微重點11立體幾何中的動態(tài)問題

“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點、

線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時，由于“動態(tài)”的存在,

也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問

題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.

考點一動點軌跡問題

例I（2022.運城模擬）如圖，正方體/WCQ-AiBiGOi的棱長為I,線段CD、上有兩個動點E,

F,且EF=1,點P,Q分別為4S，88的中點，G在側(cè)面CDOG上運動，且滿足SG〃

平面CGPQ,下列命題錯誤的是（）

A.AB\LEF

B.多面體AEFBi的體積為定值

C.側(cè)面CQGG上存在點G,使得SG_LC。

D.直線BiG與直線BC所成的角可能為看

答案D

解析對于A,如圖，連接G。，

因為從8。。一人心|4。|為正方體，所以。G〃A8i,又。G_LCQi,“與CA是同一條直線,

所以。G_LE凡則/18i_L￡尸，故A正確；

對于B,根據(jù)題意，得EF=1,E,r在線段CG上運動，且點A到直線CG的距離不變，

故的面積為定值，又點S到平面AC。的距離h也為定值，

故匕-"火=*SJ\E島為定值，故B正確；

Anr"lJ

對于C,取C]O],GC的中點分別為M,N,連接8|M,MV,NBi,如圖所示,

易知在△GDC中，MN〃CD\,又尸G〃SM,CD{C\PD}=D\,

MN,SMu平面81MMCD),PQ】u平面CQPQ,故平面SMV〃平面CDiPQ,

又點G在側(cè)面C/">iG上至動，且滿足①G〃千面8/Q,故點G的軌跡即為線段MV；

因為ABC。-4SGG為正方體，故CD_L平面BCCB,又BiNu平面BCGBi,故Bi/VICD,

則當(dāng)點G與點N重合時，B}GLCD,故C正確；

對于D,因為6C〃4iG,故直線81G與4c所成角即為直線SG與以G所成角，即NCBG,

1X1「

GMXGN22巫

在RtAfiiCiG中，GGmax=GN=￡,GGmin=-麗一=W=4，

2

故tanNCiBiG=^^=GG￡［乎，!

而當(dāng)直線BiG與直線8c所成的角為會時，

通=筆除外故直線81G與直線BC所成的角不可能為去故D錯誤.

規(guī)律方法解決與幾何體有關(guān)的動點就跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面就跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖杉線段長度關(guān)系取特殊值或位理進(jìn)行排除.

跟蹤演練1(2022?江西聯(lián)考)已知點P在棱長為2的正方體ABCD-A由CG的表面上運動,

XPB=PD^則點。所形成的軌跡為多邊形，以下結(jié)論中正確命題的個數(shù)為()

①該多邊形是共面的正六邊形：

②8。垂直于該多邊形所在的平面；

③AC平行于該多邊形所在的平面；

④該多邊形的周長為

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析點P的軌跡是過BDi的中點。且垂直于BDx的平面與正方體A8CQ—A8IGOI的表面

的交線EFGHSR,如圖所示.

:回“

AB

該多邊形是共面的正六邊形，

，①正確；

BDJER,SRCER=R,SR,ERu平面EFGHSR,

，BD」平面EFGHSR,：.②正確；

???連接AC,AC//RS,RSu平面EFGHSR,ACd平面EFGHSR,

??.AC〃平面"G//SR,???③正確；

???邊長RS=也，，該多邊形的周長為S/5,???④正確.

考點二折疊'展開問題

例2（2022?德州模擬）如圖1,在邊長為4的正方形A8C。中，點E,尸分別在邊A8,BC上

（不含端點）且/汨=BF.將△AEQ,△/）（/分別沿OE,。尸折起，使A,C兩點重合于點4，

在圖2,則下列結(jié)論正確的有（）

:區(qū)Ai---------4|中

圖I圖2

?AiD±EF；

②當(dāng)BE=BF=3BC時,三棱錐4—EFQ的外接球體積為加兀；

③當(dāng)BE=BF=；BC時,三棱錐Ai-EFZ）的體積為斗亙；

④當(dāng)BE=3F=，C時,點4到平面EFD的距離為耳亙.

A.①③B.??

C.①③④D.②③④

答案C

解析對于①，在正方形ABC。中AD_LAE,DC工FC,

由折疊的性質(zhì)可知4DJL4E,AiDlAiF,

又???A|EnAiF=Ai,AiE,A/U平面4E尸,

???4iO_L平面AiEF,

又???KFU平面AM,

.1c.1..72\/n

??VVE和=jS^EFirh=3X2x/?=3-

即。=耳亙，故④正確.

規(guī)律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個關(guān)鍵點：不變的線線關(guān)系、

不變的數(shù)量關(guān)系.

跟蹤演練2（2022?湖州模擬）如圖，已知四邊形A8CD,△BCD是以8。為斜邊的等腰直角

三角形，AABD為等邊三角形,6。=2,將△AG。沿直線3。翻折到△9D.在翻折的過程中,

下列結(jié)論不正確的是（）

A.BDLPC

B.。尸與8C可能垂直

C.直線。P與平面8CO所成角的最大值是45。

D.四面體PBCD的體積的最大值是半

答案C

解析對于A,如圖所示，取B。的中點M,連接PM,CM,

???△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，ABD1CA/,

???△A3。為等邊三角形,

：.BDLPM,CM,PMU平面PMC,

又CMCPM=M,

???8。_1_平面PMC,?.?PCU平面PMC,：.BDLPC,故A正確；

對于B,假設(shè)。/<LBC,又BC上CD,

???BC_L平面PC。，:,BC上PC,

又PB=2,BC="PC=@￡（小T,小+1）,故OP與8C可能垂直，故B正確；

對于C,當(dāng)平面P8O_L平百8Q）時，PM_L平面8c。，NPQ8即為直線。尸與平面8CD所

成角，

此時NP/用=60。.故C錯誤:

對于D,當(dāng)平面平也BCD時，四面體P8C。的體積最大，此時的體積為V=；S△僅7ypM

,故D正確.

考點三最值、范圍問題

例3（2022.蕪湖模擬）己知四棱錐P-ABCD的高為小，底面ABCD為矩形，8c=3,A8=2,

PC=PD,且平面PCO_L平面48CD.現(xiàn)從四棱錐中挖去一個以CD為底面直徑，P為頂點的

半個圓錐，得到的兒何體如圖所示.點N在C。上，則PN與側(cè)面818所成的最小角的正弦

值為（）

1R也「止4D近

/AA，2D?2L*?4L^?fy

答案A

解析如圖所示，連接CQ,

分別取A8,CO的中點為E,F,連接EF與CD交于點、H.

記點N到側(cè)面物B的距離為乩PN與側(cè)面必B所成的對為仇由于PN的長為定值，因此當(dāng)

且僅當(dāng)d最小時，PN與側(cè)面出8所成的角最小，即點N在，點處時，0=ZHPE.

由平面尸CO_L平面A8CO易知又PF=小,EF=3,HF=1,則尸〃=E”=2,

pF1

所以6=NHPE=NPEF,所以311夕=行=牛，即sinJ=不

規(guī)律方法在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大（?。⒔堑姆秶葐栴}，常用的解

題思路是

（1）直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

（2）函數(shù)思想：通過建系或31人變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求

目標(biāo)函數(shù)的最值.

跟蹤演練3（2022?荷澤質(zhì)檢）如圖，等腰RtZ\A5E的斜邊/W為正四面體A—3CQ的側(cè)棱，

AB=2,直角邊AE繞斜邊八8旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，三棱錐E-8c。體積的取值范圍

是.

A

答案

解析如圖，令F為。。的中點，。為A8的中點，則點E在以O(shè)為圓心，I為半徑的圓上

運動,

由圖可知當(dāng)入O,￡三點共線，且。在EE之間時，三棱錐￡一3。。的體積最大，當(dāng)運動

到臼的位置時，E-BC。豹體枳最小，

在Rtz^B。尸中，B0=\,BF=小,0F=也,

sinZBFO=^,FE=@+1,陽=啦-1,

設(shè)E,￡i到平面BCO的距離分別為小，①，則

I&+小

y[2~1加一小

「小=3

S^BCD=2X2XA/3=A/3?

所以三棱錐E—BCO體積的最大值為

9小x片應(yīng)畢

三棱錐E—BC。體積的最小值為

1X、BK加一小=也7

39八3-3,

所以三棱錐E-BCO體積的取值范圍為[42,闿

專題強(qiáng)化練

1.（2022?佛山模擬）在棱長為3的正方體/WC。-481G。中，M是八|小的中點，N在該正方

體的棱_L運動，則下列說法正確的是（）

A.存在點M使得MN〃BG

3

B.三棱錐M—A山G的體積等于本

C.有且僅有兩個點N,使得MN〃平面48G

D.有且僅有三個點N,使得點N到平面4|/3G的距離為小

答案C

解析對于A,顯然無法找到點N,使得MN〃BG,故A錯誤；

對于B,匕yg=

=]S&\MC，B、B

1139

，故B錯誤；

=T。XTJXZJX3X3?=7

對于C,如圖所示，設(shè)M,M分別為B由，81G的中點，則有MM〃平面4由G,MN2〃平

?JA\BC}t故C正確；

對于D,如圖所示，設(shè)交平面48G與平面AC。分別于點。|,。2,易證SO_L平面A8G,

平面ACQ],且4|0|=0]。2=。2。=；81。=小，

所以有助，A,C,Qi四點到平面43G的距離為小,故D錯誤.

2.（2022?北京順義模擬）如圖，設(shè)石，尸分別是長方體ABCO-4由Ci。1棱C。上的兩個動點,

點E在點尸的左邊，且滿足2EF=OC=gBC,有下列結(jié)論：

①BQ」平面3]后/；

②三棱錐。1一小E尸的體積為定值；

③AN〃平面8EF；

④平面44。5_1_平面BiEF.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.②④D.③?

答案c

解析對于①，叢。與CG顯然不垂直，而E/〃GQ,因此S。與￡廣顯然不垂直，從而

8]Qi_L平面小七尸是錯誤的，①錯誤；

對于②，匕上用印二%山戰(zhàn)，在三棱錐S一中，平面。IEF即平面COGG,自到平面

CDDxCx的距離為BiCi,是定值，在ADiEF中，EF的長不變，。到EF的距離不變，故a。//

的面積為定值，因此三棱稚n—8小尸的體積是定值，②正確；

對于③，乎面以就是平面81AQC,而AA與平面相交，故AA與平面8山廠相

交，③錯誤；

對于④，在長方體中，CO_L平面4OiD4,CQu平面SAiOC,所以平面A|O|QA_L平面8閉。（7,

即平面ABOQ|_L平面BiEF,④正確.

3.（2022?北京模擬）如圖，在校長為1的正方體ABCQ—4由iGQ中，P為線段人由上的動點（不

含端點），則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

①平面O|4|P_L平面AAP；

②NAP。的取值范圍是（0,W；

③三棱錐BLDFC的體積為定值；

@DC,±D,P.

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析???Oi4_L平面AA/,OIAIU平面DIAIP,???平面QAiP_L平面AAR①正確；

如圖，連接40”若尸是A由上靠近Ai的一個四等分點，則。產(chǎn)=1+停卜去此時4P2

=AAi+AiP2-2AA\XAIPXCOS450=1,D\P2-iAP2<ADi，此時4吵為鈍角，②錯誤；

O

QC,

連接CG,由于BP〃CG,BN平面BQC,CAu平面BQC,則BP〃平面8QC,因此

P點到平面BIDIC的距離，即B點到平面B^D^C的距離，為定值，△8OC的面積也是定值,

又%-Pc=%/*，則三棱錐小一加產(chǎn)。的體積為定值，③正確；

連接CiD,而DiClDCi,所以O(shè)G互OGJLAQ,48140=4,AI,

Anu平面4PD1,所以DG_L平面APO,2Pu平面APU,因此。G_LZ）|P,④正確.

4.（2022?湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考汝口圖，在直角梯形ABCD中，BC工DC,AEA.DC,且七為

CD的中點，M,N分別是AD,BE的中點，將△AOE沿4E折起，則下列說法不正確的是（）

A.不論。折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有MN〃平面OEC

B.不論。折至何位置（不在平面A8c內(nèi)），都有MMLAE

C.不論。折至何位置（不在平面ABC內(nèi)），都有MN〃/W

D.在折起過程中，一定存在某個位置，使EC_LA。

答案C

解析由已知，在未折疊的原梯形中，AB//DE.BE//AD,

所以四邊形人AE。為平行四邊形.所以/?E=4D.

折疊后如圖所示，過點M作MP〃QE,交AE于點P,

因為平面DEC,QEU平面DEC,

所以MP〃平面。EC,連接NP,

因為M,N分別是A。，BE的中點，

所以。為AE中點，故NP〃A8〃EC,

因為N內(nèi)平面DEC,ECU平面DEC,

所以NP〃平面DEC,

又MPCNP=P,MP,NPU平面A4NP,

所以平面MNP〃平面DEC,

又MNU平面MNP,

所以MN〃平面OEC,故A正確；

由已知，AEYED,AEYEC,

所以AELNP,

又MPCNP=P,MP,NPU平面MNP,

所以AE_L平面MNP,

又MNU平面MNP,

所以AE_LMN,故B正確；

假設(shè)MN/1AB、則MN與AB確定平面MNBA,

從而REU平面MNBA,ADU平面MNBA,這與BE和A。是異面直線矛盾，故C不正確；

當(dāng)EC_LED時，ECA.AD,證明如下，

因為EC-LEA,ECA,ED,EACED=E,EA,EOU平面AOK,

所以ECL平面4。區(qū)又人。U平面人/）石，

所以EC_LAO,故D正確.

5.（2022.大連模擬）如圖所示，在正方體A8cO—A由iGQi中，點F是棱AA上的一個動點（不

包括端點），平面8尸"交棱CG于點E,則下列命題正確的是（）

A.存在點F,使得為直角

B.對于任意點凡都有直線4G〃平面BED尸

C.對于任意點片都有平面AiG。！■平面BED聲

D.在點尸由Ai向A移動的過程中，三棱錐尸一8囪。的體積逐漸變大

答案C

解析對于A,易知Dih而=（l5]A；+A內(nèi).（成+A?）=A|六以=|4由曲產(chǎn)0,故不存在點凡

使得/。尸8為直角，故A錯誤;

對于B,連接4G,AC,EF,則平面4CCACI平面比‘￡>/、=￡￡

若4G〃平面BEQF,則AiG〃EK顯然當(dāng)且僅當(dāng)E劉尸為所在棱中點時，4G才與七尸

平行，故B錯誤;

對于C,連接4D,AiG,C1D,BDT,AQI,BC】,

由月8_1_平面4。。|4得易知AOi_L4Q,

???ABnAO|=A,AB,Adu平面ABC。，...A|O_L平面ABGG,

???4|。_1_8。|,同理可證AG_L8Qi,

又4orMiG=4,A］。，AGu平面AG。，

???BDi_L平面AiGD,

???8D|U平面BEA凡J平面4GO_L平面BEDiF,故C正確;

AB

對于D,連接BDi,尸Bi,SiDi,

：A4〃8Bi,AAiC平面BBg平面BBiG,

???A4〃平面B&Di,則尸到平面BBiDi的距離為定值，

又△BBi。的面積為定值，故