn-y0

3.平均增長量:平均增長量是逐期增長量的序數(shù)平均數(shù)。

平均增長平=逐期增長逐之和/逐期增長量的個數(shù)。

二'時間序列速度指標(biāo)★★選擇題、簡答題】

【時間序列速度指標(biāo),簡稱速度指標(biāo)，它是用來反映研究現(xiàn)象在動態(tài)上發(fā)展變動的相對

程度或平均程度，具體包括發(fā)展速度、增長速度、平均發(fā)展速度和平均增長速度】。

1.發(fā)展速度：發(fā)展速度是報告期水平和基期水平之比，又稱動態(tài)相對數(shù)，它反映報告期較

基期發(fā)展變動的相對程度.計算公式：發(fā)展速度=報告期水平/基期水平X100%

環(huán)比發(fā)展速度：vJv。、y3/y2,-Vn/yni

定基發(fā)展速度：Y/vo,y2/y0,y3/yo,--yn/yo

2.增長速度：增長速度，也稱增長率，它是增長量除以基期水平或者發(fā)展速度減1的結(jié)果，

說明研究現(xiàn)象逐期增長或在較長時期內(nèi)總的增長速度。

環(huán)比增長速度=逐期增長量/基期水平X100%=環(huán)比發(fā)展速度茨［2013.1［案例分析

/2014.11案例分析】

定基增長速度=累積增長量/基期水平X100%=定基發(fā)展速度-1

三、平均發(fā)展速度和平均增長速度

1.平均發(fā)展速度是各個時期環(huán)比發(fā)展速度的序時平均數(shù)，反映研究現(xiàn)象在較長時期內(nèi)發(fā)展

速度變化的平均程度.在實際工作中，平均發(fā)展速度的計算方法有兩種，即幾何平均法

和方程式法.

2.幾何平均法公式：

3.平均增長速度，又稱平均增長率，它是增長速度的序時平均數(shù).【視頻沒講】

第三節(jié)里長期趨勢的測定及預(yù)測【選擇題】

近題趨壑:是指時間序列中的指標(biāo)值在較長時間內(nèi)所表現(xiàn)出來的變動總態(tài)勢或者變動總方向。

▲?其常用的測定方法主要有時距擴大法、移動平均法和數(shù)學(xué)模型法三種。【2015.11選答】

一、時距擴大法［低頻選擇題］

時距擴大法是測定長期趨勢最原始、最簡單的方法，它是將原有時間序列中較小時距單

位的若干個數(shù)據(jù)加以合并，得出擴大了時距單位的數(shù)據(jù)，形成新的時間序列，通過這種方法

求得的新的時間序列可以消除較小時距單位所受到的偶然因素的影響，使研究現(xiàn)象發(fā)展變化

的基本趨勢顯示得更為明顯.【優(yōu)點：操作簡便而且直觀；缺點：新時間序列包含數(shù)據(jù)大大

減少，導(dǎo)致信息量流失較多】【皂注意事項：只能用于時期數(shù)列、擴大后各個時期的時距應(yīng)

該相等、時距的大小要適中】

移動平均法［中頻選擇題］

移動平均法是對時距擴大法的一種改良，它是采用逐期遞推移動的方法計算一系列擴大

時距的序時平均數(shù)，并以這一系列移動平均數(shù)作為其對應(yīng)時期的趨勢值.【立注意事項：被

移動平均的項數(shù)越多，修勻作用就越大；移動平均所取項數(shù)，應(yīng)考慮研究對象的周期；如采

用偶數(shù)項移動平均，需進(jìn)行兩次移動平均；移動平均所取數(shù)越多，失去的信息也越多】

?簡述移動平均數(shù)的具體做法：從時間序列的第一項數(shù)值開始，按一定的項數(shù)求序時平

均數(shù)，逐項移動，得出一個由移動平均數(shù)構(gòu)成的新的時間序列。這個派生時間序列把受某些

偶然因素影響所表現(xiàn)的波動修勻了，使整個時間序列的總趨勢更加明顯。

三、數(shù)學(xué)模型法［高頻選擇題］【沖刺簡答題】【2015.11選答】

時間序列中長期趨勢的表現(xiàn)形式是多種多樣的，常用的趨勢線數(shù)學(xué)模型主要有以下幾

種：直線、指數(shù)曲線、二次曲線、修正指數(shù)曲線、邏輯曲線、龔珀茨曲線和雙指數(shù)曲線，

“各數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式分別為直線趨勢模型一3-k茗犬；,了

指數(shù)趨線方程=需最方?血豆;二a"r

拋物線趨勢方程=二次曲線趨勢模型：ya+lx+ctz

修正指數(shù)曲線模型6,=k-\rabl

邏輯曲線趨勢模型&k

1+ab1

龔珀茨曲線模型［］=kabf

雙指數(shù)曲線模型⑶卜ae-十。門

而運石領(lǐng)畫畫而為待"川挈或

常用的判別方法有:

1）圖形法.若以橫軸表示原時間序列中的時間（變量）t,以縱軸表示原時間序列中的指標(biāo)

y,將原時間序列中的時間與對應(yīng)的指標(biāo)值（t,星）作為坐標(biāo)點描在直角坐標(biāo)系中便形成

散點圖.然后根據(jù)散點圖的走勢，就可以大致判斷出原時間序列的趨勢線模型.

2）指標(biāo)法.即通過計算出一系列指標(biāo)來判別原時間序列的趨勢線類型.

【2014.11案例分析-要求計算直線趨勢方程，課本案例P95】

第四節(jié)季節(jié)變動的測定和預(yù)測

?簡述季節(jié)變動的含義及特點:季節(jié)變動指某些社會經(jīng)濟現(xiàn)象，由于受自然因素和社會條件

的影響，隨著季節(jié)更換而引起的有規(guī)律性的變動。特點有周期性、重復(fù)性、周期長度固定。

▲?研究季節(jié)變動目的是什么：【沖刺選答題】季節(jié)變動是客觀存在的，通過研究季節(jié)變動，

我們可以認(rèn)識其變動周期和變動規(guī)律性，給實際部門的生產(chǎn)經(jīng)營活動提供決策依據(jù)。

一、按月（季）平均法［P102］

按月（季）平均法是測定被研究現(xiàn)象季節(jié)變動的最簡單方法.用符號表示如下：

SI=K（i=1,2,3,…，12或1,2,3,4）

_1

式中：SI代表季節(jié)比率；算代表各年同月（季）的平均數(shù)；手代表各年總的月（季）平均數(shù).

【2014.11單選】在進(jìn)行季節(jié)分析時，12個月（或4季）的季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)應(yīng)等于（100%）

二、趨勢剔除法

1.▲趨勢剔除法【沖刺選答題】：在具有明顯的長期趨勢變動的時間序列中，為了測定季

節(jié)變動，必須首先將趨勢變動因素在時間序列中的影響加以剔除，這種事先剔除長期趨

勢變動的因素，而后計算季節(jié)比率的方法，就是趨勢剔除法.

2.&配合趨勢線趨勢剔除法。這種方法的具體做法是：

1）配合趨勢方程.將以年為單位的趨勢方程變換為以月（季）為單位，并將原點移動

至第一年第一個月（或第一季度）.

2）根據(jù)所確立的趨勢方程確定每年各月的月趨勢值（或各季度的季趨勢值）.

3）求修勻比率，即將每月（季）的實際觀測值除以每月（季）趨勢值.

4）求季節(jié)比率，即根據(jù)每月（季）的修勻比率計算各月（季）的平均比率.

三、季節(jié)變動的預(yù)測

1.簡單季節(jié)模型預(yù)測方法

如果已知下一年的全年預(yù)測值，則各月（季）的預(yù)測值等于月（季）平均預(yù)測值乘以該

月（季）的季節(jié)比率，用公式表示為：

￡=正■冬

式中：。代表月（季）的預(yù)測值：工代表測算的預(yù)測年度各月（季）平均值；x代表月（季）

季節(jié)比率.

2.史移動平均季節(jié)模型預(yù)測方法

■簡單季節(jié)模型與移動平均季節(jié)模型的根本區(qū)別在于簡單季節(jié)模型未考慮到時間序列

中的長期趨勢變動因素.

事實上，時間序列往往同時存在長期趨勢變動、季節(jié)變動和隨機變動，這就需要將三種

變動因素加以分解，首先