2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——凸優(yōu)化與約束優(yōu)化的理論分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后括號(hào)內(nèi)，每題3分，共15分）1.下列集合中，不是凸集的是？(A)平面上的橢圓內(nèi)部(B)平面上的圓的外部(C)n維空間中不等式$x_1+x_2\leq1$所定義的集合(D)平面上的拋物線$y=x^2$所圍成的區(qū)域2.函數(shù)$f(x)=x_1^2+2x_2^2+3x_1x_2+4$是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)？(A)$x_1,x_2\geq0$(B)$x_1,x_2\in\mathbb{R}$(C)系數(shù)矩陣$\begin{bmatrix}1&1.5\\1.5&2\end{bmatrix}$半正定(D)系數(shù)矩陣$\begin{bmatrix}1&1.5\\1.5&2\end{bmatrix}$正定3.對(duì)于凸優(yōu)化問題$\minf(x)$，若$x^*$是任意可行點(diǎn)，則$f(x^*)$是該問題的？(A)局部最優(yōu)解(B)最優(yōu)值(C)目標(biāo)函數(shù)在$x^*$處的值(D)KKT點(diǎn)4.設(shè)$X$是一個(gè)非空凸集，$x^*,x\inX$，$\lambda\in[0,1]$，則$\lambdax^*+(1-\lambda)x\in$？(A)$X$(B)$\partialX$（$X$的邊界）(C)$\mathbb{R}^n$(D)以上都不對(duì)5.函數(shù)$f(x)=-x_1^2+x_2^2$是？(A)凸函數(shù)(B)凹函數(shù)(C)嚴(yán)格凸函數(shù)(D)嚴(yán)格凹函數(shù)二、填空題（請(qǐng)將答案填在題后橫線上，每空3分，共15分）1.若函數(shù)$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$在點(diǎn)$x^*\in\mathbb{R}^n$處二階可微，且$\nablaf(x^*)=0$，$\nabla^2f(x^*)$半正定，則$x^*$是$f(x)$的______解。2.函數(shù)$f(x)=|x|$在$\mathbb{R}$上是______函數(shù)，但在任何開區(qū)間內(nèi)不是______函數(shù)。3.設(shè)$X=\{x\in\mathbb{R}^n:Ax\leqb\}$，其中$A$是$m\timesn$矩陣，$b\in\mathbb{R}^m$，則$X$是一個(gè)______集。4.對(duì)于一個(gè)凸優(yōu)化問題，如果存在一個(gè)點(diǎn)滿足所有約束的梯度與負(fù)梯度方向向量點(diǎn)積非負(fù)，則該點(diǎn)一定不是______解。5.若$f(x)$是嚴(yán)格凸函數(shù)，則$\min_{x\inX}f(x)$在$X$上至多有一個(gè)______解。三、計(jì)算題與證明題1.(10分)證明函數(shù)$f(x)=x_1^2+4x_2^2+2x_1x_2$是凸函數(shù)。2.(10分)考慮約束優(yōu)化問題：$\minf(x)=x_1^2+x_2^2$s.t.$g(x)=x_1+x_2-1\leq0$$h(x)=x_1-x_2=0$(a)寫出該問題的KKT條件。(b)求解該問題的KKT點(diǎn)。3.(10分)證明凸優(yōu)化問題的對(duì)偶定理：若凸優(yōu)化問題$\min_{x\inX}f(x)$s.t.$C(x)\leq0$具有有限最優(yōu)值，且$f(x)$和$C(x)$都是凸函數(shù)，則其拉格朗日對(duì)偶問題$\max_{\lambda\geq0}p(\lambda)=\inf_{x\inX}[f(x)+\lambda^TC(x)]$也具有有限最優(yōu)值，且對(duì)偶最優(yōu)值等于原始問題的最優(yōu)值。4.(10分)對(duì)于無約束優(yōu)化問題$\minf(x)=x^2$，分別用梯度下降法和牛頓法進(jìn)行迭代求解（設(shè)初始點(diǎn)為$x^{(0)}=2$），寫出前兩次迭代的計(jì)算結(jié)果（即$x^{(1)}$和$x^{(2)}$）。5.(15分)設(shè)$X=\{x\in\mathbb{R}^2:x_1^2+x_2^2\leq1\}$，證明$X$是一個(gè)凸集。再設(shè)$f(x)=x_1x_2$，證明$f(x)$在$X$上不是凸函數(shù)。試卷答案一、選擇題1.(D)2.(D)3.(C)4.(A)5.(B)二、填空題1.局部最優(yōu)2.凸，凹3.凸4.局部最優(yōu)5.最優(yōu)三、計(jì)算題與證明題1.證明：函數(shù)$f(x)=x_1^2+4x_2^2+2x_1x_2$的海森矩陣為：$\nabla^2f(x)=\begin{bmatrix}2&2\\2&8\end{bmatrix}$需要證明$\nabla^2f(x)$半正定。計(jì)算其主子式：$\Delta_1=2>0$$\Delta_2=\det\begin{bmatrix}2&2\\2&8\end{bmatrix}=16-4=12>0$由于所有主子式均為正，$\nabla^2f(x)$正定，因此$f(x)$是嚴(yán)格凸函數(shù)，也是凸函數(shù)。2.(a)KKT條件：目標(biāo)函數(shù)梯度：$\nablaf(x)=\begin{bmatrix}2x_1+2x_2\\2x_2+4x_1\end{bmatrix}$約束$g(x)$梯度：$\nablag(x)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$約束$h(x)$梯度：$\nablah(x)=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$KKT條件為：(i)可行性：$g(x^*)\leq0$,$h(x^*)=0$(ii)多元格拉姆-施密特條件：$\nablaf(x^*)+\lambda\nablag(x^*)+\mu\nablah(x^*)=0$(iii)對(duì)偶變量非負(fù)：$\lambda\geq0$將具體梯度代入，得到：$\begin{bmatrix}2x_1^{*}+2x_2^{*}\\2x_2^{*}+4x_1^{*}\end{bmatrix}+\lambda\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+\mu\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$即：$\begin{cases}2x_1^{*}+2x_2^{*}+\lambda+\mu=0\\2x_2^{*}+4x_1^{*}+\lambda-\mu=0\end{cases}$(iv)約束有效：$\lambdag(x^*)=0$3.證明：原始問題：$\min_{x\inX}f(x)$，s.t.$C(x)\leq0$。對(duì)偶問題：$\max_{\lambda\geq0}p(\lambda)=\inf_{x\inX}[f(x)+\lambda^TC(x)]$。設(shè)$x^*$是原始問題的最優(yōu)解，$x^*\inX$。設(shè)$\lambda^*$是對(duì)偶問題的最優(yōu)解，$\lambda^*\geq0$。由對(duì)偶性問題定義，$p(\lambda^*)=\inf_{x\inX}[f(x)+\lambda^*^TC(x)]\leqf(x^*)$。由原始問題定義，$f(x^*)\geqp(\lambda^*)$。因此，$f(x^*)\geqp(\lambda^*)$且$f(x^*)\leqp(\lambda^*)$，所以$f(x^*)=p(\lambda^*)$。這表明原始問題的最優(yōu)值等于對(duì)偶問題的最優(yōu)值。4.梯度下降法：$f(x)=x^2$,$\nablaf(x)=2x$。初始點(diǎn)$x^{(0)}=2$。迭代公式：$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha\nablaf(x^{(k)})$。選擇學(xué)習(xí)率$\alpha=0.5$。$x^{(1)}=x^{(0)}-0.5\cdot2\cdot2=2-2=0$。$x^{(2)}=x^{(1)}-0.5\cdot2\cdot0=0-0=0$。前兩次迭代結(jié)果：$x^{(1)}=0$,$x^{(2)}=0$。牛頓法：$f(x)=x^2$,$\nablaf(x)=2x$,$\nabla^2f(x)=2$。初始點(diǎn)$x^{(0)}=2$。迭代公式：$x^{(k+1)}=x^{(k)}-[\nabla^2f(x^{(k)})]^{-1}\nablaf(x^{(k)})$。$[\nabla^2f(x)]^{-1}=\frac{1}{2}$。$x^{(1)}=x^{(0)}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2-2=0$。$x^{(2)}=x^{(1)}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot0=0-0=0$。前兩次迭代結(jié)果：$x^{(1)}=0$,$x^{(2)}=0$。5.證明$X$是凸集：任取$x^1,x^2\inX$，則$x^1_1^2+x^1_2^2\leq1$且$x^2_1^2+x^2_2^2\leq1$。對(duì)任意$\lambda\in[0,1]$，令$x=\lambdax^1+(1-\lambda)x^2$。$x_1=\lambdax^1_1+(1-\lambda)x^2_1$,$x_2=\lambdax^1_2+(1-\lambda)x^2_2$。$x_1^2+x_2^2=[\lambdax^1_1+(1-\lambda)x^2_1]^2+[\lambdax^1_2+(1-\lambda)x^2_2]^2$$=\lambda^2(x^1_1^2+x^1_2^2)+(1-\lambda)^2(x^2_1^2+x^2_2^2)+2\lambda(1-\lambda)(x^1_1x^2_1+x^1_2x^2_2)$$\leq\lambda^2\cdot1+(1-\lambda)^2\cdot1+2\lambda(1-\lambda)\cdot1$（由Cauchy-Schwarz不等式）$=\lambda^2+(1-\lambda)^2+2\lambda(1-\lambda)=(\lambda+(1-\lambda))^2=1$。因此，$x_1^2+x_2^2\leq1$，即$x\inX$。所以$X$是凸集。證明$f(x)=x_1x_2$不是凸函數(shù)：方法一：檢查海森矩陣是否半正定。$f(x)$的海森矩陣為：$\nabla^2f(x)=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$計(jì)算主子式：$\Delta_1=0$$\Delta_2=\det\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=-1<0$由于存在負(fù)主子式，$\nabla^2f(x)$不是半正定矩陣，因此$f(x)$不是凸函數(shù)。方法二：尋找反例。取$x^1=(1,0)^T$,$x