第七章證明1為什么要證明課標(biāo)要求：知道證明的意義和證明的必要性，知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯；了解推論的意義.1.課內(nèi)積累/夯實(shí)某礎(chǔ)/知識(shí)點(diǎn)一：認(rèn)識(shí)證明的必要性1.下列關(guān)于判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的敘述正確的是 ()A.只需觀察得出 B.只需依靠經(jīng)驗(yàn)獲得C.通過(guò)親自實(shí)驗(yàn)得出D.必須進(jìn)行有根據(jù)地推理2.觀察圖中的線段a，b，猜測(cè)哪條線段更長(zhǎng)?再用刻度尺度量一下，驗(yàn)證你的觀察結(jié)果.【變式】2.1(1)比較圖中線段BE，EF，CE的長(zhǎng)度，先猜一猜，再用刻度尺量一量，驗(yàn)證你的猜想；(2)觀察圖中∠EBC，∠EFB，∠ECB，先比較它們度數(shù)的大小，再用量角器量一量，驗(yàn)證你的比較結(jié)果是否正確.知識(shí)點(diǎn)二：推理論證3.甲、乙、丙三人下棋，輪流對(duì)戰(zhàn)，贏一局得2分，平一局各得1分，輸一局得0分，一共進(jìn)行3局比賽后，甲得3分，乙得2分，丙得1分，正確的對(duì)戰(zhàn)情況是 ()A.甲勝乙，甲勝丙，乙勝丙 B.甲勝乙，甲平丙，乙勝丙C.甲勝乙，甲平丙，乙平丙 D.甲勝乙，甲勝丙，乙平丙4.一只皮箱的密碼是一個(gè)三位數(shù).小光說(shuō)：“它是843”；小明說(shuō)：“它是247”；小亮說(shuō)：“它是103”.已知每人都只猜對(duì)了一個(gè)數(shù)字，且每人猜對(duì)的數(shù)字的位置不同.這只皮箱的密碼是.2.課后提升/靈活運(yùn)用/5.在學(xué)習(xí)中，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，n2?6n6.車間里有五臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障，已知修復(fù)第一臺(tái)至第五臺(tái)車床需要的時(shí)間如下表：車床代號(hào)ABCDE修復(fù)時(shí)間/min15729610已知每臺(tái)車床停產(chǎn)1min造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).(1)若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺(tái)機(jī)床，則下列三個(gè)修復(fù)車床的順序：①D→B→E→A→C;②D→A→C→E→B;③C→A→E→B→D.其中經(jīng)濟(jì)損失最少的是;(填序號(hào))Y (2)若由兩名修理工同時(shí)修復(fù)車床，且每臺(tái)機(jī)床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為元.2認(rèn)識(shí)證明第1課時(shí)|定義與命題課標(biāo)要求：通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題的意義；結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。1.課內(nèi)積累知識(shí)點(diǎn)一：定義與命題的概念1.下列語(yǔ)言敘述是命題的是 ()A.畫(huà)兩條相等的線段 B.等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等嗎C.延長(zhǎng)線段AO到點(diǎn)C,使OC=OA D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等2.1教材變式1下列語(yǔ)句：①直角都相等；②作已知角的平分線；③兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)間的距離；④兩點(diǎn)之間線段最短。其中屬于定義的是.(填序號(hào))知識(shí)點(diǎn)二：命題的結(jié)構(gòu)3.將命題“同角的余角相等”改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式是：如果，那么.知識(shí)點(diǎn)三：命題的分類4.下列命題是真命題的是 ()A.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等B.相等的角是對(duì)頂角C.有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行5.對(duì)于命題“若|x|>|y|，則x>y”，下列四組關(guān)于x，y的值中，能說(shuō)明它是假命題的是()A.x=-4,y=-1 B.x=5,y=-2 C.x=1,y=0 D.x=-3,y=-46.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由。(1)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(2)有公共頂點(diǎn)且角度相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角。2.課后提升/靈活運(yùn)用/7.下列命題：①對(duì)頂角相等；②過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等。其中是假命題的是 ()A.①② B.②C.③ D.②③8.舉反例說(shuō)明命題“若x<1，則x<0”是假命題時(shí)，可舉的反例是：x=(寫(xiě)出一個(gè)即可)9.請(qǐng)將下列命題改寫(xiě)成“如果······那么······”的形式：(1)等角的補(bǔ)角相等；(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。第2課時(shí)|定理與證明課標(biāo)要求：通過(guò)具體實(shí)例，了解定理的意義；知道可以用不同的形式表述證明的過(guò)程，會(huì)用綜合法的證明格式.1.課內(nèi)積累/夯實(shí)基礎(chǔ)/知識(shí)點(diǎn)一：公理、定理與證明(4題)1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.所有命題都是定理 B.定理是真命題C.公理可作為證明其他定理的依據(jù) D.演繹推理的過(guò)程稱為證明2.下列不是公理的是 ()A.兩點(diǎn)確定一條直線B.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等D.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等3.“同位角相等，兩直線平行”是 ()A.公理 B.定理 C.定義 D.待證的命題4.經(jīng)過(guò)推理論證，得到的，叫作定理.知識(shí)點(diǎn)二：利用定義、公理、定理進(jìn)行證明(4題)5.“∵∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,∴∠B=∠C”這一推理的依據(jù)是.6.當(dāng)a,b,c,d均不為0時(shí),若ab=cd,∵a,b,c,d均不為0,∴設(shè)式子a∴a=bk,c=dk.②∴∴問(wèn)題：從①變形到②的依據(jù)是：.7.根據(jù)題意，把下列推理的依據(jù)寫(xiě)出來(lái)，并指出是公理還是定理.(1)如圖,若∠1=∠2,則a∥b;(2)在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',∠A=∠A',∠C=∠C',則△ABC≌△A'B'C';(3)如果a=b,b=c,那么a=c.8.完成下面的證明.已知:如圖,直線a,b,c被直線l所截,∠1+∠2=180°,∠1=∠3.求證:b∥c、證明:∵∠1+∠2=180°,∴a∥().∵∠1=∠3,∴().∴b∥c.2.課后提升靈活運(yùn)用9.下列命題：①一個(gè)能被2整除的數(shù)也必能被4整除；②相等的角是對(duì)頂角；③25與x的平均值是3；④三角形內(nèi)角和為180°.可以作為定理的有個(gè).10.下列各項(xiàng)：①公理；②已學(xué)定理；③定義；④等量代換；⑤數(shù)與式的運(yùn)算律；⑥度量結(jié)果；⑦已知條件；⑧正確的觀察結(jié)果；⑨猜測(cè)結(jié)果.其中可以作為推理依據(jù)的有個(gè).11.如圖,點(diǎn)B,E分別在直線AC,DF上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,求證:∠A=∠F.請(qǐng)完成下面的證明過(guò)程.證明:∵∠AGB=∠EHF(),∠AGB=(對(duì)頂角相等),∴∠EHF=∠DGF.∴DB∥EC().∴∠=∠DBA(兩直線平行,同位角相等).又∠C=∠D,∴∠DBA=∠D.∴DF∥(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).∴∠A=∠F().3.素養(yǎng)培優(yōu)/能力拓展/編寫(xiě)說(shuō)明：新課標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，特設(shè)此版塊助老師在教學(xué)中加強(qiáng)素養(yǎng)落地，學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)展核心素養(yǎng).12.(幾何直觀)新考向·開(kāi)放性試題如圖,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一直線上,下面有四個(gè)條件:①AB=DE;②AC=DF;③AB∥DE;④BE=CF.請(qǐng)你從中選三個(gè)作為題設(shè),余下的一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題，并加以證明.解：我寫(xiě)的真命題是：已知:;求證：.(注：不能只填序號(hào))證明如下：3平行線的證明第1課時(shí)|平行線的判定課標(biāo)要求：探索并證明平行線的判定定理.1.課內(nèi)積累/夯實(shí)基礎(chǔ)/知識(shí)點(diǎn)：平行線的判定(1.如圖，下列條件中，能判定AD∥BC的是 ()A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠3=∠4D.∠ABC+∠C=180°【變式】下列圖形中,由∠1=∠2能判定AB∥CD的是 ()2.如圖，要得到AB∥CD，則需要補(bǔ)充的條件是.(填一個(gè)正確的條件即可)3.把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整.已知:如圖,點(diǎn)E,F分別在AB,CD上,AF⊥CE于點(diǎn)G,∠1=∠B,∠A+∠2=90°.求證:AB∥CD.證明:∵AF⊥CE(已知),∴∠AGE=90°().∵在△AGE中,∠A+∠1+∠AGE=°(),∴∠A+∠1=°.又∠A+∠2=90°(已知),∴∠1=().又∠1=∠B(已知),∴∠B=∠2().∴AB∥CD().4.如圖,E,F是BD上的點(diǎn),∠AED=∠CFB,AE=CF,BE=DF.求證:AB∥CD,AB=CD.2.課后提升靈活運(yùn)用5.如圖，木條a，b分別與木條c釘在一起，∠1=70°，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a，當(dāng)∠2=_6.如圖,下列條件:①∠1=∠3;②∠2=∠3;③∠1=∠4;④∠2+∠5=180°.其中可以判定b∥c的條件有 ()A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④7.某種零件的形狀如圖所示，現(xiàn)要判斷AB與CD是否平行，工人師傅分別測(cè)量了∠ABE,∠CDE和∠BED的度數(shù)后,就做出了判斷.試猜想∠ABE,∠CDE8.如圖,在四邊形ABCD中,已知.∠A=∠C=90(1)求證:∠ABC+∠ADC=180°;(2)求證:BE∥DF.3.素養(yǎng)培優(yōu)/能力拓展/編寫(xiě)說(shuō)明：新課標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，特設(shè)此版塊助老師在教學(xué)中加強(qiáng)素養(yǎng)落地，學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)展核心素養(yǎng).9.(幾何直觀)【分類討論思想】小明將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起.當(dāng).∠ACE<90第2課時(shí)|平行線的性質(zhì)課標(biāo)要求：探索并證明平行線的性質(zhì)定理.1.課內(nèi)積累/夯實(shí)基礎(chǔ)/知識(shí)點(diǎn)：平行線的性質(zhì)1.如圖,AB∥CD,若∠1=140°,則∠C的度數(shù)是 ()A.40° B.30° C.20° D.10°2.②2024大連期末|教材變式|如圖,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=50°,則∠2的度數(shù)為()A.130° B.120° C.110° D.100°3.如圖,AB∥DC,BC∥DE,若∠B=145°,則∠D的度數(shù)為()A.25° B.35° C.45° D.55°【變式】3.①如圖,已知AB∥CD,∠B+∠D=180°,求證:BC∥DE.請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程.證明:∵AB∥CD,∴∠B=∠().∵∠B+∠D=180°,∴∠C+∠D=180°.∴BC∥().4.如圖,∠1=50°,∠C=60°,∠2=60°.求∠B的度數(shù).2.課后提升/靈活運(yùn)用/5.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖,若兩束光線平行,且∠1+∠2=129°,∠3=102°,則∠4的度數(shù)為 ()ABC.5D6.將一個(gè)直角三角尺與一張兩邊平行的紙條按如圖所示的方式放置，下列結(jié)論:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°;④∠4+∠5=180°,其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【變式】6.1將一個(gè)含30°角的直角三角尺ABC按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)A.C分別在直線a,b上,若a∥b,∠1=40°,則∠2的度數(shù)為 ()A.20° B.15° C.10° D.5°【變式】如圖，將一副三角尺按如圖所示的方式擺放.若直線a‖b,∠1=A.5° B.10° C.15° D.20°7.如圖,∠1+∠2=180°.(1)求證:AB∥EF;(2)若CD平分∠ACB,∠DEF=∠A,∠BED=50°,求∠EDF的度數(shù).3.素養(yǎng)培優(yōu)/能力拓展/編寫(xiě)說(shuō)明：新課標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，特設(shè)此版塊助老師在教學(xué)中加強(qiáng)素養(yǎng)落地，學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)展核心素養(yǎng).8.(幾何直觀)如圖1，將一根長(zhǎng)方形紙帶沿EF折疊，設(shè)∠(1)若x=130,則∠(2)將圖1的紙帶繼續(xù)沿BF折疊成圖2，求∠EFC"的度數(shù).(用含x的代數(shù)式表示)1為什么要證明1.D2.解：猜測(cè)線段a比線段b長(zhǎng).(答案不唯一)用刻度尺量取長(zhǎng)度比較即可.2.1.(1)猜測(cè)BE=CE>EF.(答案不唯一)用刻度尺量取長(zhǎng)度比較即可.(2)猜測(cè)∠EFB>∠EBC>∠ECB.(答案不唯一)用量角器量取相應(yīng)的角度比較即可.3.B4.8075.解：不正確.理由如下：例如當(dāng)n=7時(shí),n2-6n=49-42=7>0.∴小明的猜想不正確.6.解:(1)①解析①總停產(chǎn)時(shí)間為5×6+4×7+3×10+2×15+29=147(min),②總停產(chǎn)時(shí)間為5×6+4×15+3×29+2×10+7=204(min),③總停產(chǎn)時(shí)間為5×29+4×15+3×10+2×7+6=255(min).∴總停產(chǎn)時(shí)間最少的是①，即經(jīng)濟(jì)損失最少的是①.(2)960解析一名修理工按D,E,A的順序修,另一名修理工按B，C的順序修，則總停產(chǎn)時(shí)間為3×6+2×10+15+2×7+29=96(min).∴最少經(jīng)濟(jì)損失為96×10=960(元).(修理順序不唯一)2認(rèn)識(shí)證明第1課時(shí)定義與命題1.D2.③3.兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角；這兩個(gè)角相等4.D5.A6.解：(1)假命題.理由如下：兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形不是全等三角形.(2)假命題.理由如下：如圖,∠AOB=∠COD,有公共頂點(diǎn)O,但不是對(duì)頂角.7.c8.129.解：(1)如果兩個(gè)角是相等的角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等(或如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角相等).(2)如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.第2課時(shí)定理與證明1.A2.C3.A4.真命題5.同角的余角相等6.等式的基本性質(zhì)7.解:(1)若∠1=∠2,則a∥b(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)，是定理.(2)在△ABC和△A'B'C'中,.AB=A'B',∠A=∠A',∠C=∠C',則△ABC≌△A'B'C'(兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等)，是定理.(3)如果a=b,b=c,那么a=c(等量代換),是公理.8.b；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；a∥c；同位角相等，兩直線平行9.110.611.已知;∠DGF;同位角相等,兩直線平行;C;AC;兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等12.解:我寫(xiě)的真命題是:在△ABC和△DEF中,若AB=DE,AC=DF,BE=CF,則AB∥DE.(答案不唯一)已知:AB=DE,AC=DF,BE=CF:求證:AB∥DE.證明如下:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠B=∠DEF.∴AB∥DE.3平行線的證明第1課時(shí)平行線的判定1.C1.1.A2.∠EAD=∠ADC(答案不唯一)3.垂直的定義；180；三角形內(nèi)角和定理；90；∠2；同角的余角相等；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行4.證明:∵∠AED=∠CFB,∠AED+∠AEB=180°,∠CFB+∠CFD=180°,∴∠AEB=∠CFD.又AE=CF,BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.∴AB∥CD.5.706.A7.解:當(dāng)∠ABE=∠CDE+∠BED時(shí),AB∥CD.證明:如圖,延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)M.∵∠BME+∠BED+∠MBE=180°,∠ABE+∠MBE=180°,∴∠ABE=∠BME+∠BED.∵∠ABE=∠CDE+∠BED,∴∠BME=∠CDE.∴AB∥CD.8.證明:(1)如圖,連接BD.∴∠A+∠ABD+∠ADB=180°,∠C+∠CBD+∠CDB=180°.∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB∵∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=36(2)∵BE