大題優(yōu)練3曲線運(yùn)動(dòng)問題

例1.(2020?山東卷?16)單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形

滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直凱道連接而成，軌道傾角為17.2。。某次練習(xí)

過程中，運(yùn)動(dòng)員以四=IOm/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面人8c?；鲕壍?，速度方向與軌

道邊緣線A。的夾角a=72.8。，騰空后沿軌道邊鄉(xiāng)彖的N點(diǎn)進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動(dòng)員可視為

質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力,取重力加速度的大小g=10m/s2,sin728=0.96,cos72.8°=0.30o求：

(1)運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD的距離的最大值小

(2)M、N之間的距離心

【解析】(1)在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在A/3C。面內(nèi)垂直A3方向的分速度為也，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得:

vi=v.wsin72.8°①

設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABC。面內(nèi)垂直AD方向的分加速度為?i，由牛頓第二定律得：

mgcos17.2°②

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得及4③

聯(lián)立①式，代入數(shù)據(jù)得：d=4.8m。④

(2)在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在A8CO面內(nèi)平行AO方向的分速度為￡2,由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)得：

V2=V.A/COS72.8°⑤

設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABC。面內(nèi)平行A。方向的分加速度為6，由牛頓第二定律得：

mgsin17.2°=mai⑥

,二型

設(shè)騰空時(shí)間為3由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：“⑦

￡="+%尸⑧

聯(lián)立①?@⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得：L=12m。⑨

例2,現(xiàn)有一根長L=1m的剛性輕繩，其一端固定于。點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量6=0.5kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),

將小球提至。點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無張力。不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2。

(1)在小球以速度ri=4m/s水平向右拋出的瞬間，繩中的張力大小為多少？

(2)在小球以速度力=lm/s水平向右拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大小：若無張力，試求繩子再次伸直時(shí)

所經(jīng)歷的時(shí)間。

(3)接(2)問，當(dāng)小球擺到最低點(diǎn)時(shí)，繩子拉力的大小是多少？

【解析】⑴繩子剛好無拉力時(shí)對應(yīng)的臨界速度滿足〃吆=〃苣土，解得v臨界=＜而m/so因?yàn)橐玻净Ы?所以繩

2

子有拉力旦滿足，叫+7i=〃解得Ti=3N。

(2)因?yàn)榭谏赘窠纾岳K子無拉力，小球以電的初速度做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間/后繩子再次伸直，則滿足方

程f+(j—￡)2=^2

其中x=vzf,y=；g~，解得r=0.6se

(3)當(dāng)/=().6s時(shí)，可得x=0.6m,)，=1.8m,小球在。點(diǎn)右下方位置，且。點(diǎn)和小球的連線與豎直方向的夾角

x3

滿足1211〃=1二］=幣此時(shí)速度的水平分量與豎直分量分別為以=3=1m/s,vy=gt=6m/s

繩伸直的一瞬間，小球的速度沿繩方向的分量突變?yōu)榱?，只剩下垂直于繩子方向的速度：

-3=W—Mos廣當(dāng)m/s

接著小球以l，3為初速度繞著O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)擺到最低點(diǎn)，設(shè)在最低點(diǎn)速度為火則由動(dòng)能定理得

]1)y

mgL(I—cosa)=弓〃八2-^invr,又T-mg=nr^

273

解得T=景J。Ne

1.如圖所示，傾角為37。的斜面長L=1.9m,在斜面底端正上方的。點(diǎn)將一小球以速度n)=3m/s的速度水平

拋出，與此同時(shí)靜止釋放在頂端的滑塊，經(jīng)過一段時(shí)間后將小球恰好能夠以垂直斜面的方向擊中滑塊。小球和

滑塊均視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g=10m*,求：

⑴小球從拋出到達(dá)斜面所用時(shí)間;

(2)拋出點(diǎn)O離斜面底端的高度；

(3)滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

2.曉明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為用的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直

平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉。球飛離水平距離"后落地，如圖所示，已知握繩

3

的手離地面高度為a手與球之間的繩長為犯，重力加速度為g,忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力。

、，&

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

kdH

(1)求繩斷時(shí)球的速度大小y；

(2)向繩能承受的最大拉力多大？

(3)改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多

少？最大水平距離為多少？

3.如圖所示，餐桌中心是一個(gè)半徑為，=1.5m的圓盤，圓盤可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，近似認(rèn)為圓盤與餐桌在同一水平

面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽略不計(jì)。已知放置在圓盤邊緣的小物體與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為川=0.6,與餐桌間

的動(dòng)摩擦因數(shù)為心=0.225,餐桌離地面的高度為〃=0.8設(shè)小物體與圓盤以及餐桌之間的最大靜摩擦力等于

滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取lOm/s?。

是讓更多普通群眾能夠體驗(yàn)雪車項(xiàng)目的魅力。如圖乙所示，在傾角為夕的斜坡上有一雪車軌道由直線4B、半

圓BC、CO和四分之一圓弧。E構(gòu)成，其中AB段軌道粗糙，其余軌道光滑。A8軌道沿斜面向下，B、C、D

在同一水平面上，其垂直于斜面的俯視圖為圖丙所示。在半圓CD最高點(diǎn)處軌道橫截面為矩形，如圖丁所示。

雪車和游客質(zhì)量共為〃?，在長為L的直線軌道48上做初速度為0,加速度為。的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入

圓弧軌道，無碰撞自由滑行。半圓3c半徑為2R,CD半徑為R,圓弧。七半徑為4R。從￡點(diǎn)沿切線方向滑出

軌道后，雪車底部繼續(xù)緊貼斜面進(jìn)行無摩擦運(yùn)動(dòng)，最終安全滑進(jìn)緩沖區(qū)。緩沖區(qū)左邊緣尸點(diǎn)離七點(diǎn)平行斜面

的水平距離為“，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間,因軌道半徑足夠大，雪車和人可以視為質(zhì)點(diǎn)，雪車底面始終和軌道底

面接觸。求：

(1)雪車和人在半圓軌道CD的最高點(diǎn)時(shí)所受側(cè)壁軌道的壓力;

(2)雪車剛到緩沖區(qū)左邊緣F點(diǎn)時(shí)速度的大小。

6.如圖甲所示，鞋直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道48和圓軌道8co組成，48和8CO相切于8點(diǎn)，OB

與0C夾角為37。，C。連線是圓軌道豎直方向的直徑(C、。為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn))，可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑

塊從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，用力傳感器測出滑塊經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)。時(shí)對軌道的壓力為巴

并得到如圖乙所示的壓力尸與高度”的關(guān)系圖象，該圖線截距為2N,且過(0.5m,4N)點(diǎn)。取g=10m/s2。

(1)求滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑。

(2)若要求滑塊不脫離圓軌道，則靜止滑下的高度為多少？

(3)是否存在某個(gè)“值，使得滑塊經(jīng)過最高點(diǎn)。飛出后落在圓心等高處的軌道上？若存在，請求出〃值；若不

存在，請說明理由。

答案

1.【解析】⑴設(shè)小球擊中滑塊時(shí)的速度為用豎直速度為方,由幾何關(guān)系得：w=i/an37。

設(shè)小球下落的時(shí)間為，，小球豎直方向力=切

解得：r=0.4So

(3)豎直位移為)，，水平位移為X,由平拋規(guī)律得：)，=上汽工=的

設(shè)拋出點(diǎn)到斜面最低點(diǎn)的距離為近由幾何關(guān)系得：〃=y+xtan37。

由以上各式得"=1.7mo

(2)在時(shí)間，內(nèi)，滑塊的位移為$,由幾何關(guān)系得：5=/-——

cos37°

設(shè)滑塊的加速度為小由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：x=^aP

對滑塊，由牛頓第二定律得：，〃gsin37。一//mgeos37。=〃也

由以上各式得〃=0.125。

2.【解析】(1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為f,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，豎直方向看:

水平方向有：d=vt

聯(lián)立解得：v=廊。

(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為F,這也是球受到繩的最大拉力大小，球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑/?=//,根據(jù)牛頓

第二定律有：F-mg=m—

R

解得F=日■/〃gO

(3)設(shè)繩長為/,繩斷時(shí)球的速度大小為/,繩承受的最大拉力不變，根據(jù)牛頓第二定律有：

F-ing=rn——

得,杰

繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎宜位移為"一/,水平位移為大，時(shí)間為小根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，豎直方向有：

d-l=2gfi

豎直方向有：x=v't\

聯(lián)立解得：工=4度至

根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，當(dāng)x有極大值，為斯加=絲小

N3

3.【解析】(1)由題意可得，當(dāng)小物體在圓盤上隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤對小物體的靜摩擦力提供向心力，所以

隨著圓盤轉(zhuǎn)速的增大，小物體受到的靜摩擦力增大。當(dāng)靜摩擦力最大時(shí)，小物體即將滑落，此時(shí)圓盤的角速度

2

達(dá)到最大,有：fm=n\N=mcor,N=mg

聯(lián)立兩式可得但^=2rad/So

(2)在題意可得，當(dāng)物體滑到餐桌邊緣時(shí)速度恰好減為零，對應(yīng)的餐桌半徑取最小值。設(shè)物體在餐桌上滑動(dòng)的位

移為s,物體在餐桌上做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為。，則。=〃2g=2.25m/s?

物體在餐桌上滑動(dòng)的初速度w=c"=3m/s

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得0—獷=一2加，可得$=2m

由幾何關(guān)系可得餐桌半徑的最小值為/?=正針=2.5m。

(3)當(dāng)物體滑離餐桌時(shí)，開始做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋的初速度為物體在餐桌上滑動(dòng)的末速度必，，由題意可得：

v/2—vo2=-2av/

由于餐桌半徑為父=也，，所以s，=r=L5m

可得叨'=1.5m/s

設(shè)物體做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，，貝加=將

解得7=0.4s

物體做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為&=y〃=0.6m

由題意可得L=s'+sx=2.1m。

4.【解析】⑴根據(jù)題意4點(diǎn)到地面高度hc=R-Rsin37°=0.08m

從B點(diǎn)飛出后，滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：h-hc^gt2

化簡得f=0.3s

根據(jù)可知v?=3m/s

飛到C點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度vy=gt=3m/s

因止匕l(fā)an0=—=1

即落到圓弧C點(diǎn)時(shí)，滑塊速度與水平方向夾角為45。。

(2)滑塊在DE階段做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小。=工=

m

根據(jù)VI?-VD2=1CIXDE

在圓弧軌道最低處&一〃吆=川心

解得仆=100N,即對軌道壓力為100N。

(3)滑塊彈出恰好無碰撞從。點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，說明滑塊落到C點(diǎn)時(shí)的速度方向正好沿著軌跡該出的切線，即

/

,匕

tana=—

%'

由于高度沒變，所以以=B，=3m/s,a=37。

因此vo，=4m/s

對應(yīng)的水平位移為AAC=VO7=1.2m

所以縮短的AB段應(yīng)該是加入8=兀4(:一切c=0.3m。

5.【解析】(1)設(shè)勻加速進(jìn)入軌道時(shí)的速度為力，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得匕2=2,4

設(shè)半圓C。最高點(diǎn)速度為P2,從B到C。圓弧最高點(diǎn)過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得:

-mgRsin0=gmvj一；〃訴

在最高點(diǎn)，對雪車和游客整體進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得:

〃吆sine+b.M根三

R

解得外=網(wǎng)心一3〃?gsin。

R

討論:

ImaL

①外3mgsin6>0,上側(cè)壁給整體彈力方向沿斜面向下;

~R~

2maL

3mgsin=0,作用力為零;

/

2maL

3mgsin0<0下惻壁給整體彈力方向沿斜面向上。

~R~

(2)設(shè)E點(diǎn)速度為力，從8點(diǎn)到E點(diǎn)過程中，根據(jù)動(dòng)能定理

mgsin0x4R=gmv1—gm\^

雪車整體離開軌道后做類平拋運(yùn)動(dòng)

水平方向以速度1，3做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿斜面以加速度"做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

根據(jù)牛頓第二定律得：〃火sin。=〃

水平方向：d=vyt