§1.3等式性質與不等式性質

【考試要求】1.掌握等式性質2會比較兩個數(shù)的大小3理解不等式的性質，并能簡單應用.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

tz—/?>()<=>?>/7,

作差法"一〃=00〃三〃，3，0WR)

,a—b<0^a<b.

2.等式的性質

性質1對稱性：如果那么b=a；

性質2傳遞性：如果〃=〃，b=c,那么a=c；

性質3可加(減丁性：如果4=/?,那么a±c=出:c；

性質4可乘性：如果a=〃，那么加=此；

性質5可除性：如果〃=〃，cWO,那么

3.不等式的性質

性質I對稱性：a>b^b<a；

性質2傳遞性：a>b,b>c=>a>c\

性質3可加性：n>6<=>a+c>b+c；

性質4可乘性：a>b,c>[)=^ac>bc；a>b,c<O^ac<bc；

性質5同向可加性：〃>力，c>dna+c>b+d；

性質6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>O=>ac>bd:

性質7同正可乘方性：”>">0今小〃22).

【常用結論】

1.若ab>0,且^

...bb+機

2,若a>〃>0,，心00一<~;"；

aa-rm

b

若b>a>0,

aa+m

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)兩個實數(shù)〃，〃之間，有且只有〃>〃，a=b,〃。三種關系中的一種.(J)

(2)若\>1，則力>〃.(X?

(3)若x>y,則f>.F(x)

(4)若另，則b<a.{X)

【教材改編題】

1.(多選)設/?>〃>(),cWR,則下列不等式中正確的是()

A.a2<b2B.^>^

a+2a—a,q

C.南工D.a(r<hc

答案ABC

解析因為y=戶在(0,+8)上單調遞增，

所以層V序,A正確;

因為)在(0，+8)上單調遞減，

所以!>￡,B正確；

因力》+2廠3+2)/°，所以5+26,正確;

當C=0時，4c3=機3,所以D不正確.

2.已知M=f—3x,N=-3『+x—3,則M,N的大小關系是

答案M>N

解析M-N=(f—3x)一(一3『+工一3)

=4/一4X+3=(2X—1)2+2>0,

:?M>N.

3.已知一1<興2,—3。<5,則。+2〃的取值范圍是.

答案(-7,12)

解析V-3<Z><5,/.-6<2Z><10,

又一l<a<2,

：.-7<a~\~2b<\2.

■探究核心題型

題型一比較兩個數(shù)(式)的大小

22

Aa

例I(1)若4<0,X0,則〃=1+了■與4=。+〃的大小關系為(

A.p<qB.pWqC.p>qD.p2q

答案B

解析p-g=2+今一ai

22

Ir-a,cr-b,,0(\1、

(序一42)(〃-q)(b—a)2(b+a)

ab~ab'

因為a<0,b<0,所以a+XO,ab>0.

若。=Z?,則p—g=O,故p=q；

若a豐b,則p—q<0,故p<q.

綜上，pWq.

(2)(2022?荷澤模擬)已知a",c￡(0,3),且/=5氣/=聰d=3「，下列不等式正確的是()

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.a>c>b

答案C

解析^=5“，即乎=卓，

I,即牛=竽

/=3。，即乎=竽

VJ

、n°\Inx

設次4)一r

則直〃)=/(5),/S)=/(4),<c、)=A3),

I—Inx

(A)=-^2—(A->0),

當x>e時，f(x)<0,7(x)=#單調遞減,

人

當0<x〈e時，

f(x)>0,/U)-乎單調遞增,

因為a,b,c￡(0,3),fia)=fi5)t

八3=八4),貝。=貝3),

所以a,6c￡(0,e),因為/5)44)勺(3),

所以7(a)勺I")勺(c)，a<b<c,

解析

ec-nx7rLew

又0。<1,0<兀一e〈l,

Au?-c<1*即西不1,即e"?心—

題型二不等式的性質

例2(1)(2022.濱州模擬)下列命題為真命題的是()

A.若〃>〃，貝iJaB汕c2

B.若avXO,則/<而<Z?2

C.若c>a>b>0,則-<b

c-ac-b

D.若心"0,則》祟

答案D

解析對于A選項，當c=0時，顯然不成立，故A選項為假命題；

22

對于B選項，當〃=—3,。=一2時，滿足〃。<0,但不滿足a<ab<bt故B選項為假命題;

對于C選項，當c=3,4=2,6=1時，故C選項為假命題；

c-a3-2c—b2

?十一,丁“a+c〃S+c)-h(〃+c)ac—bc(a—h)ca+c

對于D選項，由于。>Z?>c>0,所以7—73-=--->。，即工>匚廠，

bb-rc.b.(b.+c\-)--,b(b-rc)Jh、(b-rc)bb~tc

故D選項為真命題.

(2)(多選)若十<^<0,則下列不等式正確的是()

A"茄B.|〃|十力＞0

C.c/——>/?―^D.Ina2>lnb2

答案AC

解析由*1<°，可知Zev。

A中，因為。+*0,。〃>0,所以13<0,方。?故有馬爐白，即A正確；

B中,因為Xa〈0,所以一比>一。>0.故一網(wǎng)a|,即同+從0,故B錯誤；

C中，因為。va〈O,又!*°，則一卜一￡>0，所以“一%>〃一/，故C正確；

D中，因為ZavO,根據(jù)y=/在(一8,0)上單調遞減，可得〃>/>0,而y=lnx在定義域(0,

+8)上單調遞增，所以In序>ln/,故D錯誤.

【教師備選】

若a,b,e￡R,a>b,則下列不等式恒成立的是()

2

A.a-<b7B.iz>/r

C.a\c\>b\c\

答案D

解析對于A,若〃>()>〃，則5>去

故A錯誤；

對于B,取a=l,b=-2,則42VA2,故B錯誤；

對于C,若c=0,a|d=b|d，故C錯誤；

對于D,因為/+121,所以*j>0,又心公

所以*7>士，故D正確?

思維升華判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質逐個臉證.

(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

(3)作差法.

(4)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性.

跟蹤訓練2(1)(2022?珠海模擬)己知a,bWR,滿足面<0,a+b>0,a>b,則()

A.a-<TbB.a-+Tb>0

C.a2>/?2D.a<\b\

答案C

解析因為aZY),a>b,則a>0,b<0,：>0,1<0,A不正確；

^<0,1<0,貝g+^v。，B不正確；

又。+~>0,即〃>一/?(),則〃>(一〃產，a2>b2,

C正確；

由。>一〃>0得。>|加，D不正確.

(2)(多選)設下列四個結論正確的是()

11

A%至

B.b(f>abc

C.(l-c)yi-c)”

D.log/>(a+c)>log“S+c)

答案CD

解析由題意知，

所以對于A,ac>bc>0,

故晟，所以A錯誤；

對于B,取a=3,b=2,c=g,

則加』2小，時=3小,

所以hac<abc,故B錯誤；

對于C,因為0<I—c?vI,且a>b,

所以(1—c)y(l—c)\故C正確：

對于D,a+c>b+c>\,

所以logfe(a+c)>logb(b+c)>loga(b+c),

故D正確.

題型三不等式性質的綜合應用

例3⑴已知一1?<4,2<產3,則x-y的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是

答案(-4,2)(1,18)

解析V-I<x<4,2<)<3,

A-2,

—4<v—)<2.

由一l<x<4,2<><3,

得一3<3x<12,4<2)，<6,

/.l<3x4-2y<18.

延伸探究若將本例(1)中條件改為一l<x+y<4,2<x—y<3,求3x+2.y的取值范圍.

解設3x+2y=〃?(x+y)+〃(x—y),

慟+〃=3,[w=r

則c???〈1

〃皿=2，g

即3x+2y=|(x+y)+1(A—y),

又—l<v+y<4,2<￥—y<3,

5513

:.—2<7(^+>')<10,1q(x—y)q,

即一,3]+2）<^,

???3x+2y的取值范圍為（一|,J）.

（2）已知3VK&4V/Y9,則射勺取值范圍是.

答案g2）

解析V4<Z><9,

.111

**9<^<4,

又3<。<8,

.*.|x3<^<|x8,

嗎令2.

【教師備選】

已知0〈六力￥，則a—6的取值范圍是.

答案（0,J

解析?.?0<64，,一些一萬<0,

又0<a與

又P<a,:,a-p>0,

即Ova一4與

思維升華求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求

得整體范圍.

跟蹤訓練3⑴已知aM>c,2〃+〃+c=0,貝哈的取值范圍是（）

A.—3<^<—1B.—T

t?aJ

C.-2<^<-lD.-lv4

答案A

解析因為a>b>c,2a4-/?+c=0,

所以。>0,c<0,b=—2a—c,

因為a>b>c,

所以一2a—c<4,即3〃>—c,解得呆一3,

將Z?=—2a—c代入力“中，得一2a—c>c,

即a<—c,得:<一I，所以-34<一1.

⑵已知1<〃<力<3,則〃一〃的取值范圍是,彳的取值范圍是

答案（-2,0）G，1）

解析*.*I<b<3,/.~3<—b<—1,

又1<a<3,

:.—2<a~b<2,又a<b,

.\a—b<0,

:.—2<a-b<0,

,,11I

又新7

??鏟走1'乂亍萬'.?鏟尸?

綜上所述，a—〃的取值范圍為（一2,0）；月的取值范圍為（；，1）

課時精練

應基礎保分練

1.（2022?長春模擬）已知a>0,b>0,”=而工，N=4i+幣,則M與N的大小關系為（）

A.M>NB.M<N

C.MWND.M,N大小關系不確定

答案B

解析V—M=3+。）一（〃+〃+2*7^）

=—2y[ah<0,

:?M<N.

2.已知非零實數(shù)m。滿足a<〃，則下列命題成立的是（）

A.cr<trB.ab2<a2b

D

心*H

答案c

解析若?</?<（）,則a2>b2,故A不成立；

ab>Ot

若

a<b,

則crb<atr,故B不成立；

若《=1,b=2,貝R=2,7=1,與以,故D不成立，由不等式的性質知，C正確.

ClJ乙ClU

3.已知一3~<—2,3<〃<4,則年的取值范圍為()

4?

A.(1,3)3'4

22

3,4,D?5

答案A

解析因為一3<av—2,明以廣￡(4,9),

2

而3<〃<4,故今■的取值范圍為(1,3).

4.若4>1,m=logrtd+l),〃=log“(a+l),〃=log“(2〃)，則機，〃，〃的大小關系是()

A.n>m>pB.m>p>n

C.m>n>pD.p>m>n

答案B

解析由知，a2+1—2a=(a—I)2>0,

即/+l>2a,而24—3+1)=。-l>0,即2a>a+l,

/+1>2a>a+1,而y=log.，在定義域上單調遞增，

5.(2022.杭州模擬)若則下列各式中一定成立的是()

A.hi(a—。)>0

B.2fl

Jc-17>-1b

D.logM>log,〃(c>0且c#I)

答案C

解析指數(shù)函數(shù)y=(9"在(―8，+8)上單調遞減，

由O〈(T)"v1可知，a>b>0.

所以臺,

則一￡>一石，故C正確;

a—b>0,但不一定有4—方>1,

則不一定有l(wèi)n（6Z—/?）>0,故A錯誤；

函數(shù)y=2'在（-8,+8）上單調遞增，b—a<（）.

則2'1<2°=1,故B錯誤；

當Ovcvl時，函數(shù)y=logcT在（0,+8）上單調遞減，

則log/<log力，故D錯誤.

6.（多選）（2022?濟寧模擬）已知x>y>z,x+y+z=O,則下列不等式不成立的是（）

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.x|y|>|y|z

答案ACD

解析因為x>y>z,x+y+z=O,

所以x>0,2<0,y的符號元法確定，

對于A,因為A>O>Z,若y<0,則xy<（）<yz,

故A錯誤；

對于B,因為）>z,x>0,所以沖>xz,故B正確；

對于C,因為x>y,z<0,所以xz<yz,故C錯誤；

對于D,因為x>z,當|y|=0時，x|y|=Mz,

故D錯誤.

7.（多選）設小b,c,d為實數(shù),且。,力>0>c>d,則下列不等式正確的有（）

A.c2<cclB.a—c<b~d

C.ac<bdD.~—^>0

答案AD

解析因為a>QO>c>d,

所以ct>b>Q,O>c>dt

對于A,因為0>c>d,由不等式的性質可得dvcd,故選項A正確；

對于B,取。=2,b=1,c=—1,d=-2,

貝1]tz—c=3,/?—?/=3,

所以4—c=/?-d,故選項B錯誤；

對于C,取。=2,b=1,c=—1,d=—2,

則。。=—2,bd=-2,

所以故選項C錯誤；

對于D,因為4>Z?>0,d?0,則odv/?c,

所以工>方

故洛>0,故選項D正確.

8.（多選）若0<avl,b>c>\,則（)

ca

Bc--~-->TC

b-ab

C.—門D.log4<log/.

答案AD

解析對于A,1,

??,0VK1,則

故選項A正確；

對于B,若T->7,

b~ab

則〃c—ac,即a（c—b）>0,這與0<a<l,">c>l牙盾,故選項B錯誤;

對于C,

V/?c>l,故選項C錯誤；

對于D,V0<?<l,h>c>\,

logca<log^J，故選項D正確.

9.已知M=M+）2+Z2,N=2Y+2.V+2Z—兀，則MN.（填“>”“v”或“=”）

答案>

解析M—Nuf+V+z2—2x—2y—2z+兀

=（x-1）2+（V-1）2+（Z-l）2+7i-3^7T-3>0,

故M>N.

10.（2022?煙臺模擬）若?|vO,已知下列不等式：①a+XH；②同>瓦③汨6

其中正確的不等式的序號為.

答案①④

解析因為｝<^<0,

所以〃<4<0,故③錯誤；

所以a+b<4<ab,故①正確；

所以同〈物，故②錯誤；

所以§>0，齊0且均不為1,《十注2\^^=2,當且僅當《=/=1時、等號成立，

所以《+表2,故④正確.

11.若OvaUb,且a+b=l,則將a,b,5,lab,序+房從小到大排列為.

答案a<2ab<^<(r+b2<b

I2

解析方法一令

4I45

則2ab=§,42+/=§+§=§,

故a<2ab<^<a2+b2<b.

方法二???()<〃。且〃+〃=1,

:.a<^<b<1,2b>1且2a<1,

:.a<2ba=2zi(\—a)=—2cr+2a

=-2(a一分+打

即a<2ab<^.

又病+〃2=(。+。)2—2"=1—；=；,

艮Pa2-^-b2>^.Vy<Z?<l,

??.(4+")—b=[(l—入產+標]-6=2分一36+1=(20-1)3—1)〈0,

即/+〃<仇

練上可知a<2ab<^<a2+b2<b.

12.(2022?上海模擬)設實數(shù)x,y滿足3忘個內8,4忘臺9,則三的最大值是.

答案27

解析分#8M=27,

當且僅當。=9,x/=3,即x=3,y=\時等號成立.

區(qū)技能提升練

13.(多選)(2022?長沙模擬)設實數(shù)a,b,c滿足力+0=6—44+3。2,c-b=4-4a-\-a2,則下

列不等式成立的是()

A.c<bB.b》l

C.bWaD.a<c

答案BD

b+c=6-4。+弘2,

解析:，,

c-0=4—4a+tr,

兩式相減得2。=2標+2,

即b=/+],

又〃一〃=/+1—q=(a-02+京〉0,

b>a.

而c—力=4—4a+〃2=(a—2)220,

：.c》b,從而c^b>