第二章方程(組)與不等式(組)第三節(jié)一元二次方程及其應(yīng)用節(jié)前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖一元二次方程及其應(yīng)用一元二次方程的概念及一般形式概念一般形式一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根的判別式一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的解法直接開平方法因式分解法公式法配方法一元二次方程的實際應(yīng)用變化率問題面積問題每每問題循環(huán)賽問題教材知識逐點過考點1一元二次方程的概念及一般形式 概念只含有

未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

?的整式方程一般形式ax2＋bx＋c＝0，(其中a≠0，ax2為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項)一個2考點2一元二次方程的解法(6年2考) 解法適用情況或步驟直接開平方法1.當(dāng)方程缺少一次項時，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；2.形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程因式分解法1.常數(shù)項為0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；2.一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積公式法適用于：所有一元二次方程，求根公式為

(b2－4ac≥0).注：使用公式法求解前，需先用判別式判斷根的情況

配方

法適用于：1.二次項系數(shù)化為1后，一次項系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程；2.各項的系數(shù)比較小且便于配方.步驟：以2x2－8x＋4＝0為例.1.變形：將二次項系數(shù)化為1，得x2－4x＋2＝0；2.移項：將常數(shù)項移到方程的右邊，得x2－4x＝－2；3.配方：方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得x2－4x＋4＝－2＋

4，即(x－2)2＝2；4.求解：用直接開平方法求解，得x1＝2＋

，x2＝2－

【易錯警示】對于等號兩邊含有相同因式的一元二次方程，如：2x(x－3)＝3(x－3)，

約去公因式求解會導(dǎo)致丟根，應(yīng)將其化為等號一邊為0的形式進(jìn)行求解.考點3一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系(2025年新增考查)1.

一元二次方程根的判別式(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式為b2－4ac；(2)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：①b2－4ac＞0?方程有

?

的實數(shù)根；②b2－4ac

0?方程有兩個相等的實數(shù)根；③b2－4ac＜0?方程

實數(shù)根.【易錯警示】若所給方程的二次項系數(shù)含有字母，求字母的取值范圍時，應(yīng)記住一元

二次方程二次項系數(shù)不為0這一條件.兩個不相等＝?jīng)]有

考點4一元二次方程的實際應(yīng)用 變化率問題設(shè)a為原來的量，平均增長率為m％，增長次數(shù)為2，則增長后的量為a(1＋m％)2；平均下降率為m％，下降次數(shù)為2，則下降后的量為a(1－m％)2面積問題1.如圖①，設(shè)陰影部分的寬為x，則S空白＝

?；2.如圖②，設(shè)陰影部分的寬為x，則S空白＝

?；3.如圖③，設(shè)陰影部分的寬為x，則S空白＝

?

(a－2x)(b－2x)(a－x)(b－x)(a－x)(b－x)每每問題每每問題中，單價每漲a元，少賣b件.若漲價y元，則少賣的數(shù)量為

·b件循環(huán)賽問題1.單循環(huán)淘汰賽問題：設(shè)x隊進(jìn)行m場比賽，則

＝m；2.互贈照片問題：全班x人，每人向其他人贈送一張，共贈送m張，則

x(x－1)＝m基礎(chǔ)題對點練1.

[北師九上習(xí)題改編]若關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一個根是

2，則a的值為(

D

)A.

2B.

3C.

4D.

5D2.

[北師九上習(xí)題改編]用配方法把方程x2－4x＋m＝0化為(x＋n)2＝1的

形式，其中m＋n＝(

A

)A.

1B.

2C.3D.

4A3.

[人教九上習(xí)題改編]請用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)4x2－9＝0；答題規(guī)范得分要點等號兩邊直接開平方，注意正數(shù)的平方根有2個當(dāng)方程有兩個解時要分開寫

(2)2x2＋x－3＝0；解：2x2＋x－3＝0，b2－4ac＝12－4×2×(－3)＝25＞0，代入求根公式，得

(3)x2＋4x＋2＝0；

(4)x(x－2)＝4(2－x).解：x(x－2)＝4(2－x)x(x－2)－4(2－x)＝0(x＋4)(x－2)＝0解得x1＝－4，x2＝2.4.

[人教九上習(xí)題改編]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(k－1)x－4＝0(k＜1)，則該方程根的情況正確的是(

A

)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無法判斷D.沒有實數(shù)根A5.

[冀教九上例題改編]已知關(guān)于x的一元二次方程mx2＋2x－1＝0.(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為

?；(2)若方程有實數(shù)根，則m的取值范圍為

?.－1

m≥－1且m≠0

6.

[人教九上習(xí)題改編]已知方程x2＋x－2＝0的兩根分別為x1，x2，則：(1)x1＋x2＝

?；(2)x1x2＝

?；

－1

－2

5

7.

[人教九上習(xí)題改編]某市政府2024年投入3億元資金用于基礎(chǔ)設(shè)施建

設(shè)，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2026年將投入8億元資金.設(shè)2024年至

2026年的投入資金的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為

?

?.3(1＋x)2＝8

8.

[人教九上習(xí)題改編]如圖，在長為50

m，寬為38

m的矩形地面內(nèi)的四

周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1

260

m2，設(shè)

道路的寬為x

m，則可列方程為

?.(50－2x)(38－2x)＝1

260

9.

[冀教九上一起探究改編]某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參

賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩班之間都賽一場)，共需安排15場比賽，設(shè)八

年級班級的個數(shù)為x，則可列方程為

?.

河北中考真題精選解一元二次方程(6年2考)命題點11.

(2024河北9題)淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的

答案比正確答案小1，則a＝(

C

)A.

1B.

－1C.

＋1D.

1或

＋1C2.

(2025邯鄲模擬)淇淇在計算兩個正數(shù)和時，誤計算成這兩個數(shù)的積，結(jié)

果正確答案由8變成了15，則這兩個正數(shù)中，較大的正數(shù)是

?.5

3.解方程：(1)x2＋x＝4x；解：x2＋x＝4x，x2－3x＝0，x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，解得x1＝0，x2＝3；(2)x2－4x－5＝0；解：x2－4x－5＝0，(x＋1)(x－5)＝0，∴x＋1＝0或x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5(3)x2－3x－3＝0.

一元二次方程根的判別式命題點24.

(2019河北15題)小剛在解關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)時，只抄

對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝－1，他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比

原方程的c值小2.則原方程的根的情況是(

A

)A.不存在實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有一個根是x＝－1D.有兩個相等的實數(shù)根A變式4.1

(2025邢臺模擬)小明在解關(guān)于x的一元二次方程2mx2－nx＋2＝

0(m≠0)時，把一次項的符號抄成“＋”，得到其中一個根是x＝－2，則

方程2mx2－nx＋2＝0(m≠0)根的情況是(

C

)A.無實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有兩個實數(shù)根D.有一個根是x＝－2C5.

探討關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2＋bx－1＝0(a≠－1)總有實數(shù)

根的條件，三名同學(xué)給出的條件：甲：a＝b；乙：ab＜0；丙：a＝－b.則下列說法正確的是(

B

)A.只有甲正確B.只有乙不正確C.甲、乙、丙都不正確D.甲、乙、丙都正確B一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(2025年新增考查)命題點36.

(2025河北6題)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的兩根之和與兩根之積分

別為m，n，則點(m，n)在平面直角坐標(biāo)系中位于(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C變式6.1