第3講空間向量與空間角

［考情分析］以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.空間向量是將空間幾何問

題坐標化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點，通常以解答題的

形式出現(xiàn)，難度中等.

考點一異面直線所成的角

【核心提煉】

設(shè)異面直線/,“2的方向向量分別為4=31,bl,Cl),力=(。2,bl,C2),異面直線/與小的夾

角為6.

則⑴?！?0,日;

a?b

(2)cos8=|cos〈。，b)|=

|〃河2+小伍+C1C2I

N司+譏+H+4+&

例1(1)(2021?全國乙卷)在正方體ABCD-AIQDi中，P為自小的中點，則直線PB與ADi

所成的角為()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析方法一如圖，連接GP,因為ABCQ—4SG。是正方體，且。為歷。］的中點，所

以CiPIBiDi,

又CiPIBBi,

所以GPJ_平面BiBP.

又8PU平面BiBP,所以CiPIBP.

連接BG,則AQi〃8G,

所以NPBG為直線PB與Ad所成的角.

設(shè)正方體4BC。-A/iG。的棱長為2,

則在RCGPB中，GP=；BOI=，L

8G=2叵sin/尸8G=痣=+

所以NP8Gq

方法二以S為坐標原點，BC,BiAi,8出所在的直線分別為x軸、），軸、z軸建立空間直

角坐標系（圖略），設(shè)正方體A6CQ-AIBGOI的棱長為2,則8（0,0,2）,P（l,l,0）,5（2,2,0）,

40,2,2）,成=（一1,-1,2）,而尸（2,0,-2）.設(shè)直線PB與八。?所成的角為仇Mccs0=

動.啟1~6|_y[?.?.因為夕￡（0,

一水木一

I麗廂ilX2

所以夕=合.

方法三如圖所示，連接BG,A}B,4P,PG,則易知A"〃8G,所以直線P8與力。所

成的角等于直線P8與8G所成的角.根據(jù)。為正方形A/iGOi的對角線的中點，易

知4,P,G三點共線，且P為4G的中點.易知A8=BG=4G,所以44出G為等邊

三角形，所以NA4G=$又〃為AQ的中點，所以可得NPBG=：NAi8G弋.

⑵（2022?河南名校聯(lián)盟聯(lián)考）在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的

幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)

有一個如圖所示的曲池，它的高為2,4A，BBi，CCi，OQi均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)

對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為I和2,對應(yīng)的圓心角為90。，則圖中異面直線人自與CD所成

角的余弦值為（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案A

解析設(shè)上底面圓心為。，下底面圓心為O,連接OC,OB,OiCi,

以O(shè)為原點，分別以O(shè)C,06,OOi所在直線為x軸、了軸、

Z軸建立空間直角坐標系,

則4020),

Bi(0,1,2),Di(2,0,2),

則=(1,0,2),

ABi=(0,-1,2),

(3i?麗44

cos(CD\,AB})

\CD]\AB]小義小

又異面直線所成角的范圍為(o,

所以異面直線4辦與CA所成角的余弦值為青

規(guī)律方法平移線段法求異面直線所成角的步驟

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角.

(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角或其補角.

(3)計算：求該角的值(常利用解三角形).

(4)取舍：由異面直線所成的角的范圍確定兩條異面直線所成的角.

跟蹤演練1(1)(2022?南寧模擬)在正方體ABCD-AiBiCiDi中，O為平面AA\B\B的中心,

Oi為平面人出?。|的中心.若E為CD中點，則異面直線AE與OOi所成角的余弦值為()

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案B

解析設(shè)正方體的棱長為2,以。為坐標原點，D4,QC,所在直線分別為x軸、y軸、

z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則

A(2,0,0),E(0,l,0),

0(2,1,1),OKI,1,2),

危=(-2,1,0),

<56i=(-l,OJ),

設(shè)異面直線AE與OQ所或角為仇

泰仍2V10

貝ijcos0=

\AE\\OO]5

則異面直線AE與。。所成角的余弦值為邛.

(2)(2022?廣東聯(lián)考)如圖，在三棱錐產(chǎn)一43。中，PA=PB=CA=CB=5,AB=PC=2,點、D,

E分別為A8，/C的中點，則異面直線產(chǎn)。，6石所成角的余弦值為()

因為CO〃A8,AD=CD=CB=\,

A3=2,

所以四邊形人8C。為等腰梯形，

所以AE=BF=^,

+8/=小,

所以AD2+81)2=4",

所以A/5_LK。.

因為PO_L平面4BCD,8DU平面A8CQ,

所以PD工BD,

又PDCAD=D,PD,人QU平面出。，

所以8Q_L平面PAD.

又因為小U平面PAD.

所以BDLPA.

(2)解由(1)知，DA,DB,。尸兩兩垂直，

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，

則。(()00),41,()0),

8(0,小，0),P(0,0,小)，

則酢=(一1,0,5)，

麗=(0,一小，小)，

5?=(o.o,小).

設(shè)平面以8的一個法向量為〃=(x,y,z),

〃?能=0,

則有，

n-BP=0,

-4+小z=0,

即彳f-廠可雙〃=（5，1,1）,

〔一5y+巾z=o,

n-DP_A/5

則cos（〃，DP）=—=5

MDP\

所以PD與平面PAB所成角的正弦值為坐

易錯提醒(1)線面角〃與直線的方向向量。和平面的法向量n所成的角〈。，〃〉的關(guān)系是〈。,

n>+。=m或〈。，〃〉—9=1，所以應(yīng)用向量法求?的是線面角的正弦值，而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量,計算易出錯，要認真細心.

跟蹤演練2(2022?龍巖質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P-4BCO中，底面A8C。為直角梯形,AQ/78C,

AD±DC,M=PD=PB,4c=。。=%。=2,E為AO的中點，且PE=4.

⑴求證：PEJ_平面"C。：

(2)記尸E的中點為M若M在線段8C上，且直線MN與平面附8所成角的正弦值為*,求

線段BM的長度.

⑴證明連接8E,

'：BC=^AD=DE=2tAD//BC,

???四邊形BCDE為平行四邊形，

：.BE=CD=2,

:以=PO且E為AO的中點，/.PELAD,

：.PD=\PE?+DE?=716+4=2#,

：.PB=PD=2\[5,

：.PE~+BE2=PB2,HPPEX.BE,

又???AQn8E=￡,AD,8￡U平面48CD,

?"E_L平面ABCD.

(2)解以E為原點，E4為x軸，E8為)，軸，EP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則42.0,0),8(0,20),。(一2,2,0),P(0,0,4),

?,?贏=(-2,2,0),崩=(0,2,-4),

設(shè)平面以4的一個法向量為〃=(x,y,z),

nAB=0,f—2x+2y=0,

則〈即

?前=(),2廠4z=0,

故可取〃=(221),

設(shè)8"=々￡[0,2]),

則M(—f,2,0),而MOOZ，

:.MN=G-2,2),

設(shè)直線MN與平面小8所成的角為仇

則sin8=|cos（曲，加|=

2r-4+2

,\//24-44-4,\/99，

化簡得11尸一24/+4=0,

2

解得f=2或尸寸，滿足f￡[0,2],

故線段6M的長度為2或卞.

考點三平面與平面的夾角

【核心提煉】

設(shè)平面a,夕的法向量分別為*v,平面a與平面/?的夾角為伍

則⑴浜[。,郢

(2)cos^=|cos〈〃，v)l=j^|-

例3(2022?新高考全國H改編)如圖，P0是三棱錐的高，PA=PB,ABLAC,E為

P8的中點.

(1)證明：0E〃平面附C；

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求平面C4E與平面夾角的正弦值.

⑴證明如圖，取AB的二點D,連接。P,DO,DE.

因為AP=P8,所以PO_LA8.

因為P0為三棱錐P-A4C的高，

所以PO_L平面ABC.

因為A8U平面ABC,所以「。_LAB.

又PO,PQU平面夕。。，且POCPQ=P,

所以AB_L平面POD.

因為OOU平面POD,所以AB_L。。，

XABVAC,AB,OD,ACU平面48。，

所以O(shè)C/IAC.

因為。8平面PAC,ACU平面PAC,

所以0?！ㄆ矫鍼AC.

因為。K分別為〃人，“P的中點，

所以DE//PA.

因為。放平面以C,以U平面以C,

所以DE〃平面PAC.

又OD,OEU平面。力區(qū)ODC\DE=D,

所以平面0?！啊ㄆ矫鍼AC.

又OEU平面ODE,所以O(shè)E〃平面%C.

⑵解連接。A,因為PO_L平面ABC,OA,

O8U平面ABC,

所以PO_LO4,PO人OB,

所以O(shè)A=OB=y]FA2-PO2=A/52-32=4.

易得在aAOB中，ZOAB=ZABO=30°,

所以O(shè)D=OAsin300=4x1=2,

A/3=2AD=2OAcos300=2X4X^=4\/3.

又NA8C=N/W0+ZCTO=60°,

所以在RlZSABC中，

AC=ABtan60°=473X#=12.

以4為坐標原點，AB,AC所在直線分別為x,y軸，以過4且垂直于平面ABC的直線為z

軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則4（000）,B（電0,0）,C（0J2,0）,

所以病=（3小，1,|）,初=（4小，0.0）,

啟=（0,12,0）.

設(shè)平面CAE的法向量為〃=（戈，y,z）,

nAE=0t

則’

〃AC=0,

L12y=0,

令z=2小,則〃=(一1.0,2小).

設(shè)平面的法向量為〃2=(xi,vi,zi),

m-AE=Q,

則1-

jnAB=O,

叩3小不+川+今

i=0.

.4^3x1=0,

令zi=2,則〃i=(0,—3,2),

設(shè)平面CAE與平面AEB夾角為0,

…八，、〃?〃[

則cos<9=|cos〈〃，m)|=j^j二

所以平面CAE與平面A所夾角的正弦值為

1J

易錯提醒平面與平面的夾角的范圍是［。，外，兩向量夾角的范圍是［0,7T］,兩平面的夾角

與其對應(yīng)的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補.

跟蹤演練3(2022?邯鄲模擬)如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，PA=AB=AD=2,四邊形ABC。

為平行四邊形，NA8C哼%_L平面ABC。，E,尸分別是BC,PC的中點.

⑴證明：平面AE/_L平面附。.

(2)求平面人石尸與平面人￡7)夾角的余弦值.

⑴證明連接AC(圖略).因為%_L平面A8CD,

所以PALAE,

又因為AB=AO,且四邊形A8CQ為平行四邊形，ZABC=^

所以△ABC為等邊三角形.

又因為E為8C的中點，所以AE_L8C,

又因為AO〃8C,所以AE_LA。，

因為%AAQ=A,PA,AOU平面附。，

所以4EJL平面PAD,

又AEU平面AEF,

所以平面AERL平面PAD.

⑵解以A為原點，AE,ADfAP所在直線分別為x軸、1y軸、z軸建立空間直角坐標系,

如圖所示，

則P(0,0,2),E他,0,0),=11

危=(仍，0,0),能=性,與1)

因為附_L平面AED,

所以〃=(().(),I)是平面AE■。的一個法向量.

設(shè)平面AE尸的一個法向量為7〃=(x,y,z),

“iAE=0,

則?

mAF~0f

小x=0,

即近1

2^r+p'4-z=0,

令z=l,得x=0,)，=一2,

即加=(0,-2,1).

設(shè)平面HE尸與平面AE。夾角為仇

則cose=|cos<n,m)1=鼠=#坐,

所以平面AEF與平面AED夾角的余弦值為當.

專題強化練

一、單項選擇題

1.A,B,C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點。，若5?=搭而+：方^+:次，則P,A,B,C

四點()

A.一定不共面

B.一定共面

C.不一定共面

D.無法判斷是否共面

答案B

解析方法一因為決=汕

則OP-0A=-^OA+啦+以7,

4,00

I—?-A1??.1-A?

即OP—O4=d(O8—OA)+d(OC—OA),

OO

-A]-?|-?

即

AP=dOAB+dOAC,

由空間向量共面定理可知，崩，AB,亞共面，

貝1尸，A,B,C四點一定去面.

方法二因為?3+/I+/1=1，由空間向量共面定理的推論知，P,4,B,C四點共面.

455

2.(2022.溫州模擬)在四楂臺ABC。一A|3￡5中，側(cè)楂A4與底面垂直，上、卜底面均為矩

形，AB=1,AO=A4i=4出i=2,則下列各棱中最長的是()

A.BBiB.B\C\

C.CC1D.DDi

答案B

解析由四棱臺A8CD—4SG。可得

AD_AB_\

AiDi=XiB[=2,

故4。1=4.

因為84_1_平面人用iGOi,

而ASu平面AiB]CiZ)i,

故AAI_LAIOI,AA|_LAi8,而A|Q|_LA|8],故可建立如圖所示的空間直角坐標系.

故4(0,0。)，8(0,1,2),81(0,2,0),G(—4,20),C(-2J,2),0(-2,0,2),D)(-4,0,0),

故B&=l麗[1=護^=小,

BiCi=|^|=4,

8=函=、4+1+4=3,

。2=|應(yīng))4=m=2啦，結(jié)合選項知棱BCi最長.

3.如圖，在正四棱柱A8CD—AiSGG中，AA,=2AD,E為側(cè)棱。。上一點，若直線BD"/

平面A￡C,則二面角￡一4。一6的正切值為()

A.cqB.-^2

C.eqD.—2

答案B

解析如圖，連接BQ交八C于點立連接叢。

小,C,

由題意可知，BD}//EF,

因為尸為的中點，

所以E為。。的中點，

又ACL平面BDDB,

BD,EFU平面

所以EPJLAC,BOJLAC,

則NEFO為二面角E—4C—D的平面角,

設(shè)AD=af則ED=a,DF=^a,

EDl

在中，tanN￡77）=7^=VL

又二面角E-AC-A與二面角E-AC-O互補，

所以二面角E—AC—B的正切值為一小.

4.（2022?黃澤檢測）已知三棱柱ABC-A^C]的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為3,

4在底面A8C上的射影點。為BC的中點，則異面直線A3與CG所成角的大小為（）

A.cqB.cqC.cqD.cq

答案C

解析如圖，連接入i"AD,人同由CG〃/Ui,

知NA/B為異面直線AB與CG所成的角，

因為三棱柱ABC—A由iG的底面是邊長為2的等邊三角形，且側(cè)棱長為3,Ai在底面A8C上

的射影點。為6c的中點，

可得AD=、4_1=3,A^D=yf9—3=1\f6,

AiB=y/（a?+]=木,

由余弦定理得

9+4-71

cosN4AB=詆雙=于

因為NA|A8￡（0,1,

所以

所以異面直線AB與CG所成角的大小為生

5.（2022?全國甲卷）在長方體A8CO—AiBCDi中，已知BQ與平面A8CD和平面A4歷出所

成的角均為30°,則（）

A.AB=2AD

B.48與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CB]

D.與平面8BCC所成的角為45。

答案D

解析如圖，連接3D,易知NBD8是直線與平面A8C。所成的角,

所以在RtABDBi中，N8D在=30°,

設(shè)881=1,

則BQ=2BB尸2,

8￡>=、叢。2—8濟=小.

易知N/WQ是直線8|。與平面A4由歸所成的角，

所以在RlAADB1中，/ABi。-30。.

因為8|。=2,所以月。=權(quán)|。=1,

ABi=yfBiD1-Ab1=yf3,

所以在RtZ\AB8i中，山一兩=血,

所以A項錯誤；

易知NBA》是直線與平面AB\C\D所成的角，

因為在RlZ\4BBi中，sin為8ABi=75：=3￥￡，

所以NB4SW30。，所以B項錯誤；

在RtACBBi中，西麗=也，

而4。=4/1爐+口2=小,所以c項錯誤；

易知NOBC是直線小。與平面BBlGC所成的角，因為在RiZXOBC中，CB尸CD=讓,

所以NO8C=45。，所以D項正確.

6.向量的運算包含點乘和義乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量稅.現(xiàn)定義向量的義乘：

給定兩個不共線的空間向量〃與兒規(guī)定：①nX8為同時與〃，力垂直的向量；②a,b,aXb

三個向量構(gòu)成右手直角坐標系（如圖1）;③|a><M=|a||"sin（a,b）；④若a=（x[,巾，n），b

yi，zix\,ziM，viIAchb

=(X2?>'2>Z2)，則aX/>=+，+?其中=ad一8c.如圖

\>'2?Z2必Z2J2，>'217c,d

2,在長方體A8CO-A]B|G。中，AB=AZ）=2,AAi=3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.\ABXAD\=\AA\\

B.eqXA5=Abx熟

C.(AB-AbjXAA^ABXAAi-AbxAAi

D.長方體4BCD—4SG2的體積V=(嘉乂屈》而

答案C

解析如圖，建立空間直角坐標系，

則。(0。,0),4(2,00),C(0,2,0),8(2,20),

Ai(2O,3),G(0.2,3),

嬴=(0,2,0),而=(一2,0,0),/Mi=(0.0,3),

則靠XR=(0,0,4),所以選項A錯誤；

國)X贏=(0,0,-4),故選項B錯誤：

贏一病=加=(2,2,0),

則(后一Ab)x浦］=(6,-6.0),

&X筋1=(6,0,0),AbXMl=(0,6,0),

則好?x/€?［-Abx/Cii=(6,-6,0).

所以(而一屐))乂后i=Bx扇i—Abx后i,故選項c正確;

CC=(0,0,-3),則(怠xAb).祀=一］2,故選項D錯誤.

二、多項選擇題

7.(2022.山東聯(lián)考)若｛"，b,c｝構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是()

A.a+b+c,a~bt2)+c

B.a~b,a~c,b~c

C.a+2b,a—2b,a-\-c

D.a-2b,6》一3a,-c

答案ABD

解析選項A,

因為a+5+c=(〃-b)+(2b+c),

所以Q+》+C,a-by2)+c共面；

選項B,因為。一)=(0—c)一(力一c),

所以。一白，a-c,b—c共面；

選項C,a+2b,a—2b在a,〃構(gòu)成的平面內(nèi)且不共線，a+c不在這個平面內(nèi)，不符合題意;

選項D,因為。一2瓦6。-3a共線，

所以。一2兒6b-3a,—c共面.

8.(2022?廣州模擬)在長方體ABCO-ABiGA中,AB=2,M=3,AD=4,則下列命題為

真命題的是()

5

貝=---

A.若直線AG與直線C。所成的角為夕,>lan82

B.若經(jīng)過點A的直.線/與長方體所有棱所成的角相等，且/與平面8CG所交于點M,則AM

=^29

C.若經(jīng)過點A的直線機與長方體所有面所成的角都為仇則sin?=^

D.若經(jīng)過點A的平面廳與長方體所有面所成的二面角都為〃，則sin"=^

答案ACD

解析對于A,如圖，直線AG與直線C。所成的角，即為直線4G與直線48所成的角即

Z/MC),

5

確

-正?

則tan(p=lanZBAC\=~T77，

2*

對于B,構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標系，過A的直線，與長方體所有棱所成的角相等，與

平面4CGS交于M(x,2,z)且x,z>0?

則Q/=(x,2,z),

又京1=(0,0,3),

啟=(020),

病=(4,0,0),

z

則cos<A41,AM)

“F+4+Z2

cos〈AB,AM}=-7======

V~+4+Z2

〈Ab,AM)=

V?+4+Z2'

故x=z=2,則AM=2小，錯誤；

對于C,如圖，過A的直線機與長方體所有面所成的角都為〃，則直線機為以4為棱長的正

方體的體對角線4P,故sin0=坐，正確；

對于D,如圖，過A的平面”與長方體所有面所成的二面角都為小只需平面”與以4為棱

長的正方體中相鄰的三條棱頂點所在平面平行，如平面EDF,故cos4=坐，則sin〃=坐

正確.

三、填空題

9.在空間直角坐標系中，設(shè)點M是點N(2,—3,5)關(guān)于坐標平面。町，的對稱點，點0(123)

關(guān)于x軸的對稱點為Q,則線段MQ的長度等于________.

答案V6

解析因為點M是點M2,—3,5)關(guān)于坐標平面Oxy的友稱點,所以M(2,—3,—5),

又因為點R123)關(guān)于文軸的對稱點為Q,

所以Q(1,—2,—3).

因此|MQI=I版尸^。一2)2+[(_2)_(_3)]2+[(_3)_(_5)F=

10.如圖,矩形A8CD是圓柱。。2的軸截面,AB=2,八0=3,點E在上底面圓周上，且能二

26k則異面直線AE與02c所成角的余弦值為________.

10一七j、

IQ

答案20

解析以。2為坐標原點，。2&。2。所在直線分別為y軸、Z軸建立如圖所示的空間直角坐

標系，

方

則。2(0,0,0),40,-1,0),C(0,l,3),《坐-1,3),

故戀=惇,3),感=(0』,3),

AEO2C

故cos{AE,O2C)

故異面直線AE與。2c所或角的余弦值為旅

11.如圖，在二面角的棱上有兩個點4,B,線段AC,B0分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并

且都垂直于棱4B,若48=1,AC=2,BD=3,CD=24,則這個二面角的大小為.

答案600

解析設(shè)這個二面角的大小為明

由題意得加=占+/而+而，

ACb2=CA2+Ah2+Bb2J-2|CA||^>|cos(7i-a),

；.(20)2=4+i+9—2X2X3Xcosa,

解得cosa=2,.*.?=60°,

???這個二面角的大小為60".

12.(2022?南通模擬)己知正六棱柱/WCDM-A由iGO￡Fi的底面邊長為I,P是正六棱柱

內(nèi)(不含表面)的一點，則萬?泰的取值范圍是_______.

答案(4-1)

解析建立如圖所示的空間直角坐標系，

且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1,

由正六邊形的性質(zhì)可得，

4(0,00),B(1,0,0),

1且

-

2,2‘

近

C

2，

設(shè)尸(x,y,z),其中一于行，

所以荏=(1,0,0),AP=(x,y,z),

所以

所以油?弱的取值范圍是(一=

四、解答題

13.(2022?莆田質(zhì)檢)如圖，在四棱錐產(chǎn)一/WC。中，底面/1ACD是菱形，尸為尸。的中點.

(1)證明：PB〃平面AFC；

(2)請從下面三個條件中任選一個，補充在橫線上，并作答.

①乙②40=小力C；③PC與平面相CO所成的角為去

若雨_1_平面人8cO,AB=AP=2,且________,求平面AC尸與平面4C。夾角的余弦值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

⑴證明連接8。交AC于點O,因為A8CO是菱形，所以。為8。的中點.連接OF.因為產(chǎn)

為。。的中點，所以。F為△08。的中位線，所以。尸〃P8

因為OFU平面AR7,P8Q平面AFC,

所以P8〃平面AR7.

⑵解過。作Oz//AP.

以。為原點，加，0C,亦為■、z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示.

選條件①：ZABC=^.

在菱形ABC。中，

ACA.BD.

因為A8=AP=2,

所以08=0。=2Xsin三=小，

0A=OC=2Xcos1=1.

所以0(00,0),A(0,-1,0),B他,0,0),

C(0,l,0),ZX-V3,0,0),P(0,-1,2),

K一日,1)

所以前=(一坐，表1),送=(0,20).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面4。戶的一個法向量,

w4C=0+2.v+0=0,

則n-AF=_^x+$+z=O,

不妨令x=2,則〃=(2,0,小).

顯然加=(0,0,1)為平面ACD的一個法向量.

設(shè)平面AC尸與平面AC。的夾角為仇

所以cos〃=|cos5,m)|=^i^

_______|0+0+小I______V2I

-、4+0+3義、0+0+1—7,

所以平面AC尸與平面ACD夾角的余弦值為哼1

選條件②：8。=小AC

在菱形A8CQ中，4。=小AC,所以。3=小。。,

所以BC=y]OB2-l-OC2=2OC.

因為A8=A〃=2,

所以08=0。=小，OA=OC=\.

所以。(0,(),0),4(0,-1,0),僅小，0,0),

c(o,i,o),a-木，0,0),p(o,-1,2),

?一察T.1)

所以崩=(一室1),4C=(0,2,0).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面AC”的一個法向量，

〃.啟=0+2），+0=0,

則

n-AF=-2：r+p,4-z=0,

不妨令x=2,則〃=(2,0,小).

顯然m=(0.0,l)為平面ACD的一個法向量.

設(shè)平面4C尸與平面ACO的夾角為0,

所以cos0=|cos〈〃，in)I

":M1l問I

I0+04-V3IV2I

―、4+0+3義、0+0+廠7'

所以平面AC尸與平面ACD夾角的余弦值為嘩1

選條件③：尸C與