第十六章二次根式

16.2二次根式的乘除

I?知識梳理

考點一：二次根式的乘法法則

/.小=?。╝20,bNO）即：二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變

（1）進行二次根式的乘法運算時，一定不能忽略其被開方數a,b均為非負數這一條件。

（2）推廣?\[a..y/c=yjabc（a20,bNO,c20）

③乘法交換律和結合律在二次根式的乘法中任然可應用。

考點二、二次根式乘法法則的逆用

回=F.加（a20,b20）即和的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的枳

利用這個隹質可以把二次根式化簡,在進行二次根式的化簡運算時，先將被開方數進行因式分解或因數分解,

然后再將能開得盡方的因式或因數開方后移到根號外。

考點三、二次根式的除法法則

叁入伍（a20,b>0）即：二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變。

wv0

注：（1）a必須是非負數，b必須是正數，式子才成立。若a,b都是負數，雖然那>0,有意義，但5，小

在實數范圍內無意義；若b=o,則:無意義。

b

（2）如果被開方數是帶分數，應先將其化成假分數，叭14；必須先化成,以免出現(xiàn)二小

這樣的錯誤。

考點四、二次根式除法法則的逆用

b>0）即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根

注：公式中的a,b可以是數，也可以是代數式，但必須滿足aNO,b>0o公式中的a,b是限制公式右邊的，

對公式的左邊，只要220即可。例如計算耒",不能寫為、懺斗r,而應寫為/=$爰呼。

當被開方數是帶分數時，應先把它化成假分數。

考點五、最簡二次根式的概念

★滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

（1）被開方數丕盒分母：（2）被開方數中丕盒能開得盡方的因數或因式。

★化簡二次根式的一般方法

方法舉例

將被開方數中能開得盡方的m=V4X2=2小,^Ty^xV.x二xyM

因數或因式進行開方

化去若被開方數中含有

根號帶分數，應先援勒

下的數化成假分數

分母若被開方數中含有

屈二日\1焉^或屈走東卷=io5

小數，應先將小數化

成分數

被開方數是多項式的要先進^X5+2x3y2+xy'=^/x(x^xY+y1)=y]x(x2+y2)2=(x2+y2)yfx

行因式分解

題型一：二次根式的乘法

I.（2022?全國?八年級課前預習）下面計算結果正確的是（)

A.4#x2石=86B.5>/3x4y/2,=20x/5

C.473X372=775D.5G乂4幣=24向

2.（2021?山東省青島第六十三中學八年級期中）估計應xg+2的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間

C.3和4之間D.4和5之間

3.（2022?全國?八年級）計算:

題型二：二次根式的除法

4.（2022.全國.八年級）計算加《血的結果為（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

6.（2022?全國?八年級）計算:

題型三：二次根式的乘除混算

A.1B,2.5C.5D.6

9.（2022?全國?八年級）計算

題型四：最簡二次根式的判斷

10.（2022?上海松江?八年級期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（)

11.（2021?上海普陀?八年級期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（)

25.（2022?北京通州?八年級期末）下列計算正確的是（）

27.（2021?上海巾茅光學校八年級期中）下列結論中，對于任何實數。、〃都成立的是（)

一：選擇題

28.（2021?遼寧蘇家屯?八年級期中）計算JiWx夜-5的結果為（）

A.3&?5B,2逐-5C.6D.1

29.（2。21?上海市南洋模范中學八年級階段練習）下列各式中，是最簡二次根式的有（）

31.（2021?廣東?深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學八年級階段練習）下列各式中，正確的是（）

32.（2021.山東青州.八年級期末）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下列說法:

①當輸出值y為石時，輸入值x為5或25；

②當輸入值為64時，輸出值y為上;

③對于任意的正無理數），，都存在正整數-使得輸入x后能夠輸出），；

④存在這樣的正整數x,輸入工之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出），值.

其中錯誤的有（）

場入X

取算術平方根

輸出y

A.4個B.3個C.2個D.1個.

二、填空題

三、解答題

39.（2021.全國?八年級專題練習）化簡

41.（2021.寧夏?銀川市第十五中學八年級期中）計算:

42.（2021?廣東揭東?八年級階段練習）先閱讀下面的解題過程，然后再解答:

1.D

2.D

【解析】

【分析】

原式第一項利用二次根式,的乘法變形，估算得到結果，即可作出判斷.

【詳解】

L

2.

2<J2

3<3,

2L

4<J2

3+2<5,

???&xJ；+2的值在4和5之間.

故選：D.

【點睛】

此題考杳了二次根式的乘法，估算無理數的大小，正確估算出2<\方<3是解題的關鍵.

【解析】

【分析】

（1）直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案；

（2）直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案；

（3）直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案；

（4）直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案.

【詳解】

【點睛】

此題主要考杳了二次根式的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關錦.

4.A

【解析】

略

5.B

【解析】

【分析】

先計算二次根式的除法，再根據無理數的估算即可得.

【詳解】

故選：B.

【點睛】

本題考杳了二次根式的除法、無理數H勺估算，熟練掌握二次根式的除法法則是解題關鍵.

【解析】

【分析】

（1）根據二次根式的除法運算法則進行計算，可以先化簡再除，也可以先除再化簡.

（1）根據二次根式的除法運算法則進行計算.

（1）根據二次根式的除法運算法則進行計算.

（1）根據二次根式的除法運算法則進行計算.

【詳解】

【點睛】

本題考查二次根式的除法，理解二次根式的性質，掌握二次根式除法運算法則是解題關鍵.

7.A

【解析】

【分析】

先利用二次根式的性質將各項化簡，再算乘除，即可求解.

【詳解】

=3石+3?xR

=1,

故選：4.

【點睛】

本題主要考查了二次根式的乘除運算，先化簡，熟練掌握二次根式乘除混合運算法則是解題的關鍵.

8.A

【解析】

【分析】

直接根據二次根式的乘除法法則進行計算即可.

【詳解】

故選：A

【點睛】

此題主要考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵.

【解析】

【分析】

(1)根據二次根式乘除運算法則從左到右順序計算即可；

(2)根據二次根式乘除運算法則從左到右順序計算即可；

(3)先化簡二次根式，根據二次根式乘除運算法則從左到右順序計算即可；

(4)根據二次根式除運算法則轉化為乘法計算，再化簡即可.

【詳解】

=12：

3

=-?

4，

=25/3.

【點睛】

此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則.

10.B

【解析】

【分析】

利用最簡二次根式定義判斷即可.

【詳解】

故選：B.

【點睛】

本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關鍵.

11.C

【解析】

【分析】

根據最簡二次根式中被開方數不含分母；根據被開方數中不含開得盡方的因數；根據最簡二次根式的定義進行判斷

即可.

【詳解】

故選：C.

【點睛】

本題考查了最簡二次根式，解題的關鍵是掌握滿足①被開方數不含分母；②被開方數中不含開得盡方的因數或因式

的二次根式叫最簡二次根式.

12.D

【解析】

【分析】

根據最簡二次根式的定義去判斷即可.

【詳解】

故A不符合題意；

故4不符合題意；

故C不符合題意；

故。符合題意；

故選D.

【點睛】

本題考查了最簡二次根式即被開方數中的每一個因數的指數都小于根指數2,正確理解最簡二次根式的定義是解題

的關鍵.

13.B

【解析】

【分析】

先化簡，再根據同類二次根式的定義解答即可.

【詳解】

解：A、化簡得：人和萬不是同類二次根式，不能合并同類項，不符合題意；

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了同類二次根式的定義，解題的關鍵是掌握化成最簡二次根式后，被開方數相同，這樣的二次根式叫

做同類二次根式.

14.D

【解析】

【分析】

【詳解】

故選:D.

【點睛】

題目主要考查二次根式的化簡，掌握題目中符號的變換是解題關鍵.

15.D

【解析】

【分析】

根據一.次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式，可得答案.

【詳解】

故選D.

【點睛】

此題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次

根式.

16.B

【解析】

【分析】

【詳解】

故選B.

【點睛】

此題考筏了同類二次根式的知識，解答本題需要掌握同類二次根式的被開方數相同這個知識點，屬于基礎題.

17.C

【解析】

【分析】

根據最簡二次根式和合并同類二次根式的法則得出方程組，求出方程組的解即可.

【詳解】

解得：〃=0,

故選：C.

【點睛】

本題考食最簡二次根式和同類二次根式，二元一次方程組的解法，掌握這些知識點是關鍵.

18.A

【解析】

【分析】

根據二次根式以及同類二次根式的定義列方程組求解即可.

【詳解】

解：由題意得出：

故選：A.

【點睛】

本題考杳的知識點是同類二次根式的定義，熟記定義內容是解此題的關鍵.

19.B

【解析】

【分析】

根據最簡二次根式的定義對各選項分析判斷利用排除法求解.

【詳解】

B、J萬是最簡二次根式，正確；

故選B.

【點睛】

本題考杳了最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開

得盡方的因數或因式.

20.C

【解析】

略

21.A

【解析】

略

22.B

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：B.

【點睛】

本題主要考查二次根式的估值，解題的關鍵是要找到離99最近的兩個能開方的整數，就可以選出答案.

23.D

【解析】

【分析】

【詳解】

故選D

【點睛】

24.B

【解析】

【分析】

根據同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個

二次根式叫做同類二次根式.即可解答.

【詳解】

???能與G合并的是Jil；

故選：B.

【點睛】

本題考查了同類二次根式，解決本題的關鍵是掌握同類二次根式的定義.

25.D

【解析】

【分析】

根據二次根式的性質與運算法則逐項計算，即可求解.

【詳解】

B.被開方數要為非負數，故故原選項計算錯誤，不合題意：

故選：D

【點睛】

本題考查了二次根式的性質與除法運算，熟知二次根式的性質與運算法則是解題關鍵.

26.D

【解析】

【分析】

【詳解】

=32=1,

故選D.

【點睛】

本題考查了完全平方公式的變形求值，以及二次根式的乘方，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵.

27.D

【解析】

【分析】

根據二次根式運算的公式條件逐一判斷即可.

【詳解】

??那不成立；

???8不成立；

???C不成立；

成立；

故選。.

【點睛】

本題考直了二次根式的性質，熟練掌握公式的使用條件是解題的關鍵.

28.D

【解析】

【分析】

根據二次根式的乘法法則即可得.

【詳解】

=1>

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關鍵.

29.B

【解析】

【分析】

根據最簡二次根式滿足的條件逐個判斷即可：（1）被開方數的因數是整數，字母因式是整式；（2）被開方數不含能

開得盡方的因數或因式.

【詳解】

故是最簡二次根式的有2個，

故選：B.

【點睛】

本題考查最簡二次根式，熟知最簡二次根式的概念是解題的關鍵.

30.D

【解析】

【分析】

【詳解】

故選D.

【點睛】

本題考杳了二次根式的化簡及二次根式的乘法計算，難度不大，掌握計算法則正確計算是解題關鍵.

31.D

【解析】

【分析】

A.算數平方根結果是非負的；B.平方差和完全平方公式容易弄混；C.不能直接對每個加數開平方；D,轉化為乘

法，再分母有理化即可.

【詳解】

故選D.

【點睛】

本題考杳了算術平方根非負性，二次根數的除法，清晰二次根式外移規(guī)則是解決本題的關鍵.

32.B

【解析】

【分析】

根據運算規(guī)則以及無理數的定義即可求解.

【詳解】

解：①當輸出值y為逐時，x=5或x=25或625等，故①說法錯誤；

③對于任意的正無理數戶都存在正整數-使得輸入x后能夠輸出.如輸入后，故③說法錯誤；

④當尸1時，始終輸不出），值.因為1的算術平方根是1,一定是有理數，故④原說法正確.

其中錯誤的是①②③，共3個.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了無理數的定義、算術平方根以及二次根式的性質與億簡，注意：初中范圍內學習的無理數有：兀，2兀

等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數.

【解析】

略

34.3君

【解析】

【分析】

【詳解】

故答案為：3后.

【點睛】

本題主要考查了二次根式的乘法，在解題時要能靈活應用二次根式的乘法的法則是本題的關鍵.

35.網

【解析】