2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.當(dāng)計(jì)算一個(gè)函數(shù)的近似值時(shí)，若該函數(shù)在所論區(qū)間內(nèi)連續(xù)可微，且已知函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)值，則（）方法通常比線性插值方法能獲得更高的精度。A.牛頓插值B.拉格朗日插值C.二次樣條插值D.最小二乘擬合2.對(duì)于線性方程組Ax=b，若其系數(shù)矩陣A的條件數(shù)κ(A)很大，則（）。A.方程組有唯一解B.方程組的解對(duì)初始擾動(dòng)非常敏感C.方程組無解D.可以用任何迭代法求解3.在求解方程f(x)=0時(shí)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f(a)f(b)<0，則（）一定在(a,b)內(nèi)存在根。A.牛頓法B.二分法C.迭代法D.均值定理4.數(shù)值積分方法如梯形法則、辛普森法則等，本質(zhì)上是將定積分轉(zhuǎn)化為（）的求和。A.無窮級(jí)數(shù)B.有限個(gè)函數(shù)值C.無窮個(gè)函數(shù)值D.函數(shù)的泰勒展開式5.在用歐拉法求解初值問題y'=f(t,y),y(t0)=y0時(shí)，為了提高精度，通常采用（）。A.增加步長hB.改用改進(jìn)歐拉法或龍格-庫塔法C.縮小步長hD.增加初始條件精度二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.數(shù)值計(jì)算中，由于計(jì)算機(jī)有限字長表示的限制，任何浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算都不可避免地會(huì)引入（）誤差。7.若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為奇異矩陣，則該方程組（）解。8.在函數(shù)f(x)的泰勒展開式中，截?cái)嗾`差（用插值點(diǎn)附近的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值表示）通常是關(guān)于步長h的（）階無窮小量。9.對(duì)于線性方程組Ax=b，若采用雅可比迭代法，為了保證迭代收斂，系數(shù)矩陣A必須滿足（）條件。10.在蒙特卡洛方法中，通常需要生成服從（）分布的隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象。三、計(jì)算題（共35分）11.（10分）用二分法求方程x^3-x-1=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求誤差不超過10^-4。請(qǐng)寫出迭代過程，并計(jì)算根的近似值。12.（10分）給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(1,2),(2,3),(3,5),(4,7)。試用拉格朗日插值法構(gòu)造插值多項(xiàng)式P3(x)，并計(jì)算P3(2.5)的值。13.（10分）考慮線性方程組：3x+0.1y=1.00.1x+7y=0.3。分別用雅可比迭代法（取初始值x0=0,y0=0，迭代3次）和高斯消元法（不使用主元消去）求解該方程組。計(jì)算雅可比迭代法的近似殘向量。14.（5分）編寫一個(gè)用梯形法則計(jì)算定積分∫[0,1]e^(-x^2)dx的Python函數(shù)框架（不要求實(shí)現(xiàn)具體計(jì)算或優(yōu)化）。四、編程題（共30分）15.（15分）編寫Python代碼（或MATLAB代碼），實(shí)現(xiàn)如下任務(wù)：a.生成100個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)數(shù)。b.用這些隨機(jī)數(shù)估計(jì)定積分∫[0,1]e^(-x^2)dx的值，要求使用蒙特卡洛方法。c.輸出估計(jì)的積分值。16.（15分）編寫Python代碼（或MATLAB代碼），實(shí)現(xiàn)如下任務(wù)：a.給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)列表（例如：[(1,2),(2,3),(3,5),(4,7)]）。b.使用numpy庫中的polyfit函數(shù)擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的二次多項(xiàng)式。c.使用得到的二次多項(xiàng)式計(jì)算當(dāng)x=2.5時(shí)的函數(shù)值。d.輸出擬合得到的二次多項(xiàng)式系數(shù)。五、綜合應(yīng)用題（共20分）17.考慮初值問題y'=-2ty,y(0)=1。試用四階龍格-庫塔法（RK4）求解該問題在區(qū)間[0,1]上的數(shù)值解，取步長h=0.25。請(qǐng)寫出RK4方法的計(jì)算公式，并計(jì)算t=0.25和t=0.5時(shí)的近似解y(0.25)和y(0.5)。（提示：此方程有解析解y(t)=e^(-t^2)）試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.B5.B二、填空題6.舍入7.無8.二9.對(duì)角占優(yōu)（或嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)）10.均勻三、計(jì)算題11.解：二分法迭代公式x_{n+1}=(a_n+b_n)/2。初始區(qū)間[a0,b0]=[1,2]。f(1)=-1<0,f(2)=5>0,根在[1,2]內(nèi)。x1=(1+2)/2=1.5,f(1.5)=(1.5)^3-1.5-1=-0.125<0,根在[1.5,2]。x2=(1.5+2)/2=1.75,f(1.75)=(1.75)^3-1.75-1=0.421875>0,根在[1.5,1.75]。x3=(1.5+1.75)/2=1.625,f(1.625)=(1.625)^3-1.625-1=-0.3359375<0,根在[1.625,1.75]。x4=(1.625+1.75)/2=1.6875,f(1.6875)=(1.6875)^3-1.6875-1=0.044921875>0,根在[1.625,1.6875]。x5=(1.625+1.6875)/2=1.65625,f(1.65625)=(1.65625)^3-1.65625-1=-0.1455078125<0,根在[1.65625,1.6875]。x6=(1.65625+1.6875)/2=1.671875,f(1.671875)=(1.671875)^3-1.671875-1=-0.05029296875<0,根在[1.671875,1.6875]。x7=(1.671875+1.6875)/2=1.6796875,f(1.6796875)=(1.6796875)^3-1.6796875-1=-0.00263471679<0,根在[1.6796875,1.6875]。x8=(1.6796875+1.6875)/2=1.68359375,f(1.68359375)=(1.68359375)^3-1.68359375-1=0.021088623046875>0,根在[1.6796875,1.68359375]。x9=(1.6796875+1.68359375)/2=1.681640625,f(1.681640625)=(1.681640625)^3-1.681640625-1=0.009227935791015625>0,根在[1.6796875,1.681640625]。x10=(1.6796875+1.681640625)/2=1.6806640625,f(1.6806640625)=(1.6806640625)^3-1.6806640625-1=0.0033479176635742188>0,根在[1.6796875,1.6806640625]。x11=(1.6796875+1.6806640625)/2=1.680177734375,f(1.680177734375)=(1.680177734375)^3-1.680177734375-1=0.0008575466911621094>0,根在[1.6796875,1.680177734375]。x12=(1.6796875+1.680177734375)/2=1.679932958984375,f(1.679932958984375)=(1.679932958984375)^3-1.679932958984375-1=-0.000896446911132935>0,根在[1.679932958984375,1.680177734375]。x13=(1.679932958984375+1.680177734375)/2=1.6800553466796875,f(1.6800553466796875)=(1.6800553466796875)^3-1.6800553466796875-1=-0.000019107445616115>0,根在[1.6800553466796875,1.680177734375]。x14=(1.6800553466796875+1.680177734375)/2=1.6800165905273438,f(1.6800165905273438)=(1.6800165905273438)^3-1.6800165905273438-1=-0.0000095537228109>0,根在[1.6800165905273438,1.680177734375]。x15=(1.6800165905273438+1.680177734375)/2=1.6800971609510498,f(1.6800971609510498)=(1.6800971609510498)^3-1.6800971609510498-1=0.0000004468595>0,根在[1.6800165905273438,1.6800971609510498]。x16=(1.6800165905273438+1.6800971609510498)/2=1.6800668757391929,|x16-x15|=0.0000505714237062<10^-4。停止迭代。近似根：x≈1.6801。12.解：拉格朗日插值基函數(shù)：L1(x)=((x-2)(x-3)(x-4))/((1-2)(1-3)(1-4))=(x^3-9x^2+26x-24)/(-6)L2(x)=((x-1)(x-3)(x-4))/((2-1)(2-3)(2-4))=(x^3-8x^2+15x-6)/(2)L3(x)=((x-1)(x-2)(x-4))/((3-1)(3-2)(3-4))=-(x^3-7x^2+10x-4)/(2)L4(x)=((x-1)(x-2)(x-3))/((4-1)(4-2)(4-3))=(x^3-10x^2+35x-30)/(6)P3(x)=f(1)L1(x)+f(2)L2(x)+f(3)L3(x)+f(4)L4(x)P3(x)=2*[(x^3-9x^2+26x-24)/(-6)]+3*[(x^3-8x^2+15x-6)/(2)]-5*[-(x^3-7x^2+10x-4)/(2)]+7*[(x^3-10x^2+35x-30)/(6)]P3(x)=(-1/3)x^3+3x^2-(13/3)x+4+(3/2)x^3-12x^2+(45/2)x-9+(5/2)x^3-(35/2)x^2+25x-10+(7/6)x^3-(35/3)x^2+(175/6)x-35P3(x)=((-1+9/2+15/2+7/6))x^3+((3-12-35/2-35/3))x^2+((-13/3+45/2+25-175/6))x+(4-9-10-35)P3(x)=((21/6+21/6+7/6)x^3+(-18-21/2-35/3)x^2+(-26/6+135/6-105/6)x-50)P3(x)=(49/6)x^3+(-123/6-35/3)x^2+(4/6)x-50P3(x)=(49/6)x^3+(-123/6-70/6)x^2+(4/6)x-50P3(x)=(49/6)x^3+(-193/6)x^2+(4/6)x-50P3(x)=(49x^3-193x^2+4x-300)/6P3(2.5)=(49*(2.5)^3-193*(2.5)^2+4*(2.5)-300)/6P3(2.5)=(49*15.625-193*6.25+10-300)/6P3(2.5)=(765.625-1206.25+10-300)/6P3(2.5)=(-630.625)/6P3(2.5)=-105.1041667(或約-105.10)。13.解：雅可比迭代法公式：x_{n+1}=(D^-1(b-(L+U)x_n))，其中A=D+(L+U)。A=[3,0.1;0.1,7],D=[3,0;0,7],L=[0,-0.1;-0.1,0],U=[0,0;0,0].D^-1=[1/3,0;0,1/7].L+U=[-0.1,0;-0.1,0].x0=[0;0].x1=D^-1(b-(L+U)x0)=[1/3*(1.0-0),0]=[1/3;0].x2=D^-1(b-(L+U)x1)=[1/3*(1.0-(-0.1)*(1/3)),1/7*(0.3-(-0.1)*(1/3))]=[1/3*(1.0+1/30),1/7*(0.3+1/30)]=[31/90,19/210].x3=D^-1(b-(L+U)x2)=[1/3*(1.0-(-0.1)*(31/90)),1/7*(0.3-(-0.1)*(19/210))]=[1/3*(1.0+31/900),1/7*(0.3+19/2100)]=[319/900,649/2940].近似解x≈[319/900;649/2940].殘向量r=b-Ax≈[1.0-3*(319/900)+0.1*(649/2940);0.3-0.1*(319/900)-7*(649/2940)]r≈[1-957/900+64.9/29400;0.3-31.9/900-4543/2940]r≈[900/900-957/900+64.9/29400;294/980-31.9/900-4543/2940]r≈[-57/900+64.9/29400;2940/29400-31.9/900-4543/2940]r≈[-19/300+64.9/29400;1/10-31.9/900-4543/2940]r≈[-19/300+0.0022;0.1-0.03544-1.5380]r≈[-0.0633+0.0022;-1.47344]r≈[-0.0611;-1.47344].雅可比迭代近似殘向量：r≈[-61.1/1000;-1473.44/1000].14.解：梯形法則計(jì)算定積分∫[a,b]f(x)dx近似公式：h=(b-a)/n,x_i=a+ih(i=0,...,n),Σ[f(x_i)+f(x_{i+1})]*h/2.函數(shù)f(x)=e^(-x^2),a=0,b=1.Python函數(shù)框架示例：```pythonimportmathdeftrapezoidal_rule(f,a,b,n):h=(b-a)/nsum=0.0foriinrange(n):x_i=a+i*hx_ip1=x_i+hsum+=f(x_i)+f(x_ip1)integral_approx=(h/2.0)*sumreturnintegral_approx#示例使用：integral=trapezoidal_rule(math.exp,0,1,1000)#print(integral)```15.解：Python代碼框架示例：```pythonimportnumpyasnp#a.生成100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)random_numbers=np.random.randn(100)#b.用蒙特卡洛方法估計(jì)積分defmonte_carlo_integration(f,a,b,N):h=(b-a)sum_f=0.0foriinrange(N):x=a+np.random.rand()*hsum_f+=f(x)return(h/N)*sum_f#被積函數(shù)deff(x):returnnp.exp(-x2)#蒙特卡洛估計(jì)，N=100個(gè)隨機(jī)點(diǎn)N=100integral_estimate=monte_carlo_integration(f,0,1,N)#c.輸出估計(jì)值print("MonteCarloestimateoftheintegral:",integral_estimate)#注意：實(shí)際運(yùn)行結(jié)果會(huì)因隨機(jī)數(shù)不同而變化```16.解：Python代碼框架示例：```pythonimportnumpyasnp#給定數(shù)據(jù)點(diǎn)points=np.array([(1,2),(2,3),(3,5),(4,7)])x_data=points[:,0]y_data=points[:,1]#b.使用numpypolyfit擬合二次多項(xiàng)式(degree=2)coefficients=np.polyfit(x_data,y_data,2)#d.輸出系數(shù)(從高次到低次)print("Polynomialcoefficients:",coefficients)#c.計(jì)算x=2.5時(shí)的函數(shù)值#y=coefficients[0]*x^2+coefficients[1]*x+coefficients[2]x_val=2.5y_val=np.polyval(coefficients,x_val)print("Functionvalueatx=2.5:",y_val)#注意：實(shí)際運(yùn)行結(jié)果會(huì)顯示具體系數(shù)和y值```17.解：四階龍格-庫塔法（RK4）公式：k1=h*f(t_n,y_n)k2=h*f(t_n+h/2,y_n+k1/2)k3=h*f(t_n+h/2,y_n+k2/2)k4=h*f(t_n+h,y_n+k3)y_{n+1}=y_n+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)對(duì)于y'=-2ty,y(0)=1,h=0.25,t_n=0,y_n=1.f(t,y)=-2ty.t=0,y=1:k1=0.25*(-2*0*1)=0.t=0.125,y=1+k1/2=1:k2=0.25*(-2*0.125*1)=-0.0625.t=0.125,y=1+k2/2=0.96875:k3=0.25*(-2*0.125*0.96875)=-0.12109375.t=0.25,y=1+k3=0.87890625:k4=0.25*(-2*0.25*0.87890625)=-0.2197265625.