第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)嘉的含義，了解實(shí)數(shù)

指數(shù)嘉的意義，掌握掠的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函

數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,3,10,：的指數(shù)函數(shù)的圖象；4.體會(huì)指

JJ

數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

■知識(shí)診斷,基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

I.根式的概念及性質(zhì)

⑴概念：式子仙叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

（2）性質(zhì)：（%）“=〃（。使獨(dú)有意義）；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，海=4,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，封6

a，“20,

=M=t

-ma<0.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的意義是力=艙&eO,加，且〃>1）；正數(shù)的

m1

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是〃z,且〃>1）；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

他

等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)分沒有意義.

3.指數(shù)鬲的運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：。在=仁；（〃）'=貯；（"）「=迪，其中〃>（）,/?（）,r,s￡R.

4.指數(shù)函數(shù)及具性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)且。金1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)X是自變量，函數(shù)的

定義域是R,。是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<4<1

y=aAJ\

圖象(0,1)

一7

\1""X

定義域R

值域(0,+二)

過定點(diǎn)(()，1),即支=0時(shí)，y=\

當(dāng)x>0時(shí)，v>l；當(dāng)x<0時(shí)，v>l；

性質(zhì)

當(dāng)x<()時(shí)，()vyv1當(dāng)心>0時(shí)，()<v<l

在(一8,+8)上是增函數(shù)在(一8,+8)上是減函數(shù)

常用結(jié)論

1.畫指數(shù)函數(shù)且。指1)的圖象,應(yīng)抓生三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1,a),(0,1),

I9

2.指數(shù)函數(shù)且的圖象和性質(zhì)跟〃的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分

a>｝與0<a<］來研究.

3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù))，=爐(。>0,且的圖象越高，底數(shù)越大.

診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1>7(-4)4=-4.()

⑵分?jǐn)?shù)指數(shù)累J可以理解為:個(gè)〃相乘.()

(3)函數(shù)是指數(shù)函數(shù).()

(4)函數(shù)的值域是(0,+8).()

答案(1)X(2)X⑶X(4)X

解析(1)由于弋(-4)、=弼=4,故(1)錯(cuò)誤.

⑵當(dāng)陽時(shí)，不可以，故(2)錯(cuò)誤.

(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為且aWl),

故),=2廠1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯(cuò)誤.

(4)由于121,又a>l,.,?ar2+l，a.

故y=o?+l(a>l)的值域是［a,+°°),故(4)錯(cuò)誤.

2.(易錯(cuò)題)若函數(shù)/U)=(/—3)d為指數(shù)函數(shù)，則。=.

答案2

解析??7W=d-3)〃為指數(shù)函數(shù)，

，序一3=1且〃〉0,：,a=2.

3.(易錯(cuò)題)函數(shù)產(chǎn)2言的值域是.

答案(0,1)U(1,+8)

解析???士W0，???)=2六21,

X1

而)=2，7恒大于0,則函數(shù)y=2六的值域?yàn)?0,1)U(1,+8).

4.函數(shù)段)=a'i+2(a>0且aWl)的圖象恒過定點(diǎn).

答案(1，3)

5.(2021.貴陽一中月考)計(jì)算：(|)、(一§+8；x/_y(—|j

答案2

解析原式=仔,X1+2：X2：一住=2.

￡3

6.己知〃=(1)\6=?\c=(1);則mb,c的大小關(guān)系是

答案c<b<a

解析??3=(號(hào)是R上的減函數(shù)，

即a>b>1,

..c<b<a.

I考點(diǎn)突破,題型剖析

序.

2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例1(1)已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式2()22。=2()23，，，下列等式一定不成立的是()

A.〃=b=OB.a<〃<0

C.O<a<bD.O<b<a

(2)若函數(shù)7U)=|21—2|一〃有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

答案(1)C(2)(0,2)

解析(1)如圖，觀察易知，。<從0或0<從4或。=/?=0.

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出>=|2》一2|與y=b的圖象，如圖所示.

???當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)凡￥)=|2'—2|一〃有兩個(gè)零點(diǎn).

.?力的取值范圍是(0,2).

感悟提升1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖

象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)。與1的大小關(guān)系不確

定時(shí)應(yīng)注意分類討論.

2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用杓應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)

合求解.

訓(xùn)練1(1)函數(shù)人1)=優(yōu)”的圖象如圖所示，其中小〃為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的

是()

A.fl>l,b<0b>0

C.0<6;<1,b>0D.O<〃<1,b<0

(2)如果函數(shù)y=|3』l|+m的圖象不經(jīng)過第二象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

答案(1)D(2)(—8,-1J

解析(1)由八幻=爐9的圖象可以觀察出，函數(shù)凡。=。廠”在定義域上單調(diào)遞減,

所以(Xa<\.

又/(0)=〃“<心，所以一。>0,即*0.

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出》=|3'—1|與)，=一機(jī)的圖象，如圖所示.

>=|3'-11

由函數(shù))，=|3'—1|+機(jī)的圖象不經(jīng)過第二象限，則)，=|3'—1|與y=-m在第二象限

沒有交點(diǎn)，

由圖象知一利21,即〃-1.

［考點(diǎn)三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題

角度1比較指數(shù)式的大小

例2⑴設(shè)°=0.6叫Z>=0.6L5,c=1.506,則,,4c的大小關(guān)系是()

X.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

(2)若十兀一"，下列結(jié)論一定成立的是()

A.〃+/?W()B.〃一/?N0

C.a—b^OD.a+/?N0

答案(1)C(2)D

解析(I)'.?函數(shù)y=06是減函數(shù)，0<0.6vl.5,??.1>0.6°/>>0.6口即從q<l.

???函數(shù))=1.5丫在(0,+8)上是增函數(shù)，0.6>0,.,.1.506>1.5°=1,即。1.

綜上，b<a<c.

⑵???e”+2》廣〃+兀，

，e"一兀一”》。一"一?！?①

令/(x)=e*—it

則7U)是R上的增函數(shù)，

①式即為次。)2/(一匕)，

：.aN—b,即。+〃20.

角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

4S工20,

例3(1)已知實(shí)數(shù)。對(duì)，函數(shù)7W=%：八若川一公=旗—1),則。的值為

[2aA,x<0>

(2)若2F+1W|J|,則函數(shù)y=2、的值域是()

1

Ari21BF/

cf—°0,IjD.[2,+00)

答案(1)1(2)B

解析(1)當(dāng)〃<1時(shí)，4|_u=2',解得〃=2；

當(dāng)。>1時(shí)，代入不成立，故。的值為;.

.,.Zr2+1^2~^+4,

即f+lW—2x+4,即f+2x—3W0,

???-3WxWl,此時(shí)y=2、的值域?yàn)閇2.3,21],即為？2

角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4(1)不等式羋-2rH+幻>0,對(duì)VxWR都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

⑵已知定義域?yàn)镽的函數(shù)#x)=—;+黑，則關(guān)于t的不等式犬尸一2。+火2戶一

1)<0的解集為.

答案(1)(1,+8)(2)(—8,+OO)

解析(1)由題意得〃>—4*+2，"對(duì)x￡R恒成立，

令，=21則r>0,

.??),=—平+2日=一產(chǎn)+2f=一(L1/+1W1.

co1.

(2)由題意知五幻是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，

則人/2—2。+/(2戶-1)<0,

即fit2-2/)<一償產(chǎn)-1)=—2/2).

所以尸一2f>l—2尸，解得或長(zhǎng)一；.

感悟提升1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(I)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)賽，

再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.

2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函

數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性

質(zhì)分析判斷.

4K—1

訓(xùn)練2(1)(2021?鄭州調(diào)研)已知函數(shù)?v)=一升,。=嫂3),力=40.2。3),cflogo.32),

則mb,。的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

4'—1

解析(1)因?yàn)槿耍?=下-=2'—2汽定義域?yàn)镽,火一幻=2一工一2'=一次外,

故函數(shù);U)是奇函數(shù)，

又>=2工在定義域上單調(diào)遞增，

y=2：在定義域匕單調(diào)遞減，

所以yu)=2、-2］在定義域上單調(diào)遞增,

由2°3>1,0<0.2°3<1,logo.32<0,

可得用2°3)40.2°3)次16go,32),則a>b>c.

1-

Q）?.j，=G）是減函數(shù)，且yu）的值域是（o,9-

-

/.r=or+lv+3有最小值2,

r.r\2a~22F、

則〃＞（）且4〃=2,解之得。=1，

因此/=f+法+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,-1],

故的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,-11.

（3）因?yàn)楣ぁ闧-3,2],所以若令/=（；）,

一

一

Ze一8

甲

一

當(dāng)1=2時(shí)，.Vmin=W；

當(dāng)，=8時(shí)，＞ax=57.

「

故所求函數(shù)值域?yàn)閇3不57"I.

■分層訓(xùn)練?鞏固提升

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.若函數(shù).且。W1）的圖象經(jīng)過（2,目，則,*—1）=（）

A.lB.2C.小D.3

答案C

解析依題意可知。2=；,解得。=坐，

JJ

所以yu）=（書，

所以4―1）=停I1=小.

2.（2021.成都診斷）不論。為何值，函數(shù)），=（〃-1）2,一學(xué)亙過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐

標(biāo)是（）

A.（l,一習(xí)B.（l,

C（-l,D.（-1,

答案C

解析y=（〃_1）2*_/變?yōu)椋?*—04_（2'+），）=0,

依題意，對(duì)a￡R,（2'一號(hào)。一（2、+），）=0恒成立，

則2、一［=0,且2工+），=0,

J

.1日1

即恒過定點(diǎn)（一1,一鄉(xiāng),

3.（2022?哈爾濱質(zhì)檢）函數(shù)），=?'—5（4>0,且。W1）的圖象可能是（）

ABCD

答案D

解析當(dāng)。>1時(shí)，y=d—：為增函數(shù)，且在y軸上的截距為0<1—;<1,此時(shí)四個(gè)

選項(xiàng)均不對(duì)；當(dāng)0<〃<1時(shí)，函數(shù)5是減函數(shù)，且其圖象可視為是由函數(shù)y

=〃?的圖象向下平移翡>1）個(gè)單位長(zhǎng)度得到，選項(xiàng)D適合.

4.（2020?天津卷）設(shè)。=3吟,c=logo,70.8,則小b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案D

解析因?yàn)椤?30-7>3°=1,

"=(?=3%>3。.7,

c=logo.70.8<logo,70.7=1,

所以h>a>c.

5.(2021?衡水中學(xué)檢測(cè))當(dāng)—8,—1］時(shí)，不等式(相2—加).41-2工<0恒成立，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-2,1)B.(~4,3)

C.(-3,4)D.(—l,2)

答案D

解析原不等式變形為m2—m<

因?yàn)楹瘮?shù)尸圖在(-8,—1］上是減函數(shù)，所以出?1=2,

當(dāng)xE(—8,—1］時(shí)，一相<0恒成立等價(jià)于現(xiàn)2—〃?<2,解得一1<〃2<2.

6.(2020?新高考山東卷)基本再生數(shù)Ho與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參

數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳史的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的

平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(/)=』描述累計(jì)感染病

例數(shù)/⑺隨時(shí)間/(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率廠與R。，7近似滿足Ro=1

+立有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段,

累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2"069)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由析=1+",Ro=3.28,7=6,

Ro—l3.28-1

得/e片〒=~^~=0.38.

由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍,

則/(/2)=27(n),

即*38,2=2238”,所以e0.38(/2-fl)=2,

即0.38Q2—力）=ln2,

In20.69,。

??力一九=森仁森F8

2一」11

(聽右-I)[?〃一，?歷

7.化簡(jiǎn)：----------------m>0,b>0)=

y)a-b5

答案5

11??

。二歷?，沏

解析原式=r-5

8.設(shè)偶函數(shù)g(x)=#+M在(0,+8)上單調(diào)遞增,則g(a)與g(b-l)的大小關(guān)系是

答案g(a)>g(b—l)

解析由于g(x)=心+”是偶函數(shù)，知/?=0,

又其。=加在(0,+8)上單調(diào)遞增，得4>1.

則gS-l)=g(—i)=g(i),

故g(〃)>g(l)=gd).

9.已知函數(shù).")=的值域是[-8,1],則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

—f+Zr,0WxW4

答案[-3,0)

解析當(dāng)0<x<4時(shí)，危)目一8,1],

當(dāng)犬<()時(shí)，/U)W一/—1),

所以弓，一111-8,1J,

即一8W一1,即一3W“v0.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[—3,0).

10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)凡丫)=薩洪為奇函數(shù)

⑴求人的值；

(2)VreR,犬尸一2。+42尸一Z)vO恒成立，求攵的取值范圍.

解(1)因?yàn)楣不檬嵌x在R上的奇函數(shù)，

所以40)=0,則6=1(經(jīng)檢驗(yàn)，6=1時(shí)0)為奇函數(shù)，滿足題意).

?L.—2"+111

(2)由(1)知7U)=矛彳］=一］+印，

因?yàn)?W是奇函數(shù)，所乂不等式人尸一2。+式ZP—AKO等價(jià)于人P—Z/K-AZp-k)

=火—2尸+。

易知人此是R上的減函數(shù)，

所以產(chǎn)一2，>一2產(chǎn)+攵.

即對(duì)任意的/eR有3r2-2r-^>0恒成立，從而對(duì)應(yīng)方程的根的判別式/=4+

12&<0,解得&<一小

所以々的取值范圍為(一8,一；).

4'+陽

11.已知函數(shù)?r)=/一是奇函數(shù).

(］)求實(shí)數(shù)〃，的值；

(2)設(shè)以為=2由一m若函數(shù)/U)與g(x)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解(1):/U)為奇函數(shù)，

???/(0)=0,得〃2=—1,

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)〃2=—1時(shí)，共幻為奇函數(shù)，

??=-1.

4V—1

(2)令下^=2甘|一小

令，=2、.*.r>0,

?J［1=2L〃,即〃=/+},

???方程。=r+：有正實(shí)數(shù)根，

?L+522,當(dāng)且僅當(dāng)t=\時(shí)取等號(hào).

???心2.

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［2,4-00).

B級(jí)能力提升

12.若關(guān)于工的方程上」1|=2”（公＞0,且。為）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則。的取值范

圍是（）

A.I0,2U(l,+8)B/O,g

C8

1D.(l,+°°)

答案B

解析方程l|=2a（a＞0,且aWl）有兩個(gè)不相等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)），="一1|

與y=2o有兩個(gè)交點(diǎn).

⑴當(dāng)（）＜4＜1時(shí)，如圖①，所以0v2avl,即（）＜〃＜；；

⑵當(dāng)。＞1時(shí)，如圖②，而），=2。＞1不符合要求.