求解線性方程組

solve,linsolve

例：

A=[5042;1-121;4120;1111];

%矩陣的行之間用分號隔開，元素之間用逗號或空格

B=[3;1;1;0]

X=zeros(4,1);%建立一個4元列向量

X=linsolve(A,B)

diff(fun,var,n)：對表達(dá)式fun中的變量var求n階導(dǎo)數(shù)。

例如：F=sym(1u(x,y)*v(x,y),);%sym()用來定義一個符號表達(dá)式

diff(F);%matlab區(qū)分大小寫

pretty(ans)%pretty()：用習(xí)慣書寫方式顯示變量；ans是答案表達(dá)式

非線性方程求解

fsolve(fun,xO,options)

其中fun為待解方程或方程組的文件名；

xO位求解方程的初始向量或矩陣；

option為設(shè)置吩咐參數(shù)

建立文件fun.m：

functiony=fun(x)

y=[x(1)-0.5*sin(x(l))-0.3*cos(x(2)),...

x(2)-0.5*cos(x⑴)+0.3*sin(x⑵)];

>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))

注:

…為續(xù)行符

m文件必需以function為文件頭，調(diào)用符為@;文件名必需與定義的函

數(shù)名相同；fsolve()主要求解困難非線性方程和方程組，求解過程是一

個靠近過程。

Matlab求解線性方程組

AX=B或XA=B

在MATLAB中，求解線性方程組時，主要采納前面章節(jié)介紹的除法運(yùn)算

符和。如：

X=A\B表示求矩陣方程AX=B的解；

X=B/A表示矩陣方程XA=B的解。

對方程組乂=人\8,要求A和B用相同的行數(shù)，X和B有相同的列數(shù)，

它的行數(shù)等于矩陣A的列數(shù)，方程X=B/A同理。

假如矩陣A不是方陣，其維數(shù)是mxn,則有：

m=n恰定方程，求解精確解；

m>n超定方程，尋求最小二乘解；

m<n不定方程，尋求基本解，其中至多有m個非零元素。

針對不同的狀況，MATLAB將采納不同的算法來求解。

一.恰定方程組

恰定方程組由n個未知數(shù)的n個方程構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般

形式可用矩陣，向量寫成如下形式：

Ax=b其中A是方陣，b是一個列向量；

在線性代數(shù)教科書中，最常用的方程組解法有：

(1)利用cramer公式來求解法；

(2)利用矩陣求逆解法,EPx=A-lb;

(3)利用gaussian消去法；

(4)利用hi法求解。

一般來說，對維數(shù)不高，條件數(shù)不大的矩陣，上面四種解法所得的結(jié)果差

別不大。前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計算。

MATLAB中，出于對算法穩(wěn)定性的考慮，行列式與逆的計算大都在hi分

解的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

在MATLAB中，求解這類方程組的吩咐非常簡潔，干脆采納表達(dá)式：

x=A\bo

在MATLAB的指令說明器在確認(rèn)變量A非奇異后，就對它進(jìn)行l(wèi)u分解,

并最終給出解x;若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會提示用戶留意所

得解的牢靠性。

假如矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；假如矩

陣A接近奇異時，MATLAB將給出警告信息；假如發(fā)覺A是奇異的，則

計算結(jié)果為inf,并且給出警告信息；假如矩陣A是病態(tài)矩陣，也會給出

警告信息。

留意：在求解方程時，盡量不要用inv(A)*b吩咐，而應(yīng)采納A\b的解法。

因?yàn)楹笳叩挠嬎闼俣缺惹罢呖?、精度高，尤其?dāng)矩陣A的維數(shù)比較大時。

另外，除法吩咐的適用行較強(qiáng)，對于非方陣A,也能給出最小二乘解。

二.超定方程組

對于方程組Ax=b,A為nxm矩陣，假如A列滿秩，且n>m。則方程組

沒有精確解，此時稱方程組為超定方程組。線性超定方程組常常遇到的問

題是數(shù)據(jù)的曲線擬合。對于超定方程，在MATLAB中，利用左除吩咐

(x=A\b)來尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來求，BPx=pinv(A),

所得的解不肯定滿意Ax=b,x只是最小二乘意義上的解。左除的方法是

建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最牢靠；廣義逆法是建立在對

原超定方程干脆進(jìn)行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法牢靠性稍遜與

奇異值求解，但速度較快；

【例7】

求解超定方程組

A=[2-13;31-5;4-11;13-13]

A=

2-13

31-5

4-11

13-13

b=[303-6/；

rank(A)

ans=

3

xl=A\b

xl=

1.0000

2.0000

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

1.0000

2.0000

1.0000

A*xl-b

ans=

1.0e-014

-0.0888

-0.0888

-0.1332

0

可見xl并不是方程Ax=b的精確解，用x2=pinv(A)*b所得的解與xl相

同。

三.欠定方程組

欠定方程組未知量個數(shù)多于方程個數(shù)，但理論上有無窮個解。MATLAB

將尋求一個基本解，其中最多只能有m個非零元素。特解由列主元qr分

解求得。

【例8】

解欠定方程組

A=[l-211;1-21-1;1-215]

A=

1-211

1-21-1

1-21-1

1-215

b=[l-15r

xl=A\b

Warning:Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015

xl=

0

-0.0000

0

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

0

-0.0000

0.0000

1.0000

四.方程組的非負(fù)最小二乘解

在某些條件下，所求的線性方程組的解出現(xiàn)負(fù)數(shù)是沒有意義的。雖然方程

組可以得到精確解，但卻不能取負(fù)值解。在這種狀況下，其非負(fù)最小二乘

解比方程的精確解更有意義。在MATLAB中，求非負(fù)最小二乘解常用函

數(shù)nnls,其調(diào)用格式為：

(1)X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解過程被限制

在x的條件下；

(2)X=nnls(A,b,TOL)指定誤差TOL來求解，TOL的默認(rèn)值為

TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps,矩陣的一1范數(shù)越大，求解的誤差

越大；

(3)[X,W]=nnls(A,b)當(dāng)x(i)=0時,w(i)<0;當(dāng)下x(i)>0時,w⑴0,同

時返回一個雙向量w。

【例9】求方程組的非負(fù)最小二乘解

A=[3.4336-0.52380.6710

-0.52383.2833-0.7302

0.6710-0.73024.0261];

b=[-1.0001.50002.5000]