八年級數學上學期期中模擬卷.拔尖卷【蘇科版

全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.已知。的算術平方根是12.3,b的立方根是一45.6,x的平方根是±1.23,y的立方根是456,則x和y分別

是（）

ah

A?x=堿y=100bB.x=1000a,y=—

C.x=-^,y=-1000Z?D.X=~^,y=1000/J

【答案】C

【分析】利用算術平方根和平方根，立方根的性質，可得到a,b的值，由此可得到％與a和y與珀勺關系

【詳解】解：???。的算術平方根是12.3,b的立方根是一45.6,%的平方根是±1.23,y的立方根是456,

.-.a=12.32=100x1.232/=（-45.6尸，

x=1.2327=1000x45.63

:覆=瑞,y=—1000b.

故選：C.

【點睛】本題考查了算術平方根和平方根，立方根的性質，得與a和y與b的關系是解題的關鍵.

2.（25-26八年級上?河北邢臺?階段練習）如圖，小明在計算機上用“幾何畫板”畫了一個iM0N=70。，點

A,8分別在射線OM,ON上（均不與點。重合），AAOB的角平分線AC與角平分線BD交于點E.隨著點

A,8位置的變化，對于匕MOB和乙下列判斷正確的是（）

A.乙MDB和41EB的度數均會改變

B.乙MD8和乙1EB的度數均不會改變

C.只有4M08的度數不會改變

D.只有乙AE8的度數不會改變

【答案】D

【分析】本題考查三角形的角平分線，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，掌握三角形內角和定理

和三角形外角的性質是解題的關鍵.

由角平分線得到乙。皿WAC=^OAB,從而根據三角形外角的性質得到NMDB=〃OB+T

/-ABO,即可判斷NMDB的度數會改變.由N4EB=N0AC+4ADE=^OAB+^AOB+^ABO=90。+；

/-AOB=125°,可判斷乙4E8的度數不會改變.

【詳解】解：?.?8D平分448。，

.,.Z.OBD=

?kMDB=Z.AOB+Z.OBD=70°+^ABO,

???隨著點4,8位置的改變，乙4BO的大小也隨之改變，

的度數會改變.

"C平分

.-,AOAC=^OAB,

:/AEB=Z.OAC+Z.ADE

11

=-Z.OAB+Z.AOB+-Z.ABO

22

1

=-(Z.OAB+Z.ABO)+/-AOB

1

=-(1800-Z.AOB)+乙AOB

1

=90。+54408

=90°+|x70°

乙

=125°,

,隨著點力，〃位置的改變，NAEB的度數不會改變.

故選:D

3.(24-25八年級下?安徽合肥?期末)在如圖所示的小正方形網格中，48,C,D均為小正方形的頂點，線段4B

和CD相交于點。，則乙AOC的度數為()

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理與網格，平行四邊形的性質，根據題意得出四邊形4CDE是平行四邊形，進而

勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，即可求解.

【詳解】解：如圖，ED=AC,ED\AC

.??四邊形力CDE是平行四邊形，

.-.AEWCD

.-.Z.EAB=Z.AOC

"E=EB=Vl2+22=Vs?AB=4I.2+32=VTo

.-.AE：2+EB2=AB2

.?.△AE3是等腰直角三角形，

：.LEAB=45°

.-.AEAB=AAOC=45°

故選：B.

4.（25-26九年級上?四川綿陽?開學考試）已知實數m滿足，|2。24—m|+—2025=m那么m-2024?

的值為（）

A.-2025B.2025C.2024D.-2024

【答案】B

【分析】本題考查了算術平方根的非負性、絕對值的意義，得2025是解決此題的關鍵.

先由算術平方根的非負性得出2025,根據絕對值方意義得出神八一2025=2024,從而得出

m-2025=20242,進而求解即可.

【洋解】因為實數m滿足，|2024-m|+Vm-2025=

所以加一2025NO,解得?nZ2025,

所以2024—?n<0,

所以m一2024+77n-2025=m,

所以Vm-2025=2024,

所以m—2025=20242,

所以m—20242=2025,

故選：B.

5.如圖，八。是△48C的角平分線，CE1AD,垂足為凡若NCW=30。，ZJ?=55。，則4BDE的度數為

()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】本題主要考查了角平分線、全等三角形的判定和性質、三角形的內角和等知識點，根據三角形的

知識求出相應各個角的度數是解題的關鍵.

根據三角形的內角和求出NAC8=95。，再求出4c4D=NE4D=15。，然后通過證明△4CF三△

△4CO三△4E0并利用全等三角形的性質0。=DE,再利用外角的性質求解即可.

【詳解】解：?.2。48=30。,乙B=55。,

.ZACB=180°-乙CAB一乙B=180°-30°-55°=95°,

,：CE1AD,

"AFC=Z.AFE=90°,

“D是△48C的角平分線，

：.LCAD=LEAD==1X30°=15°,

又?；/!/=AF,

:.△ACFn△/EF(ASA),

.,.AC=AE,

?：AD=AD,乙CAD=Z.EAD,

???△4CD三△4ED(SAS),

:.DC=DE,

:zDCE=乙DEC,

SCE=90°-4CAE=90°-15°=75°,

心CE=乙DEC=乙ACB-乙ACE=95°-75°=20°,

：Z3DE=乙DCE+乙DEC=20°4-20°=40°.

故選:B.

6.如圖，正方.形48co中，右為8c上一點，過4作8G14E于點G,延長8G至點￡使得4G=GF,連接

CF,AF.若乙DAF=a,則4。CF一定等于()

A.aB.60°—2aC.2aD.45°—a

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，證明全等三角形是解

題的關鍵：過C作CHJ.BF于H,證明△48G三△8CH,得AG=BH,BG=CH,從而得CH=丹7,得

Z.HFC=45°,則可■求得46.

【詳解】解：如圖，過C作CH_L8產于"則NCH8==90。；

在正方形為8co中，AB=BC,/.DAB=Z.ABE=Z.BCD=90°；

???BF1AEtAG=GF,

???LGAF=45。；

LBAG=/.DAB-Z-DAF-Z-GAF=45°-a；

-LBAG+/-ABG=90°,Z-ABG+^CAH=90°,

LCAH=乙BAG=450-a；

在與△BCH中,

/-BAG=Z-CBH

Z-AGB=乙BHC=90°,

AB=BC

.??△48GzZiBCH(AAS),

：.AG=BH,BG=CH；

-AG=GF,

BH=GF,

即BG+GH=GH+HF,

CH=FH；

-CH1BF,

??"FC=45°,

???LBCF=180°-乙CBH-Z.HFC=90°+a,

故選：A.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為BC上的一點，乙BAD=28。,在AO的右側作△4OE,使得

AE=AD,4DAE=4BAC,連接?！?、DE,DE交AC于點0,若CEIIAB,則乙DOC的度數為()

A.124°B.102°C.92°D.88°

【答案】C

【分析】根據題意由SAS可證△48。三△4EC,得到N4BO=44CE,結合兩直線平行，同旁內角互補和等

邊對等角可推出〃8。=乙BCA=/.ACE=1x180°=60°,從而得到△A8C是等邊三角形，進而推出△ADE

是等邊三角形，可知44OE=60。，結合乙。40=484。-284。=32。，由三角形外角的性質即可求得答案.

【詳解】解：-Z.DAE=LBAC,

.^DAE-Z.DAC=Z.BAC-Z-DAC,^\UEAC=Z.DAB,

,；AB=AC,AE=AD,

△48。三△AEC（SAS）,

.,.Z.ABD=Z-ACE,

-CEWAB,

.?.乙ABD+乙BCE=180°,

.'./.ABD+乙BCA+Z.ACE=180°,

-AB=AC,

：.z.ABD=Z.BCA,

."BD=Z,BCA=Z.ACE=1x180°=60°,

J

.??△4BC是等邊三角形，

.?Z34C=/04E=60。，

-：AE=AD,

.?.△AOE是等邊三角形，

：.LADE=60°,

-Z-BAD=28°,

：.Z.0AD=Z.BAC-ABAD=60°-28°=32°,

.'./-DOC=WAD+/-ADE=32°+60°=92°.

故選:C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的

性質，三角形外角的定義與性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

8.（25-26八年級上?湖北武漢?階段練習）如圖，在△48。中，Z.BAC=90°,AB=AC,E、尸分別為48、

/C上的動點，且CF=/E,連接CE,BF,當CE+B/取得最小值時，則CFBE的值為（）

A.1:1B.2:1C.1:2D.1:3

【答案】A

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，過點。作CN1力C,使得CN=4C,連接/N,BN,BN

交AC于點、M,證明△口!￡三△NC凡得CE+BF=NF+BF,當8、F、N三點共線時+CE的值最小，再

證明三△(?可￡得CM=4M,進而可得C尸=BE,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作CN_L/C,使得CN=4C,連接燈V,BN,BN交AC于點M,

在△(?力E和△可"中，

AC=CN

Z-A=乙FCN=90°,

AE=CF

△CAE=△NCT(SAS),

:.NF=CE,

：?CE+BF=NF+BF,

?:NF+BFNBN,

???當8、F、N三點共線時，NF+Er有最小值，最小值為線段8N的長，且此時點產與點M重合,

-Z.ACN=Z.A=90°,

；.A8||CN,

"BM=乙CNM,

^-;AB=AC,AC=CN,

.-.AB=CN,

在△力BM和△CNM中，

LABM=Z.CNM

AB=CN,

(△A=乙MCN=90°

△48M三ZkCNMlASA),

.../IM=MC=^AC,即此時力2=。尸=力￡=2力。，

-AB=AC,BE=AB-AE

:.BE=\AB=\AC=CF,

.??此時CF:BE=11.

故選:A.

9.（24-25七年級下?重慶?期中）如圖，在△4BC中，=BC/4BC=30。，點D為力。中點，連接BD,點

￡、點尸分別為B。、AB上兩動點，過點F作FHJL8C于點H,當月E+EF+取最小值時=/則△ABC

的面積是（）

【答案】A

【分析1連接過點C作的對稱點。，連接。反過點尸作FN_L8。于點N,作CP_L8。于點P,證明

AE=CE,FN=FH,那么AE+E尸+F"=CE+E尸+FNNCP,當點&E,F,N,P共線時，力E+E尸+F〃取

得最小值，記C&AB交于點Q,可證明△FBN三△FBH（AAS）,則此時BN=BH=&可得△0BC為等邊三

角形，則8。=8。=84=C。=g,由&。關于AB對稱，得到CQ=；C0=*CQ_L48,那么由壇川弘二之

ABxCQ,即可求解.

【詳解】解：連接CE,過點。作力B的對稱點。，連接。8,過點尸作尸N18。于點N,作CP_L8。于點P,

??.BO=BC,Z.ABO=4ABC,

?MB=8C/48C=30。，點。為4c中點,

??.BD1AC,

???BD垂直平分4C,

??./IE—CE,

?：FH1BC,FNA.BO,LABO=￡ABC,

:.FN=FH,

"E+EF+FH=CE+EF+FN>CP,

當點CEEMP共線時,4E+E尸+尸H取得最小值,如圖:

O

.

記CO/B交于點Q,

---?1DC,"NJ.。。，

:/FNB=乙FHB=90°

MABO=/.ABC,BF=BF,

.?.△FBN三△FB"(AAS),

此時BN=BH=三,

"BO=^ABC=30°,

"OBC=60°,

又?:BO=BC,

.?.△08。為等邊三角形，

:.CO=BO,

.'.BO=BC=BA=CO,

???CP18。，

.-.BO=2BN=I，

8

.,.BO=BC=BA=CO=-,

???c,。關于力B對稱，

：.CQ=^CO=^,CQLAB,

?IAC"18416

AB

???S&48C=乙2乙XDCQD=5XJ4X4=丁，

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質，軸對稱

的性質，線段垂直平分線的性質，難度較大解題的關鍵在于將/^+后尸+尸”進行轉化.

10.（25-26八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在△48C中，AB=AC,ABAC=60°,AD1BC^

D,后是線段4。上一點，尸是邊AS上一點，且滿足CE=EF,G是8尸的中點，連接EG.則下列四個結論

①BD=DC；@Z-CEF=120°；（3）^ACE=^BFE；④當乙4EP=15°時，LBEC=150°.其中正確的個數

有（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了等邊三角形和等腰三角形的性質，有一角為30。的直角三角形的性質，熟練掌握等

腰三角形和等邊三角形的性質是解題的關鍵.連接BE,根據力B=4C,LBAC=60°,證明△力BC是等邊三

角形，根據等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：連接BE,如圖

-：AB=AC,LBAC=60°,

???△A8C是等邊三角形，

二48=AC=BC,^ACB=/.BAC=/-ABC=60°,

,：AD1BC,

'-BD=CD,故①符合題意：

,：AD1BC,BD=CD,

??.BE=CE,

:/BCE=乙CBE,

-CE=EF,

:.BE=EF,

:.乙FBE=乙BFE,

■:乙BFE=乙BAD+Z.AEF,乙BAD=30°,

"AEF=乙BFE-Z.BAD=LFBE-30°,

t.,AD1BC,

"DC=90°,

,：Z.AEC=/-ADC+乙BCE,

.-.Z-AEC=900+"BE,

?.Z.CFF=Z.AEC+乙AC",

:2CEF=90°+乙CBE+乙FBE-30°

“ABC=乙FBE+CBE=60°,

"EF=90°+60°-30°=120°,故②符合題意;

?：AB=ACt

:/ABC=乙ACB,

■:BE=CE,

"BCE=乙CBE,

"FBE=Z.ACE,

???BE=EFt

:.乙FBE=Z.BFE,

：./-ACE=乙BFE,故③符合題意：

vLAEF=15°,乙BFE=乙BAD+Z.AEF,

.-.z5FF=30o+15o=45°,

?；BE=CE,CE=EF,

??.BE=EF,

???G為BF的中點,

：.BG=GF,

.,.EG1AB,

：/EGF=90°,

??.△EGQ為等腰直角三角形，

LBFE=Z-FEG=45°,EG=FG,

.,.BG=FG=EG,

-Z,BGE=90°,

「.△BGE為等腰直角三角形，

“BEG=45°,

=360°-LBEG-Z.FEG-LCEF=150°,故④符合題意；

綜二分析可知：正確的有4個.

故選：D.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.（25-26八年級上?陜西西安?階段練習）如圖，正方形48。。的邊長為8,將正方形折疊，使頂點。落在BC

邊二的點E處，折痕為GH,若BE:EC=2:1,則線段CH的長為.

At-----------------------\D

Gl

BEC

【答案】第3,

【分析】本題考行了正方形的性質，勾股定理，折疊的性質等知識.先根據正方形的性質得到EC=*

DC=8,LC=90°,再根據折疊的性質得到。H=EH,設CH=%,則￡77=8—羽在中，根據勾

股定理列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：?.?正方形力8c。的邊長為8,BE:EC=2:1,

...EC=^BC=I，DC=8,Z-C=90°,

由折疊的性質得D4=EH,

設C4二x,則。斤=￡77=8—x,

在Rt△CHE中，根據勾股定理得）2+（1）2=（8-%）2,

解得％=系

即c”=等.

故答案為:y.

12.（25-26八年級上?江蘇南京?階段練習）如圖是5x5的正方形網格，△4BC的頂點都在小正方形的頂點

上，像△A8C這樣的三角形叫格點三角形.畫與△48C有一條公共邊且全等的格點三角形，這樣的格點三

角形最多可以畫個.

【分析】本題考查全等三角形的性質，三條對應邊分別相等，以及格點的概念，熟練掌握全等三角形的判

定定理是解決問題的關鍵.可以以48和8C為公共邊分別畫出3個，4c不可以，故可求出結果.

【詳解】解：以BC為公共邊可畫出△8CC,ABEC,△8FC三個三角形和原三角形全等.以AB為公共邊

可畫出三個三角形△A8G,△力BM,和原三角形全等，所以可畫出6個這樣的三角形.

故答案為：6.

H

13.（25-26八年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，點P為等邊△力內一點，若PC=3,PB=4,PA=5,

則/8PC的度數是.

【答案】1507150&

【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理逆定理，等邊三角形的判定與性質等知識，利用旋轉作輔助線

構造出宜角三角形和等邊三角形是解題的關鍵.

將△8PC繞點8逆時針旋轉60。得到△8D4連接PD,根據旋轉的性質可得

BD=PB=4,AD=PC=3/BPC=4ADB,判斷出△8DP是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得

PD=PB.^BDP=60°,利用勾股定理逆定理判斷出△4DP是直角三角形，Z-ADP=90°,然后求出N/ID8,

即可得解.

【洋解】解：如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉60。得到△BD4連接PD,

由旋轉的性質得，BD=PB=4,4）=PC=3/BPC=4ADB,

.?.△BDP是等邊三角形，

.-.PD=PB=4/BDP=60°,

vAD2+DP2=32+42=25"=52=25,

AD2+DP2=PA2,

???△4DP是直角三角形，4Aop=90。，

LADB=600+90°=150。，

???，8PC=150。，

故答案為:150°.

14.（25-26八年級上?江蘇泰州?階段練習）如圖，△4BC是等邊三角形，BC=BD.Z.BAD=25°,則Z/?CD

的度數為一.

【答案】55。

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是靈活運用

這些性質進行推理.

由等邊三角形的性質可得4B=BC,448c=60。，由等腰三角形的性質可求N4BD=130。，可求解.

【詳解】解：???A48C是等邊三角形，

AB=BC,Z-ABC=60°,

?：BC=BD,

AB=BD,

A2.BAD=Z-ADB=25°,

LABD=130°,

LCBD=70°,

XvBC=BD,

/-BCD=Z-BDC=1(180°-NCBD)=55°,

故答案為：55。.

15.(24-25七年級上?浙江杭州?開學考試)若將一個校長為10cm的立方體體積減少U(cm3)，而保留立方

體形狀不變，則棱長應減少cm(用含V的代數式表示)，若V=875cm3,則極長應減少cm.

【答案】(10-V1000-V)5

【分析】本題考查了立方根的應用，代數式求值，根據題意求出立方體體積減少的體積，進而得到減少后

立方體的棱長，可得棱長減少的數量，再把V=875cm3代入計算即可求解，掌握立方根的定義是解題的關

鍵.

【詳解】解：???立方體的棱長為10cm,

二立方體的體積為IO?=1000cm3.

???立方體體積減少V(cm3)后剩余的體積為(1000-V)cm3,

,此時的棱長為V1000—Vcm,

???棱長應減少(10-V1000-l/)cm,

當廿=875cm3時，10-V1000-K=10-V1000-875=10-V125=10-5=5cm,

若P=875cm3,則棱長應減少5cm,

故答案為：(10-V1000-K)：5.

16.如圖，在直角三角形A8C中，LACB=90°,。在8C邊上，￡在力。邊上，且

^ADE=45°/力BC=2^CDEfAE=3,BD=2,則AB=.

A

【答案】5

【分析】在A8上截取=AE,連接DF,先根據三角形的外角性質和直角三角形銳角互余證明

△.4FD-A/1FD(SAS),再根據全等三角形的性質證明BF=8D,最后由48=AF+8F求解即可.

【詳解】解：在AB上截取A/=RE=3,連接DF,

設/COE=a,則由題意得/ABC=2a,

-Z.ADC=+/.BAD,Z.ADE=45°,

.*.45°+a=2a+Z.BAD,

：.z.3AD=45°-a,

"ACB=90%

：.Z.DAC=90°-Z.ADC=90°一(45°+a)=45°-a,

.,.Z.DAC=/.BAD,

?：AD=AD,

△HFO三△HED(SAS),

：.^FDA=乙EDA=45°,

"BFD=LFDA+乙FAD=45°+45°—a=90°-a,

-Z.BDF=180°-Z.FDE一乙CDE=90°-a,

"BDF=乙BFD,

:.BF=BD=2,

.'.AB=AF+BF=3+2=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，直角三角形的性質，三角形的外角性

質等知識點，正確添加輔助線構造全等三角形是解題的關健.

三、解答題(本大題共8小題，滿分72分)

17.(6分)如圖，在△48C中，AB=AC,=90。，點。在斜邊8C邊上，以40為直角邊向右作等腰

直角三角形△/1OE,連接CE.

⑴求證：A/IBD空△4CE：

⑵判斷線段。。、CD、“。間的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)詳見解析

(2)BD2+DC2=DE2,理由見解析

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用.

(1)根據SAS,只要證明乙BAD=/CAE即可解決問題；

(2)結論：CD2+BD2=DE2.證明/ECO=90。，BD=CE,利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】(1)證明：?.N0/E=90°=ZB4C,

：/DAC+Z-CAE=90°=Z-DAC+乙BAD,

.,./.BAD=Z.CAE.

在a/lBO和■中，

AB=AC

vLBAD=/,CAE,

AD=AE

:.△ABD=△ACE.

(2)解：CD2+BD2=DE2,理由如I下：

,:△ABD=△ACE

:.BD=CE,乙B=Z,ACE=45°,

"ECB=Z.ACE+乙4cB=90°,

：.CE2+DC2=DE2,

即8。2+。。2=。乩

18.（6分）（25-26八年級上?江蘇泰州?階段練習）如圖，&4BC中，AB=AC,將沿著EF翻折使點4

恰好落在8C上點。處，且。尸1BC.

圖①圖②

⑴求證：乙DFC=T乙BAC；

⑵延長ED交/C延長線于點G,求證：DF=DG；

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角形的外角等知識點，熟練掌握相

關知識點，是解題的關鍵：

（1）過點力作AHJ.BC于點H,根據等腰三角形的性質得出NBA"=4&4H證明DFIM”，得出

“FC=MAE,即可證明結論；

（2）根據折疊得出48力。=居根據ZDFC=得出/EOF=240/。，

根據NED/得出4OFG=NG,根據等腰三角形的判定得出結論；

【詳解】（1）證明：過點力作4H1BC于點〃，如圖所示：

.-.Z.BAH=Z.CAH=^Z-BAC,

.'.AHIBC,DF1BC,

.-.DF\\AH,

"DFC=Z.CAH,

：/3FC=^BACi

（2）解：根據折疊可知：乙BAC=MDF,

"DFC=^BAC；

"EDF=2乙DFC,

?:lEDF=乙DFC+乙G,

:.乙DFG=乙G,

：.DF=DG.

19.（8分）我們用⑷表示不大于a的最大整數，Q—⑷的值稱為數a的小數部分，如[2.13]=2,2.13的小

數部分為2.13—[2.13]=0.13.

（1）[V3]=,[V7]=,兀的小數部分=:

⑵設療的小數部分為a,求a+[加]一遍的值；

⑶已知10+V5=x+y,其中％是整數，且0<y<l,求x-y的相反數.

【答案】（1）1,2,TT-3

⑵1

⑶后一12

【分析】（1）利用實數大小比較，求算術平方根，無理數的大小估算等知識點即可求得[依]和卜例：已知

[n],則可求得兀的小數部分；

（2）利用實數大小比較，求算術平方根，無理數的大小估算等知識點可求得遍的整數部分和小數部分，進

而可求得a,遵循同樣步驟可求得[g],將a和[g]代入原式即可得解；

（3）利用有理數大小比較，求算術平方根，無理數的大小估算，不等式的性質等知識點可求得10+舊的

取值范圍，進而根據已知條件可求得％和y,于是可求得％—y,并最終求得％—y的相反數.

【詳解】（1）解：v1<3<4,

1<\/3<2,

二問=1,

,?,4<7<9,

2<V7<3,

???西=2,

園=3，

開的小數部分為TT-[7T]=7T-3,

故答案為：1,2,7T—3;

(2)解：???4<5<9,

2<V5<3,

“㈣=2,

???痣的小數部分為遮-[遮]=遙-2,

:.a—>/S-2,

???9<13<16,

???3<V13<4,

???[\/13]=3,

G十[V13]—V5=V5—2+3—V5=1;

(3)解：v1<3<4,

1<V3<2,

11<10+V3<12,

104-V3=x+y,%是整數，且0vy<l,

x=11,y=10+V3—x=104-V3-11=V3—1,

=11-(V3-1)=H-V3+1=12-V3,

「一丫的相反數為仃一12.

【點睛】本題主要考查了實數大小比較，求算術平方根，無理數的大小估算，代數式求值，入等式的性質,

求相反數等知識點，熟練掌握相關知識點并能綜合運用是解題的關鍵.

20.(8分)(24-25八年級下?山東德州?階段練習)葉老師在與學生研究“螞蟻怎樣爬最近〃的課題時設計了

以下問題.請你根據下面所給的條件分別求出螞蚊需要爬行的最短路程(結果保留根號).

(1)如圖①，正方體的棱長為5cm,一只螞蟻欲從正方體底面上的點力處沿著正方體表面爬到點的處;

⑵如圖②，長方體的長和寬都為5cm,高為6cm,一只螞蟻從長方體底面上的點力處沿著長方體表面爬到

點G處；

⑶如圖③，長方體的長、寬、高分別是6cm、5cm和3cm,一?只螞蟻要從頂點4處沿著長方體的表面爬

到長方體上和人相對的頂點B處.

【答案】（1）螞蟻需要爬行的最短路程為5遮cm；

⑵螞蟻爬行的最短路程為2幅cm：

⑶螞蟻爬行的最短路程是10cm.

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，找出最短路徑，用勾股定理來解決路徑長，在進行實數大小比

較是解題關鍵.

（1）將正方體的右側面翻折，使它與前面在同一平面內，連接，4Ci，兩點之間線段最短，ACi是最短路徑,

利用勾股定理求4Q即可：

（2）分兩種情況討論：①將長方體的右面翻折，使它與前面在同一平面內，連接/4Q,兩點之間線段最短，

4C：是最短路徑，利用勾股定理求AQ,②將長方體的上面翻折，使它與前面在同一平面內，連接4%,兩

點之間線段最短，力G是最短路徑，利用勾股定理求4的比較兩種方法之下的力的，確定最短的即可.

（3）將長方體按三種方案展開，畫出圖形，求出結果，然后進行比較即可.

【詳解】（1）解：將正方體的右側面翻折，使它與前面在同一平面內，連接AG，

兩點之間線段最短，4cl是最短路徑，

如圖所示，在Rt△力CCi中，由勾股定理得

AC1=.2+3彳

=J（5+5）2+52=5匹（cm）；

（2）解：分兩種情況討論：

①將長方體的右面翻折，使它與前面在同一平面內，連接

兩點之間線段最短，力Ci是最短路徑，

如圖所示，有AQ={AC?+CC：="02+62=V136(cm).

②將長方體的上面翻折，使它與前面在同?平面內，連接4Q，

兩點之間線段最短，4G是最短路徑，

如圖所示AC1=JAB2+罔=如2+112=V146(cm).

因為

所以最短路程為VT^cm,即最短路程為2房cm.

aCi

AB

(3)解：將長方體按下列三種方案展開:

第一種；如圖④，

④

vXD=5+3=8(cm),DB=6(cm)

;根據勾股定理得

AB=7AD24-DB2==v82+62=10(cm)：

第二種：如圖⑤，

十二

A3C

⑤

???C8=6+5=11(cm),AC=3cm；

???根據勾股定理得

AB=J112+32=V130(cm)

第三種：如圖⑥，

_____B

-713

/6

J5C

⑥

???CB=3+6=9(cm)/C=5cm.

???根據勾股定理得

AB=J92+52=V106(cm)

???10<V106<V130,

二螞蟻爬行的最短路程是10cm.

21.(10分)(25-26八年級上?廣東中山?期中)如圖1,在中，AC=BC,匕力CB=90°,點。是48

的中點，點E是力8邊上一點.直線8F垂直于直線CE,垂足為點F,交CD于點、G.

⑴若乙4CE=20。，求2C8G的度數；

(2)求證：AE=CG,

⑶如圖2,直線力月垂直于直線CE,垂足為點兒交C。的延長線于點M,找出圖中與BE相等的線段，并證

明.

【答案】(1)20°

(2)見解析

(3)BE=CM,見解析

【分析】此題考查等腰直角三角形的性質、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質等知識，證明三角

形全等是解題的關鍵.

(1)根據〃CE+乙BCF=90°和乙CBF+乙BCF=90?？傻媒Y論：

(2)首先根據點。是48中點，/.ACB=90°,可得出N4CD=ZBCC=45。，判斷出△4ECM△CG8,即可

得出4E=CG；

(3)根據垂直的定義得出々CM/1+4MCH=90。，^BEC+^MCH=90°,再根據4。=BC,

/.ACM=Z.CBE=45°,得出進而證明出BE=CM.

【詳解】(1)解：-BFICE,

"CBG+乙BCF=90°,

乂?.NACE+乙8CF=90。，

.?zCBG=Zi4CF=20°；

(2)???點。是4B中點，AC=BC,乙ACB=90。,

.-.CD±AB,乙ACD=乙PCD=45°,

"CAD=Z.CBD=45°,

.,.Z.CAE=乙BCG,

在△?!￡"(?和△CGB中，

(Z.CAE=乙BCG

AC=BC,

(/,ACE=乙CBG

△4ECMACG8(ASA),

J.AE=CG,

(3)BE=CM.理由如下：

?：CH工HM,CDLED,

:.LCMA+LMCH=90°,(BEC+乙MCH=90°,

：.LCMA=乙BEC,

又"CM=Z-CBE=45°,

在CBCE和△<74M中，

(Z.BEC=Z.CMA,

\AACM="BE,

IBC=AC,

:.△BCEm△a4M(AAS),

:.BE=CM.

22.（10分）（25-26八年級上?浙江紹興?階段練習）如圖，A8=16cm,AC1AB,BDLAB,

⑴如圖1,若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當運動時間t=l（s）,ZkACP與△BPQ是否全等？說

明理由，并直接判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）如圖2,ACLAB,8。14夕改為2。8=484〃，其他條件不變，若Q的運動速度與P的運動速度不

相等，當Q的運動速度為多少時，能使AACP與△BPQ全等.

⑶在圖2的基礎上延長AC,8。交于點E,使C,D分別是AE,BE中點，如圖3,若點Q以（2）中的運動速

度從點8出發(fā)，點P以原來速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△48E三邊運動，求出經過多長時間點P與點Q

第一次相遇.

【答案】（1）全等，理由見解析；垂直

（2）6cm/s

（3）24s

【分析】（1）利用SAS證得△"Pw2k￡?PQ,^AACP=Z.BPQ,進一步得出

乙APC+乙BPQ=4Ape+乙4cp=90°,得出結論即可；

（2）根據Q的運動速度與P的運動速度不相等，可得APHBQ,那么要使△ACP與全等，則只存在

△4CP三△BQP這種情況，據此根據全等三角形的性質建立方程組求解即可■:

（3）因為Q以（2）中的運動速度6cm/s從點8出發(fā)，點P以原來速度4cm/s從點4同時出發(fā)，都逆時針沿

三邊運動，只能是Q點繞圈追上P點，即點P比點Q多走+i的路程，據此列出方程，解這個方程即可.

【詳解】（1）解：全等，理由如下：

當￡=l（s）時，AP=BQ=4cm,BP=AB—AP=12cm=AC,

???AC1AB,BDLAB,

.?.乙4=Z.B=90°,

在A/ICP與中,

AP=BQ

NA=,

AC=BP

.??△4CP三△BPQ(SAS),

LACP=乙BPQ,

LAPC+乙BPQ=Z.APC+Z.ACP=90°,

"PQ=90°,

二線段尸。與線段PQ垂直.

(2)解：設點Q的運動速度xcm/s,

???Q的運動速度與P的運動速度不相等，

???AP工BQ,

?.?乙4=乙B,

要使△ACP^j△UFQ全等，則只存在△ACP^△"QP這種情況，

.'.AC=BQ,AP=BP,

.[12=xt

?*l4t=16-4C*

K：t

???當點Q的運動速度為6cm/s時，能使△HCP與△BPQ全等.

(3)解：?：C,。分別是/E,RE中點，AC=BD=12cm,

AE=BE=24cm,

???Q以(2)中的運動速度6cm/s從點B出發(fā)，點P以原來速度4cm/s從點4同時出發(fā)，都逆時針沿△4BE三邊

運動，

??.第一次二者相遇時，只能是Q點繞圈追上P點，即點Q比點P多走8E+/E的路程，

設運動時間為m秒，

貝ij67n—4m=24+24,

解得：m=24,

故經過24s,點P與點Q第一次相遇.

23.(12分)綜合實踐

教材再現：等邊三角形是三邊都相等的特殊的等腰三角形：等邊三角形的三個內角都相等，并且都等于

60。：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

探究問題：等邊三角形的三個內角都等于60。，由此可得等邊三角形的每一個外角都等于120。，那么等邊三

角形與120。的角是否還有某些特殊關系，為此某數學興趣小組的同學做了如下探究，請你幫助他們完成證

明過程或解答過程.

⑴如圖1,△力8c是等邊三角形，點。、E分別在C8和BC的延長線上，R^DAE=120°,該興趣小組的同學

發(fā)現，當乙D的度數確定時，NE的度數也隨之確定.

①若ND=26。，則NE的度數為

②求證：ZD=^EAC.

⑵如圖2,△ABC是等邊三角形，點P是三角形內一點，且-108=120°,延長力P交8C于點0,延長BP交力。

于點E,判斷線段P/l、PB、PD、PE之間有什么數量關系，并說明理由.

(3)如圖3,△48C是等邊三角形，點尸是三角形外一點，且NBPC=120。，連接力P,判斷線段戶力、PB、PC

之間有什么數量關系，并說明理由.

【答案】(1)①34°②證明見解析

(2)P4+PD=PB+PE,理由見解析

(3)PA=PB+PC,理由見解析

【分析】本題考查三角形綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，等邊三角形判定與性質，解題的關鍵是

作輔助線，構造全等三角形解決問題.

(1)①根據三角形的內角和定理直接求解即可；②由等邊三隹形的性質知乙408=60。，根據內外角關系

可得乙E4C=Z.ACB-ZF=26°,從而=/.EAC；

(2)由△ABC是等邊三角形，得AB=8C,Z.ABD=LBCE=60°,有4E8C+48EC=120。，而

LAPB=120°,^AEBC+^ADB=120°,故NBEC=NAD8,可得△/WD三△BCE(AAS),故AD=BE,即

P4+PD=PB+PE；

(3)延長BP到M,使PM=PC,連接CM,由NBPC=120。，有4cpM=60。，知ACPM是等邊三角形，從

而尸C=PM=CM,ZPCM=60°,可得24cB=/PCM,^\^Z.ACB+Z.BCP=Z-PCM+zFCP,即

上ACP=cBCM,即可證△/CP二△9CM(SAS)，得P/=9M,故P/l=P9+PC

【詳解】(1)解：①?.zn4E=120。，ZD=26°,

ZE=180°-Z.DAE-CD=34°；

故答案為：34°；

②證明：???△48C是等邊三角形，

LACB=60°,

???/￡?=34°,

LEAC=乙ACB一(E=26°,

vzD=26°,

/D=Z.EAC-

(2)解：PA+PD=PB+PE,理由如下：

???△ABC是等邊三角形，

??“3=DC,乙ABD=乙DCE=60°,

LEBC+Z-BEC=120°,

vLAPB=120°,

LEBC+/-ADB=