第16講對數

【人教A版2019】

■內首航

思維導圖

「模塊一：對數的概念

夯基?基礎知識梳理?■模塊二：對數的運算

L模塊三：對數的實際應用

「題型1對數的概念的理解

一題型2指數式與對數式的互化

對數。題型3對數的運算性質的應用

，題型4運用換底公式化簡計算

」提升,必考題型歸納一

一題型5指、對數方程的求解

一題型6帶附加條件的指、對數問題

一題型7運用換底公式證明恒等式

I題型8對數的實際應用

課后作業(yè)（19題）

思維導圖

對數的定義

對數的性順:①log/=0.Qg,M=l(a>OJLRl).負數和。沒仃對數.

對數的定義、性②對數恒等式：〃='=N(20Q0.1L).

"質與對數恒等式

對數。指數”的關系，當。>0,ILgl時,gNox=bg“N

常用對數：以10為底的對數叫做常用對數

I常用對數與自然T

」自然對數：以e為底的對數叫做自然對數，e是無理數

對數

1

積的對數：正因數積的對數等于同一底數的各因數的對數的和

商的對數：兩個正數的商的對數等于同一底數的被除數的對數減去除

L數的對數

目的對數：正數幕的對數等于導指數乘同一底數的目的底數的對數

換底公式：設a>0.11存1.cX),ILnei.b>o.則k?g“〃?獸也

log.a

對數的運算--對數的換底公式L

1

.對數運算的常用指對互化

技巧

分為兩類：(1建立對數式，在此基礎上進行一些實際求值；(2)建立指

數函數型應用模型，再進行指數求值，此時往往將等式兩邊同時取對

對數的實際數進行計算

-

應用

模塊一N對數的概念龍

知識梳理

1.對數的定義、性質與對數恒等式

(I)對數的定義；一般地，如果不=可(4>0,且在I)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作尸Io8

其中a叫做對數的底教，N叫做真數.

(2)對數的性質：

①log01=0,log”a-1(。>0,且〃羊1),負數和0沒有對數.

②對數恒等式:aW=MN>0,a>0,且存1).

(3)對數與指數的關系：

根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關系：當。>0,且"1時，a'=N0x=Tog“N.

用圖表示為：

騫值真數

I

a'=/V<=>log#=x

[底數|

指數對數

2.常用對數與自然對數

名稱定義符號

常用對數以10為底的對數叫做常用對數logioTV簡記作1gN

以e為底的對數叫做自然對數，e是無理數，e

自然對數bgcN簡記作InN

=2.71828

題型歸納

【題型1對數的概念的理解】

【例1】（24-25高一上?全國?隨堂練習）對數logg+3）（5-。）中實數a的取值范圍是（）

A.(-oo,5)B.(-3,5)C.(-3,-2)U(—2,5)D.(—3,+8)

【解題思路】根據對數真數和底數的性質進行求解即可.

【解答過程】因為對數式的底數為大于零不等于I的實數，真數為正實數,

p-a>0（Q<5

所以有1a+3>0=Q>-3=>a6（-3,-2）U（-2,5）,

（a+3Hl（aH-2

故選：C.

【變式1.1］（24?25高一上?全國?課后作業(yè)）有下列說法：

①以10為底的對數叫作常用對數；

②任何一個指數式都可以化成對數式；

③以e為底的對數叫作自然對數；

④零和負數沒有對數.

其中止確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據對數的相關概念和性質，一一判斷每個選項，可得答案.

【解答過程】根據常用對數以及自然對數的概念可知①③正確，根據對數的性質可知④正確，

只有當a>0且awl時，指數式a4=N才可以化成對數式，②錯誤，

故選：C.

【變式1.2］（24-25高一上?貴州貴陽?階段練習）使式子k）g（3x—i）（2—x）有意義的》的取值范圍是（）

A.x>2B.|<x<2C.3<x<2且x行D.x<2,

【解題思路】根據題意，結合對數式的定義，列出不等式組，即可求解.

（3x-1>0

【解答過程】由式子log（我一i）（2-外有意義，則滿足卜％-1工1,解得］vx<2旦

（2-x>0

故選：C.

【解答過程】(I)由G)Y=32,得log：32=—5.

(2)由103=1000,得lgl000=3.

(3)由e?=%,得Inx=2.

【變式2.3](24-25高一下?全國裸堂例題)將下列指數式與對數式進行轉換：

(1)34=81；

(2)54=%；

(3)logi27=-3；

3

(4)log2A-3.

【解題思路】根據指數式與對數式的互化可依次將其轉化.

【解答過程】(I)根據指數式與對數式的互化，可知34=81可化為log381=4.

(2)根據指數式與對數式的互化，可知5后=%可化為logs%=，

(3)根據指數式和對數式的關系，1強27=-3可化為。-3=27.

(4)根據指數式和對數式的關系，1臉：=一3可化為2-3=：.

88

模塊二對數的運算小I

知識梳理

1.對數的運算性質

如果〃>0,且硝,M>0,N>0/￡R,那么我們有:

運算數學表達式自然語言描述

正因數積的對數等于同一底數的各因數的

積的對數loga(MN)=lcg“M+log”

對數的和

兩個正數的商的對數等于同一底數的被除

面的對數log,果=log.A/-log“N

數的對數減去除數的對數

正數幕的對數等于幕指數乘同一底數的幕

塞的對數

的底數的對數

2.對數的換底公式及其推論

(I)換底公式:設〃>0,且分1,c>0,且HI,b>0,則log/=I：：/；，

(2)換底公式的推論:

①；log“〃?log/,a=l（a>0,且力>0,且厚1）；

②log,力?log」。?log,"=log/（a>0,且且屏l,c>0,且由,d>0）；

③log/b"=；log“b（〃>0,且c#1,h>0,m^0,nER）.

3.對數運算的常用技巧

（1）在對數運算中，先利用塞的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數累的形式，使寤的底數最簡，

然后用對數運算法則化簡合并.

（2）先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數

的積、商、鼎再運算.

（3）指對互化:M=NQ〃=log“N（a>0,且/1）是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應

注意互化.

題型歸納

【題型3對數的運算性質的應用】

|【例3］（24-25高三上?湖南邵陽?期中）已知ab裝l,logazn=2,log》zn=5,則logab機=（）

A.-B.-C.-D.-

107107

【解題思路】應用對數運算律結合已知計算求解.

【解答過程】因為abHljogam=2,\oghm=5,則log^a=；,logmb=

則logmab=logma+logmb=?+：=《'

則1°gabm=\=m.

故選：D.

【變式3.1］（24-25高一上?上海期中）設。是不等于1的正數，M,N是任意給定的正數，。是任意給定

的實數，則下列性質中錯誤的是（）

A.logaa=1B,loga-=logaM-log?/V

c

C.logaM=clogaMD.loga（MN）=logaM?logaN

【解題思路】對于ABC：根據對數的定義和運算性質分析判斷即可：對于D：舉反例說明即可.

【解答過程】因為。是不等于1的正數，M,N是任意給定的正數，c是任意給定的實數，

對于選項A:10gaQ=l,故A正確；

對于選項B：loga^=logaM-loga/v,故B正確;

c

對于選項C：logaM=clogGM,故C正確；

對于詵項D：例如Q=M=N=2,

則loga(MN)=log24=2JogaM=logaN=log22=1,

此時loga（MN）HlogaM?logaN，故D錯誤；

故選：D.

【變式3.2］（24-25高一上.江蘇揚州?階段練習）若logzWi+log/=2,則十幾=（）

A.3B.4C.9D.16

【解題思路】根據對數的運算性質即可求解.

【解答過程】由log2m+log4n=2可得210g47M+log4n=2,

222

i^log47n+log4n=log4（7nn）=2,故爪2/=4=16,

故選：D.

【變式3.3]（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若a>0且a工1,b>0,c>0,九、meN+,n>1?給出下

27

列等式：①loga（/?2-。2）=2]ogab-21oga。；?（loga3）=21oga3;③logaVF^=；logaR?logaX=

Toga；其中成立的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】利用對數的運算性質判斷①②④即可.

【解答過程】因為Q>0且QHl,b>0,c>0,九、meN+,n>1,

對于①，2logad-21ogac=loga^,①錯；

2

對于②，（loga3）=loga3-loga3*21oga3,②錯;

對于③，loga=log,M=；loga匕，③對；

對于④，-loga]=Toga%T=loga%，④對.

故正確的個數為2.

故選：B.

【題型4運用換底公式化簡計算】

S［例4］（24-25高一上?甘肅武威?階段練習）已知lg2=a,lg3=b,則log3（）18=（

A.a+2bD?舒

匕一1B?第

【解題思路】根據對數的運算性質即可結合換底公式求解.

【解答過程】由題意，嗨。18=^=麝=鬻=鬻

故選：B.

【變式41］（24-25高一上?安徽?階段練習）已知。＞Q,b＞。且ab=1,若loga%=3,logdx=4,K01ogadx=

A.-12B.-7C.-7D.-12

【解題思路】先根據指數式對數式互化求出Qb,再根據換底公式轉化再根據l0gaQb=b求

lOg工

解即可.

【解答過程】由loga%二3/ogb%=4,得口3=%,/?4=%,即a=a,b=/，

所以ab=X3-X4=xiz,所以logab%=,1=->==

7

小附IOgxX12

故選:C.

【變式4.2](24-25高二下?天津河東?期末)若2芯=6,y=log，則x+2y的值是()

A.3B.log23C.8D.-3

【解題思路】根據給定條件，利尼指數式與對數式互化關系及對數換底公式及運算法則計算即得.

【解答過程】由2*=6,得x=Iog26,而y=log4：

所以％+2y=log26+Zlog4-=log26+—f=log26+log2-=log2B=3.

故選：A.

【變式4.3](24-25高一上?山東?階段練習)已知m>0,n>0,log〃(3m)+log?n=log怖(2/+九)，則

log2m-log4n的值為()

A.-1或0B.1C.-1D.1或0

【解題思路】由題設等式，利用對數運算性質化簡得47n2=〃或m2=小再利用對數的換底公式化簡所求，

分別代入求值即可得解.

rl2

【解答過程】因為log百(3m)+log3=log3(97n)+log3n

2222

=log3(9mn)/iog^3(27n+n)=log3(2m+n),

2

所以由log6(3zn)+log3n=log^(2m+n),

得9/九=(2m2+n)2,化簡得4血4—5m2n+n2=0,

即[4/—n)(m2—n)=0,解得4m2=n或病=兒

又log2nl-log4n=log4m2_]Og4n=log4—,

故當47九2=九時，log2m-log4n=log4j=-1；

當m2=川時，log27n-log4n=log2l=0；

綜上，Iog2m-log4九的值為一1或。.

故選：A.

【題型5指、對數方程的求解】

例5](24-25高一上?上海?隨堂練習)設方程(lgx)2-1g/-3=0的兩實根是。和b,則lcg°b+\oga

若b

等于()

A.1B.-2

C.一日D.-4

3

【解題思路】解方程得出lgQ=3,忸力=-1,再由換底公式計算即可.

【解答過程】方程(Igx)?—Igx?-3—0可化為(Igx)?—21gx—3=0,BP(Igx—3)(lgx+1)—0,

解得Igx=3或Igx=-1,不妨設]gQ=3,Igb=-1

loga6+logi)a=g+g=Y+^=-y.

故選：c.

【變式5.11(24-25高一上?北京大興?期末)方程log?/=1的解集為()

A.{1}B.{-1,1}

C.{V2}D.{-V2,V2}

【解題思路】先根據真數大于零解得xV0或%>0,再將1轉化為Iog22,即可解得x=±&,都使得方程

有意義，即可知正確選項.

【解答過程】由題意，x2>0,解得XV0或%>0,

2

filog2x=1,得log2%2=log22r則％2=2,解得％=±yf2,所以方程log2/=1的解集為{一遮，&}.

故選：D.

【變式5.2](24-25高三上?浙江?開學考試)方程1嗝%=log6X-log產的實數解有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【解題思路】由換底公式變形解對數方程即可.

【解答過程】logx=7^=77,7^=logx“ogg所以Inx=0或Inx=與要=2ln6=ln36,

3insinoin96ins

所以t=1或x=36,

所以方程log3%=log6x?log4的實數解有2個.

故選：C.

【變式5.31(24-25高一?山東棗莊?課后作業(yè))若方程(3A+(lg7+Ig5)lgx4-lg7-lg5=0的兩根為a、0,

則a/=()

A.Ig7-lg5B.Ig35C.35D.2

【解題思路】運用一元一次方程根的求法，結合對數性質可解

【解答過程】(lgx)2+(lg7+lg5)lgx4-lg7-lg5=0,分解因式得到(Igx+lg7)(lgx+lg5)=0,

Mlgx+Ig7=0,Igx+lg5=0,ffllgx=-lg7,igx=-Ig5.

解得x=期％=p所以a.￡=5.

故選：D.

【題型6帶附加條件的指、對數問題】

3X-2V

【例6】（24-25高一上?貴州?期中）己知5%=2,5y=3,則5k的值為（）

A.迎B.2C.&D.絲

34981

【解題思路】先利用對數與指數的互化求出”,y,再利用對數的運算法則求解即可.

【解答過程】因為5*=2,5y=3,所以x=log52,y=log53,

所以寧=31唯21唯3=喀8產9=11（）g51=臉竽

所以5歿%咨

故選：A.

【變式6.1]（24-25高一上?黑龍江?期中）若2"=3,y=log83則X+3y的值是（）

A.3B.log34C.2D.-2

【解題思路】根據指數與對數運算法則計算可得結果.

【解答過程】由2"=3,得％=log23,又y=log8g=]log2%

所以x+3y=log23+log2^=log24=2.

故選：C.

【變式6.2]（24-25高一上?上海?期中）（1）已知lg2=a,Ig3=b,試用a、b表示log215,

（2）已知34=6、=2,求的值.

xy

【解題思路】（1）利用換底公式卻對數的運算性質可得結果：

（2）由指數式和對數式的互化得出x=log32,y=log62,再利用換底公式結合對數的運算性質計算可得

結果.

【解答過程】1）叫…評蟹=安=一

(2)因為3*=6尸=2,則x=log32，y=log62,則工=log23,-=log26,

“y

■■213

所以，=210g23-log26=log29-log26=log2T=log23-1.

xy，

【變式6.3]（24-25高一上?山東淄博?期中）⑴若￡+;H=2或，求/+%-2的值;

（2）已知10。=2,100=3,用a,b表示logsl2.

【解題思路】（1）根據指數運算即可得到答案；

（2）根據對數運算性質和換底公式即可.

【解答過程】已知小+無q=2值將其兩邊平方得（小+工/）2=（2魚產

根據完全平方公式（疾+x-2）2=x+2x%2xx~2+%-1=%+2+x-1=8.

則x+x-1=8—2=6.再將％+x-1=6兩邊平方得（工+x-1）2=62=36.

-2

所以/+2+工-2=36,則/+X=36-2=34.

（2）因為log512=詈.

而Igl2=lg（3x22）=lg3+21g2,

已知10。=2,10）=3,所以lg3=b,lg2=Q,則lgl2=b+2a.

又Ig5=Igy=1-lg2=1-a.

所以logsl2=

【題型7運用換底公式證明恒等式】

【例7】（24-25高一上?陜西渭南?階段練習）已知：2、=3丫=12，01,求證：-+

SXyZ

【解題思路】將指數式化為對數式，再結合對數運算以及換底公式運算分析證明.

【解答過程】設2*=3、=12Z=ah1,顯然a>0,

則x=loga,y=log3a,z=log2,可得［=log2=log3,；=log12,

212xayaza

+=

所以:Z21oga2+10ga3=loga4+loga3=loga12=p

【變式7.1］（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）設》a=yb=zc,其中x,y,z均大于0,且都不為J=L

abc

求證：z=xy.

【解題思路】令Xa=yb=zC二k女>0且攵工1,即可表示出a、b、C,再由三+：='換底公式及對數

，abc

的運算性質計算可得.

【解答過程】依題意a、b.c均不為0,

令/=yb=z，=k,k>0且上學1,

貝h=log^k,b=\ogyk,c=\ogzk.

因為上+所以］i+.=.1.>

abclogxklogy/clog2/c

Bpiogkx+\ogky=logfcZ,

所以logkQry）=logkz,即z=xy.

【變式7.2］（24-25高一上?上海?班堂練習）⑴利用關系式log0N=b=a"=N證明換底公式：logaN=

lognN

（2）利用（1）中的換底公式求值:log225log34-logs9;

（3）利用（1）中的換底公式證明:logad-logdc-logca=1.

【解題思路】（I）由題設條件結合對數的運算證明即可；

（2）利用換底公式證明即可；

（3）利用換底公式證明即可.

【解答過程】解答：（1）證明:

設a=N,則logm。。=logmN,化為blogm。=logmJV,

又b=logaN,所以10gaN=￡^;

(2)解:晦25?晦4.log?=蕾?需?署=8；

（3）證明:

logad.loghc.logca=ggg=l.

所以log。％?logftc-logca=1.

【變式7.3］（24?25高一下?上海?課后作業(yè)）已知在△力8c中，ZC=90°,角A,B,C所對應的三條邊長分

別為〃，h,c.求證：log（“c）Q+log（c-b）Q=21og（b+c）a?log（c-b）a?

【解題思路】利用直角三角形的勾股定理、對數的運算性質以及對數的運算法則可以證明等式成立.

【解答過程】證明：在△ABC中，因為乙。=90°,所以。2一川=。2,

因為log(b+c)a+log(c-b)a

-log(i)a+loga=10ga(C—)+10ga(C+b)

—log(b+c)a/og(c-b)a(c+d)

222

=logaKc-b)(c4-b)]=loga(c-b)=logaa=2,

所以log(b+c)a+嘀?)。=210g沙+c)a?log(c_d)a.

模塊三飛對數的實際應用

啕知識梳理

1.對數的實際應用

在實際生活中，經常會遇到一些指數或對■數運算的問題.求解對數的實際應用題時，一是要合理建立數

學模型，尋找量與量之間的關系；二是要充分利用對數的性質以及式子兩邊取對數的方法求解.

對數運算在實際生產和科學研究中應用廣泛，其應用問題大致可以分為兩類：

（1）建立對數式，在此基礎上進行一些實際求值，計算時要注意指數式與對數式的互化；

（2）建立指數函數型應用模型，再進行指數求值，此時往往將等式兩邊同時取對數進行計算.

題型歸納

【題型8對數的實際應用】

【例8】（24-25高一上?貴州六盤水?期末）星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古

希措天文學家喜帕恰斯在公元前二世紀首先提出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天

體的星等值叫，g和它們對應的亮度當，％滿足關系式g-F=-2.51g叁則（）

A.2等星的亮度是7等星亮度的100倍

B.7等星的亮度是2等星亮度的100倍

C.2等星的亮度是7等星痙度的10倍

D.7等星的亮度是2等星亮度的10倍

【解題思路】設2等星的亮度是x,7等星亮度是戶由題中所給信息結合對數運算性質可得答案.

【解答過程】設2等星的亮度是X,7等星亮度是6則7-2二-乙5館：=吆?=-2=?=+，即2等星

的亮度是7等星亮度的100倍.

故選：A.

【變式8.1]（24?25高一上?湖南?階段練習）8月15日是全國生態(tài)日,2024年全國生態(tài)日的主題是加快經

濟社會發(fā)展全面綠色轉型.2005年8月15日，習近平同志在浙江安吉首次提出“綠水青山就是金山銀山”，

這一科學論斷是習近平生態(tài)文明思想的核心理念，已經成為全黨全社會的共識，在祖國大地上生根、開花.

黨的十八大以來，我國經濟發(fā)展與生態(tài)環(huán)境保護更加協(xié)調，綠色發(fā)展空間進一步拓展.在生態(tài)環(huán)境質量明顯

好轉的同時.，經濟總量從2012年53.9萬億元升至2023年126萬億元，則我國經濟總量從2012年至2023

年的年平均增長率約為（）（參考數據,電2.338?0.369,lg2.489?0.396,1O0034?1.081,1O0036?1.086）

A.6%B.7%C.8%D.9%

【解題思路】設年平均增長率為r，列式運算得解.

【解答過程】設我國經濟總量從2012年至2023年的年平均增長率為廠，

則由題意53.9（1+r）u=126,

即（1+丁產=2.338,即lg（l+r）=管詈=0.034,

...「?io0034-1?0.08.

故選：C.

【變式8.2]（24-25高一上?云南昆明?階段練習）聲強是表示聲波強度的物理量，由于聲強變化范圍非常大，

數量級相差很多，因此通過聲強級L來表示聲強強度大小，規(guī)定聲強級L=10】g；（單位：分貝），其中為

標準聲強.若聲強。是聲強，2的150倍，則聲強A的聲強級比聲強/2的聲強級大多少分貝（）（結果四舍

五入保留整數）（Ig3?0.48,lg5?0.7）

A.14B.21C.22D.23

【解題思路】求出聲強對應的聲強級，再結合對數性質和公式運算即可.

【解答過程】設聲強A的聲強級為〃，聲強％的聲強級為G，

則4-L2=lOlgg-101g勺=101g?,由題知?=150,

<010l2l2

則A-L2-101gl50=10（1+lgl5）-10（1+lg3+lg5）?104-10x1.18?22,

故選：C.

【變式8.3]（24-25高一上?上海金山?期中）“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬,易放難收”（明?《增

廣賢文》）是勉勵人們專心學習的.假設初始值為1,如果每天的“進步率”都是1%,那么一年后是

（1+I%）365=1.01365；如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是（1-1%765=0.99365.一年后，，進步

者”是“退步者”的儡=端#65?1481倍.照此計算，大約經過（）天，“進步者”是“退步鏟的2倍（眨

近似取魚計算）.

A.33B.35C.37D.39

【解題思路】列出方程^^）n=2,并根據已知數據求解即可.

【解答過程】設經過n天后“進步者”是“退步者”的2倍，則（懸=2.

故n」og2潴=1,根據已知條件有365“og2黑"log21481=10+log2翳"10.5,

所以71k空34.76右35（天）.

10.5

故選：B.

課后作業(yè)（19題）

一、單選題

I.（24-25高一上?江蘇南通?階段練習）計算22+1喻5=（）

A.7B.9C.10D.20

【解題思路】利用指數運算及對數的定義計算得解.

【解答過程】22+,°825=22-210g25=4x5=20.

故選：D.

2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若代數式log8（7-2X-3）有意義，則實數%的取值范闈為（）

A.（—co,—1）B.（—1,3）

C.(3,4-00)D.(-co,-1)U(3,4-co)

【解題思路】由對數的真數大于。列式即可求.

【解答過程】由題可得好一2%-3>0,解得“<一1或%>3,

故實數X的取值范圍為（—8,-1）u（3,+oo）.

故選：D.

3.（24-25高一上?安徽蚌埠?階段練習）若小=2（a>0,a#1）,則有（）

A.loga2=bB.log2a=b

C.2a=bD.2b=a

【解題思路】利用指數式與對數式的互化直接判斷即可.

【解答過程】當Q>0,Q*1時，由心=2及對數定義得loga2=b.

故選：A.

4.（24-25高一上?山東荷澤?階段練習）已知a=lg3,b=lg5,則用a,b表示lg75為（）

A.a+2bB.2abC.SabD.3b—a

【解題思路】根據對數的運算律，可得答案.

【解答過程】因為a=lg3,b=lg5,所以Ig75=lg（3x52）=lg3+21g5=a+2b.

故選:A.

,O4

5.（24-25高一上?廣東佛山?階段練習）計算:Iog23-Iog34+3^=（）

A.2B.4C.5D.6

【解題思路】由對數的運算公式及換底公式，計算即可.

【解答過程】log23-log34+3即=iog23.陰+4=2+4=6.

故選：D.

6.（24-25高一上?江蘇南京?階段練習）若a=log35,5b=6,則帥一log?2=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【解題思路】指數式化為對數式，利用對數運算法則和換底公式進行求解.

【解答過程】由5b=6nb=Iogs6,

故叱-log32=log35-log56-log32=log35?鬻-log32=log36-log32

=log3\=1唯3=1.

故選：A.

7.（24-25高一上?江蘇南通?期末）2021年10月16日0時23分，長征二號F遙十三運載火箭在酒泉衛(wèi)星

發(fā)射中心點火升空，582秒后，神舟十三號載人飛船進入預定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名

航天員送入太空.在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火蓊的最大飛行速度V滿足公式：v=

wln（l+3）,其中M為火箭推進劑質量，m為去除推進劑后的火箭有效載荷質量，w為火箭發(fā)動機噴流相

對火箭的速度.當M=3nl時，v=5.544千米/秒.在保持w不變的情況下，若m=20噸，假設要使v達到

8千米/秒，則M大約為（）結果精確到1,參考數據：e2?7.389,ln2?0.693）

A.98噸B.108噸C.118噸D.128噸

【解題思路】根據所給條件先求出w,再由u=8千米/秒列方程求解即可.

【解答過程】因為當時，u-5.544,

￡5445.544

所以w=

In421n2

由y…(1+3)=舒n(1+劫=8,

得In(1+葬)=2,

所以l+5、e2?7.389,

解得M=127.78工128（噸），

即M至少約為128噸.

故選：D.

8.（24-25高二上?天津?期中）已知%>0,y>0,電鏟+lg2y=lg8,則七+：的最小值是（）

A.3B.-C.-D.9

415

【解題思路】先運用對數的運算性質化簡已知式為2%+y=3,結合所求式的結構，將其化成（2x+l）+y=

4,利用常值代換法將所求式湊成積為定值，借助于基本不等式求解即得.

【解答過程】由他4"+1g2y=lg8可得：lg22?y=lg23,

即2無+y=3,則（2x+1）+y=4

則3+1=7（717+-）[（2x+1）+訓

2x+ly4v2x+ly八''八

=l[5+_Z_+l（^±l）]>￡+lx2

4L2x+lyJ44y/2x+ly4

當且僅當士=雪2時，等號成立.

2x+ly

ry=4（2X4-1）（x=-

由2x+l-y解得：）I

1（2%+l）+y=4[y=-

即當x=：,y=;時，三+±的最小值是《

o3zx+iy4

故選：B.

二、多選題

9.（24-25高一上?四川南充?階段練習）下列指數式與對數式互化正確的一組是（）

A.e。=1與Ini=0B.8-3=：與logj=一：

C.log39=2與95=3D.log77=1與=7

【解題思路】利用指數式與對數式互化關系，逐項確定得答案.

【解答過程】對于A,由0。=1,得lnl=0,A正確：

對于B,由8飛=§,Wlog81=B正確；

對于C,由log39=2,得32=9,C錯誤：

對于D,由log77=l,得7】=7,D正確；

故選：ABD.

10.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）下列命題正確的是（）

A.若loga工=3,則x=2媚

B.若叫乂2=一.則%=64

163

C.若%I*則％=4

4

2

D.若loga2b=1,則Q=b

【解題思路】對于ABC：根據對數的定義結合指數尋運算求解；對于D：舉反例即可.

【解答過程】對于選項A；若log岳c=3,所有X=（四『=2日，故A正確；

對于選項B：若logx2=—；，貝次一彳=白=2-3

16316

所以%=（2-4）4=26=64,故B正確；

對于選項C：因為log3；=-2,即”g3：=%-2=/=%

可得/=*即％=±2,故C錯誤；

2

對于選項D：例如Q=2,匕=一2,則Q2=〃=4,可得loga2b=1,

符合題意，但a=-6,故D錯誤：

故選：AB.

11.（24-25高一上?河北保定?階段練習）若實數％>0,y>0,a>0,且mH0,n/0,則下列

各式中，恒成立的是（）

x+yxy

A.a=a+aB.Ioga，=logaA--logay

n

C.10gamX=^logaXD.Igxn=

【解題思路】根據指數箱的運算判斷A；根據對數的運算性質判斷BCD.

【解答過程】對于A,謨+^二口巴0匕故A錯誤；

對于B,log。：=log。％-lOga'，故B正確；

對于C,lOgam”='[ogM，故C錯誤；

對于D.lg./=它.故D正確.

故選：BD.

三、填空題

12.（24-25高一上?江蘇無錫?階段練習）已知2a=3,log5=b,則8a々匕=」左_.

4TZ5

【解題思路】利用指數式與對數式的互化關系，結合指數運算計算得解.

【解答過程】由Iog45=8,得針=5,而2a=3,

所以泮-2b="=1^21二（2。）3:33:27

-

以8-82b-Q2b）3-（4”3-53125,

故答案為：M

13.（24-25高一上?安徽亳州?期末）計算lg2-lgi+31g5-log32-log49+2臉4=6.

【解題思路】根據對數的運算法則即可計算.

（解答過程】原式=】g2+lg4+3lg5-log32--^―+4=31g2+31g5-1+4=3—1+4=6,

,°g32

故答案為：6.

14.（24-25高一上?河北保定?階段練習）一段時間內，某養(yǎng)兔基地的兔子快速繁殖，兔子總只數的倍增期

為21個月（假設沒有捕殺與其他損耗）、那么一萬只兔子增長到一億只兔子大約需要工—年Ug2x0.3）

12X

【解題思路】設經過％年后的一萬只兔子有y只，依題可得y=IO-2后，令y=108,求解即可.

【解答過程】設經過為年后的一萬只兔子有y只，

根據倍增期為21個月，可得y=IO4.2登，

令y=l（）8,則2亍=103則?=logzlO,=白,

7Ig2

則.1=白“白。23,故大約需要23年，

lg20.3

故答案為：23.

四、解答題

15.(24-25高一上?全國?課堂例題)將下列指數式與對數式互化:

(l)log216=4；

(2)logi27=-3：

3

(3)logs100x4.606；

(4)43=64；

(5)3-2=

(6)107=o.OOl.

【解題思路】運用指數對數互化規(guī)則“底不變，其他換“，可轉化.

【解答過程】(I)log216=4,運用指數對數互化規(guī)則“底不變,其他換”,可轉化為24=16.

(2)logi27=-3,運用指數對數互化規(guī)則“底不變，其他換“，可轉化為@)7=27.

(3)log5100