ZHUANTIYI

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)

[考情分析]1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)的定義域、分段函

數(shù)、函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)的綜合應(yīng)用，

難度屬r中等及以上2此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在壓軸題的位置，

多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問(wèn)題相結(jié)合命題.

考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示

【核心提煉】

1.復(fù)合函數(shù)的定義域

⑴若孔r)的定義域?yàn)閇，〃，川，則在Hg(x))中，由加Wg(x)W〃解得x的范圍即為y(加x))的定義域.

(2)若HgQ))的定義域?yàn)閇加,川，則由機(jī)WxW〃得到g(x)的范圍，即為段)的定義域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.

例I(1)(2022.西安檢測(cè))已知函數(shù)貝x)=ln丫+灰二聲，則大2丫)的定義域?yàn)?)

A.(0,1)B.(1,2)

C.(0,4]D.(0,2]

答案D

----------x>0,

解析要使函數(shù)凡i)=lnx+=16—2，有意義,則解得0<后4,則危)的定義域

Io—230,

為(0,4],由0v2xW4,解得0oW2,則12x)的定義域?yàn)?2].

好+2〃，x<l,

(2)已知實(shí)數(shù)a￡R,函數(shù)力x)='

—x,x>l,

若<1一。)》(1+。)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(-2,-l)U(0,+8)

解析由題意知，aW0.

①當(dāng)4Vo時(shí)，1-4>1,1+興1,

A-(1-?)>(1+6?)2+2?,

化簡(jiǎn)得fl2+3a+2<0,

解得一2<av—1,

又。<0,2,—I)；

②當(dāng)eO時(shí)，1一。<1,1+〃>1,

/.(I—?)2+2?>—(1+?),

化簡(jiǎn)得。2+〃+2>0,解得〃￡R,

又q>0,/.aE(O,+°°),

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-2,-1)U(O,+8).

規(guī)律方法⑴形如?g(x))的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.

(2)對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問(wèn)題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.

&-3(210

跟蹤演練1⑴(2022?濰坊模擬)設(shè)函數(shù)/)="；八］二則48)等于()

用>+4)),xvlO,

A.10B.9C.7D.6

答案C

x—3,在10,

解析因?yàn)槲?=L」,、⑺則大8)=/612))=逃9)=歡13))=/(10)=7.

(2)設(shè)函數(shù)/(?的定義域?yàn)镈,如果對(duì)任意的存在)，￡。，使得?v)=-/(.y)成立，則稱

函數(shù)/U)為“M函數(shù)”.則下列為“M函數(shù)”的是.(填序號(hào))

?y=sinxcosx：

@y=lnx4-ev；

③)=2、

@y=x1—2x.

答案①②

解析由題意，得“M函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.①中，產(chǎn)sinxcos尸；sin2x￡一奈1,

其值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①是“M函數(shù)”；②中，函數(shù)y=lnx+e?，的值域?yàn)镽,故②是“M

函數(shù)”；③中，因?yàn)?gt;=2>0,故③不是“M函數(shù)”；④中，)，=1-2x=(x—l)2—12—1,

其值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故④不是“A/函數(shù)”.

考點(diǎn)二函數(shù)的圖象

【核心提煉】

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、

伸縮變換、對(duì)稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫(huà)出圖象的特點(diǎn).

考向1函數(shù)圖象的識(shí)別

例2(1)(2022?全國(guó)甲卷涵數(shù))=(31—3二》cosx在區(qū)間甘，上的圖象大致為()

V

4A

A

答案A

解析方法一(特值法)

取x=1,則y=(3—￡)cos1=1cos1>0；

取1=1,貝ijy=(g—3)cos(1)

Q

=—qcosl<0.結(jié)合選項(xiàng)知選A.

方法二令尸危)，

則叫一%)=(3七一39cos(-x)

=—(3r—3')cosx=—fix),

所以函數(shù)y=(3'-3、)cosi是奇函數(shù)，

排除C,故選A.

(2)(2022?全國(guó)乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖象，則該函數(shù)是

()

B.

2.rcosx2sinx

C..y=D.y=7+\

答案A

解析對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)x=l時(shí)，y=0,與圖象不符，故排除B；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x=3時(shí)，y

=1sin3>0,與圖象不符，故排除D；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)OVxV飄，0<cosx<l,故尸譽(yù)寧

<7TT<1?與圖象不符，所以排除C.故選A.

考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用

f—2r（—KWO）

例3⑴已知函數(shù)危）2&0皿），則下列圖象錯(cuò)誤的是（)

產(chǎn)危-1）的圖象

產(chǎn)叭刈的圖象

C

答案D

解析當(dāng)一IWXWO時(shí)，?丫）=-2*表示一條線段，且該線段經(jīng)過(guò)（一1,2）和（0,0）兩點(diǎn).

當(dāng)o<xWi時(shí)，yu）=5，表示一段曲線，函數(shù)火工）的圖象如圖所示.

?x-i）的圖象可由7U）的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A正確；八一x）的圖象可由./U）

的圖象關(guān)于1y軸對(duì)稱后得到，故B正確；由于八x）的值域?yàn)閇0,2],故"r）=l/U）|,故人利的圖

象與人外的圖象完全相同，故c正確；很明顯D中川M）的圖象不正確.

f+Zr+l,xWO,

(2)已知函數(shù)府)=：-若存在的，物即（即<由《3），使危1）=/2）=4即）,則

.公|+到+抬）的取值范圍是（）

A.(0,1]B.[0,1]

C.(一8,J]D.(—8,])

答案B

解析作出7U）的大致圖象如圖，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為內(nèi)，工2,白，自左向右依次排列,

由圖可知，K],及關(guān)于直線工=-1軸對(duì)稱，

即Xi+X2=-2,

又X?>0,:.X]+M+工3>—2.

由圖象知，當(dāng)心>一2時(shí)，段）￡[0,1],

?\/（的+及+刈）￡[0,1].

規(guī)律方法（I）確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，

特別是利用一些特殊點(diǎn)排除不符合要求的圖象.

（2）函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)

不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問(wèn)題.

跟蹤演練2⑴（2022?安徽五校聯(lián)考涵數(shù)危）=（4'一4一〉ln國(guó)的圖象大致為（）

解析因?yàn)楹瘮?shù)_/U）=（4*-4r）ln|x|的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+°°）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

x

且人一處=（4一'—M=—（4'—4）-ln\x\=—j（x）t

所以函數(shù)/U）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除C,D選項(xiàng)，

當(dāng)我一+8時(shí)，人戲>0,可排除B.

cowx+2

（2）函數(shù)（的圖象如圖所示,則（）

A.a>(),b=0,c<0

B.。>0,b=0,c>0

C.a<0,b<0,c=0

D.a<0,b=0,c<0

答案A

解析因?yàn)楹瘮?shù)ZU)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱,

所以_/u)為偶函數(shù)，

行?xcos(-x)4-2

所以人+力(-)+c

cos。十2coso+2

=ar2—/u+c=ar2+c寸幻，

解得〃=0,

3

由圖象可得次0)=]<0,得CYO,

由圖象可得分母加+c=0有解，

所以『=—彳有解，

所以一。>0,解得a>0.

考點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

1.函數(shù)的奇偶性

(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有

人工)是偶函數(shù)一#=/U)=AIM)；

/A)是奇函數(shù)3共一%)=一時(shí).

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)X奇函數(shù)是偶函數(shù)).

2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.

3.函數(shù)的周期性

若函數(shù)7(X)滿足./U+〃)=/U—。)或危+2a)=7U),則函數(shù)>=.小)的周期為21al.

4.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸

⑴若函數(shù)?r)滿足關(guān)系式兒/+幻+火〃一#=2仇則函數(shù))：=/3的圖象關(guān)于點(diǎn)3,勿對(duì)稱.

(2)若函數(shù)人大)滿足關(guān)系式J[a+x)=J(b-x),則函數(shù))，=?!)的圖象關(guān)于直線x=丁對(duì)稱.

考向1單調(diào)性與奇偶性

例4(2022.r東大聯(lián)考)己知函數(shù)/)=eR-cosx,則陪)，火0),/(一§的大小關(guān)系為()

A.曲4(綱(一￡)

B.

c/?V(-1)<A0)

D./(-1)<rt0)<fg)

答案B

解析??工幻=eul—cosx,

:小—x)=dF—cos(—x)=eul—cosx=J(x),

?；/U)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=eA—cosx.

則/'(x)=e*+sinx,

，當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，f'(x)=ev+sinx>0,

???函數(shù)次x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

??w)M￡k(3，

即人。)</(—

考向2奇偶性、周期性與對(duì)稱性

例5設(shè)函數(shù)yw的定義域?yàn)镽,加一I)為奇函數(shù)，於+D為偶函數(shù),當(dāng)工￡[1,3]時(shí)，yu)=h

+機(jī)，若我)一/□)=—2,則.*2022)等于()

A.-2B.0C.2D.4

答案C

解析因?yàn)?/U—1)為奇函數(shù)，所以加一X—1)=一幾￥—1)①；又/U+1)為偶函數(shù)，

所以八-x+l)=/u+l)②；令x=l,由②得40)=火2)=22+〃?，又43)=3攵+〃?，

所以五。)一人3)=24+〃?一(3女+/〃)=一后=一2,解得k=2、

令x=o,由①得五-i)=-A—1)，即人-1)=0;

令x=2,由②得五-1)=力3)=0,所以<3)=3k+〃?=0,即/"=一6.則當(dāng)x￡[l,3]時(shí)，

/(x)=2x-6,

結(jié)合①②得，,/U+2)=一加-2),即7U+4)=-/U),所以?r+8)=—/U+4)=/(x),

所以7=8是函數(shù)<x)的一個(gè)周期，所以./(2022)=/(252X8+6)=/(6)=—/(2)=—(2X2—6)=2.

二級(jí)結(jié)論(1)若?r+a)=-_/U)(或人文+0=武)，其中九r)WO,則負(fù)工)的周期為2間.

⑵若7U)的圖象關(guān)于直線大=〃和x="對(duì)稱，則7U)的周期為21a—臼.

(3)若大力的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)和直線x=b對(duì)稱，則府)的周期為4\a-b\.

跟蹤演練3(1)若函數(shù)九^二^+優(yōu)］儂仁用為奇函數(shù)，則不等式/(InA)<y(|ln川)的解集為

答案(0,1)

解析易知人劃定義域?yàn)镽,

又7U)為奇函數(shù)，.\/W)=o,得〃=一1,

??JU)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，

又*nx)勺

Ainx<|lnx|,

.*.lnx<0,

(2)(2022?全國(guó)乙卷)若7U)=ln+。是奇函數(shù)，貝J。=，b=.

答案一；In2

.1.1,(a+l)e“一uehx

解析；h

M=\na+7ITT4+Z?=ln?+17人-+lne=\n------1----X------.

:/U)為奇函數(shù)，

?\Ar)+/W

(?+l)2e2/,—crc^x2

=,nP?"。，

???l(〃+1%勸一心2記=|]—/1

當(dāng)(a+1a2〃一/?均2=i-F時(shí)，

[(a+1>e乃-I]+(1—a2e2V=0對(duì)任意的x恒成立，

(a+l>e"—1=0,

則「

l-?2e2ft=0,

a=一彳，

解得J2

b=\x\2.

當(dāng)(a+I)%?”一"f=/一1時(shí),

[(〃+l)2e2&+l]-(a2e2fe+1Jx2=0對(duì)任意的x恒成立,

[(〃+l)2e勸+1=0,

則[/e勸+1=0,無(wú)解.

綜上，￡?=—b=\n2.

專題強(qiáng)化練

一、選擇題

1.（2022?哈爾濱檢測(cè)）下列既是奇函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=tanxD.y=~~

X

答案D

解析對(duì)于A,,，=$inx是奇函數(shù)，且在（0,+8）上有增有減，故不滿足；

對(duì)于B,y=lnx的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是非奇非偶函數(shù)，故不滿足；

對(duì)于C,），=tan工是奇函數(shù)，且在（（），+8）上只有單調(diào)遞增區(qū)間，但不是一直單調(diào)遞增，故

不滿足；

對(duì)于D,y=一5是奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞增，故滿足.

2.（2022?煙臺(tái)模擬）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

1111人I1J

A.[-2,2]B.(-1,2]

C.(-1,0)U(0,21D.(-1,I)U(1,21

答案C

4-20,'一2?2,

解析由已知可得一十>()，即<x>—1,

Jn(x+l)W0,.xWO,

因此函數(shù)y=的定義域?yàn)?一1,0)U(0,2].

1|忙111:I:1J

2x+1—],(W3,

3.(2022?西安模擬)設(shè)府)=,若府)=3,則x的值為()

l0g2(A7—1),X>3,

A.3B.1

C.-3D.1或3

答案B

解析當(dāng)x<3時(shí),令2/1-1=3,解得x=1.

當(dāng)x＞3時(shí),令log2（f-l）=3,

解得x=±3,這與心＞3矛盾，

.*.x=1.

4.（2022?常德模擬）函數(shù)人工）=誓2的圖象大致是（）

CIVy

一

A事B

事

CD

答案C

解析函數(shù)九、?）=霽？的定義域?yàn)镽,

、sin（一心）-sin（兀。

Kx）~屋'+8-e'+e"一兒

即yu）是奇函數(shù)，A,B不滿足；

當(dāng)（0.1）時(shí),即0＜心＜小

則sin（7tx）＞0,而e'4-e-A＞0,

因此yu）＞o,D不滿足，C滿足.

5.（2022-廣州模擬）若函數(shù)y=fix）的大致圖象如圖,則7U）的解析式可能是（）

L

A./U）=苫百

*+1

B.J（x）—

C.O-eJ

elv—1

D.危）=RA

答案D

解析由圖可知函數(shù)的定義域?yàn)閧m:WO},故排除A；

由圖知該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，簾滿足yu）+/（—%）=o,

對(duì)于B,危）+?—x）R0,故排除B；

C和D均滿足?1）+1一外=0,

對(duì)于C，."尸碧=上「

當(dāng)Xf+8時(shí)，上一0,

故人x）f?，

V

???y=f增長(zhǎng)的速率比y=e?'增長(zhǎng)的速率慢，

工危）一3一0,

即圖象在x軸上方且無(wú)限接近于x軸正半軸，與題意不符，故排除C.

e/、—1

6.（2022?張家口檢測(cè)）已知函數(shù)/5）=卞7，則（）

A.函數(shù)人v）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)＜x）是奇函數(shù)，在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)凡r）是偶函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)人r）非奇非偶，在區(qū)間（一8,（））上單調(diào)遞增

答案A

1一一

x

e~—1

解析力一幻=-K?=-m

gr-i

ev+l=o

故TU）是奇函數(shù).

ev+1-22

又）1

yu=er+ler+r

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知?%）在R上單調(diào)遞增.

7.（2022?衡水中學(xué)調(diào)研）已知凡t）是偶函數(shù)，且對(duì)任意內(nèi)，也七（0,十8）,於口三&2＞（）,設(shè)〃

X|X2

=/（1），〃="0g37）,c=yi-0.83）,貝lj（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

答案B

解析???對(duì)任意內(nèi)，不￡(0,+8),庭=於2>(),

X1一X2

，函數(shù)火x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又函數(shù)Hx)為偶函數(shù)，

工於)在(―8,())上單調(diào)遞減.

33LL

25

又/=log33=k)g3M57dog37=log3M55，—1<—0.8<0,

???貝哈7討?次一0.8,即e<a<b.

hi(x+l),GO,

8.已知函數(shù)yu)=.I八則不等式y(tǒng)u+2)q/+2x)的解集是()

-2AT,A<0,

A.(-2,1)

B.(0,1)

C.(-8,-2)u(l,+8)

D.(I,+8)

答案C

ln(x4-1),x20,

解析由函數(shù)Kr)=.八可得當(dāng)x2()時(shí)，人幻單調(diào)遞增；

—2JT,X<0,

當(dāng)xVO時(shí)，火x)單調(diào)遞增，而且當(dāng)工=。時(shí)函數(shù)連續(xù)，

所以人工)在R上單調(diào)遞增，

不等式_/(x+2)勺(F+2X),

可化為x+ZVf+Zx,即.d+x—2>0,解得x>1或xV—2,

則原不等式的解集為(-8,-2)U(1,+oo).

9.設(shè)定義在R上的函數(shù)/x)滿足KD/U+2)=13,若<1)=2,則式99)等于()

A.1B.2

13

C.0D.y

答案D

解析依題意Av)-Av+2)=13,

火"2)=麗’

13

所以人工+4)=/5+2+2)=欣布

13

所以火幻是周期為4的周期函數(shù)，

所以7(99)=/(25X4—l)=/(—1)

13_13_13

一47+2)=布

10.(2022?福州模擬)定義在R上的函數(shù)7U)滿足_/(2—?=2一九江若./U)的圖象關(guān)于直線工=

3對(duì)稱，則下列選項(xiàng)中一定成立的是()

A.^-3)=1B./(0)=()

C.<3)=2D.X5)=—1

答案A

解析函數(shù)兒r)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則必有人3—x)=/(x+3),所以人0)=H6),

?1)=購(gòu),火2)=貝4),又因?yàn)榧?滿足犬2一勸=2—為%),取x=l,所以/U)=2—)1),則/(I)

=負(fù)5)=1,取.r=5,則八-3)=2—犬5)=1,慶對(duì).

11.已知函數(shù)、")是定義在(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，且當(dāng)A->0時(shí)，jU)=

(x—2)2,0<JW4,

磯丫-4),A>4?

則方程人工)=1的解的個(gè)數(shù)為()

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由題意知，當(dāng)工>。時(shí)，

(x—2產(chǎn)，0<xW4,

函數(shù)及)={10...

加-4),上>4,

作出函數(shù)./U)的圖象，如圖所示，

方程式用=|的解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=/u)與)，=1的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

當(dāng)工>0時(shí)，結(jié)合圖象，函數(shù)y=/&)與)，=1的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)楹瘮?shù)y=<x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)y=/(x)與y=l的圖

象也有5個(gè)交點(diǎn)，

綜上可得，函數(shù)y=/(x)與>，=1的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，即方程_/(幻=1的解的個(gè)數(shù)為10.

12.(2021?新高考全國(guó)II)已知函數(shù)/)的定義域?yàn)镽,4+2)為偶函數(shù)，?2x+l)為奇函數(shù),

則()

A./(一*。B..A-l)=0

C.火2)=0D.<4)=()

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)凡r+2)為偶函數(shù)，則42+x)=人2-x),可得於+3)=川-x),

因?yàn)楹瘮?shù)42Y+1)為奇函潮，則/(I—2r)=—/(2x+1),所以—/)=—/(工+1),

所以於+3)=—於+1),即凡0=於+4),

故函數(shù)7U)是以4為周期的周期函數(shù)，

又次1)=0,故?—1)=45)=/(1)=