八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷.培優(yōu)卷【蘇科版

全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分）

1.（24-25八年級(jí)上?河南焦作?期中）在-1.414,V5,n,3.6,2+6,3.212212221...（相鄰兩個(gè)1之間

依次增加一個(gè)2）,3.1415926這些數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng).即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).

【詳解】解：-1.414,3.1415926,是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；

3.6是循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)：

無(wú)理數(shù)有遙，m2+K，3.212212221...（相鄰兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2）,共4個(gè).

故選：C.

2.（25-26八年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）在△力8C,乙1,乙B,乙C的對(duì)邊分別是a,b,c,下列條件不能

判斷△4BC是直角三角形的是（）

A.LA.Z.B.Z-C=3:4:5B.乙4+乙B=Z.C

C.a:b:c=3:4:5D.a2+b2=c2

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度求出該三角

形中最大的內(nèi)角的度數(shù)即可判斷A、B；若三角形的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足較小的兩邊的長(zhǎng)度的平方和等于最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)

的平方,那么這個(gè)二角形是直角二角形，據(jù)此可判斷C、D.

【詳解】解：A、??24482。=3:4:5,Z/1+ZS+ZC=180°,

?4=180°x篇=75°.

???△力8。不是直角三角形，符合題意;

B、..NA+=LC,乙4+匕3+乙C=180°,

???zc+zC=180°,

??zC=90°,

.?.△4BC是直角三角形，不符合題意；

C、?.，a:b:c=3:4:5,

.,?可設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k>0)?

.,.a2+b2=(3k)2+(4/c)2=9/c2+16/=2Sk2=(5/c)2=c2,

???△48。是直角三角形，不符合題意；

D、'.-a2+b2=c2,

???△48C是直角三角形，不符合題意；

故選：A.

3.如圖，長(zhǎng)方形48CD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn):B與點(diǎn)。重合，折痕為EF,貝lj

的面積為()

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

【答案】A

【分析】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平

方.

根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE,在直角△48E中，利用勾股定理就可以求解.

【詳解】解：將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，

:.BE=ED.

,：AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

:.BE=9—AE,

根據(jù)勾股定理可知4爐+AE2=

解得4E=4.

二△4BE的面積為3x4+2=6cm2.

故選:A.

4.(2025?海南?中考真題)已知三角形三條邊的長(zhǎng)分別為3、5、%,則%的值可能是()

A.2B.5C.8D.11

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于?第三邊，任意兩邊之差小r?第三邊.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式，即可求出X的取值范圍.

【詳解】解：???三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,X,5,

.,?5—3<x<54-3,

即2<%<8,

故選B.

5.（25-26八年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）如圖，在△四。中，AB=AC.以4氏AC為邊在△45C的外側(cè)

作兩個(gè)等邊三角形和△4CD,且NEOC=40。，則"IBC的度數(shù)為（）

A.75°B.80°C.70°D.85°

【答案】B

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由題意易得z&W=，4EB=4C4）=4/mC=60°,48=4C=HE=4D,^ABC=Z.ACB,則有

~1ED=^ADE=20°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：???△4BE、△4CD都是等邊三角形，AB=AC,

：/EAB=Z.AEB=Z.CAD=Z.ADC=60。,48=AC=AE=AD,Z-ABC=Z.ACB,

MEDC=40°

：/AED=/.ADE=乙ADC-乙EDC=20°,

.?.血0=180°-2/.ADE=140°,

：,LBAC=140°-LEAB-Z.CAD=20°,

180°-^BAC

.,./.ABC==80°；

2

故選:B.

6.（25-26八年級(jí)上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）如圖，AABgADEF,B,E,C,b四點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，若

8尸=8,￡6=3,則8E的長(zhǎng)是（）

AD

A.1.5B.2.5C.3D.5

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段的和差等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題

的美鍵.

利用全等三角形的性質(zhì)可得=E凡進(jìn)而得到=再利用線(xiàn)段的和差關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】解：?：AABg自DEF,

：.BC=EF,

;.BC-EC=EF-EC,即BE=CF,

???BF=8,EC=3,BE+CE+CF=BF,

：.2BE+3=8,解得：BE=2.5.

故選:B.

7.（25-26八年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，LBOC=60°,點(diǎn)4是8。延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，04=12cm,

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)沿4B以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以lcm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q

同時(shí)出發(fā)，用心）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)，等于多少時(shí)，^POQ是等腰三角形？（）

A.3B.3或6C.6D.6或12

【答案】B

【分析】小題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決問(wèn)題的

關(guān)鍵是進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)時(shí)注意不能遺漏，也不能重復(fù).

根據(jù)aPOQ是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)。在4。上，②點(diǎn)?在8。上，然后根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)列出方程求解即可.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在40上，PO=OQ時(shí)，APOQ是等腰三角形，

c

2

巳//60。\

AOB

-PO=AO-AP=12-3t,OQ=t,

當(dāng)P0=00時(shí)，12-3t=t,解得t=3；

②如圖，當(dāng)P在80上時(shí)，由480c=60。，APOQ是等腰三角形，得

△，口。（?是等邊三角形，則「。二（2。，

.?.當(dāng)PO=Q。時(shí)，3t-12=t,解得t=6：

綜上可得：當(dāng)t=3或6秒時(shí)，aPOQ是等腰三角形，

故選B.

8.（24-25八年級(jí)下?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖〃的示意圖，它是由四個(gè)全等

的直角三角形圍成的.若力C=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得

到圖2所示的"數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)〃，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)勾股定理求出8。的長(zhǎng)度,

然后利用外闈周長(zhǎng)=4x（BD+AD）即可求解.

【詳解】解：由題意可知：CA=AD=6,

:.CD=2AC=12,

-Z.BCD=90°,8c=5,

:.BD=y/CD2+BC2=V1224-52=13,

???風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是4x(BD+AD)=4x(13+6)=76；

故選：D.

9.（24-25八年級(jí)上?安徽六安?期末）如圖，在△力8C中，G是邊BC上任意一點(diǎn)，D、E、產(chǎn)分別是力G、

BD、CE的中點(diǎn)，S^ABC=48,則的值為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線(xiàn)把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原理

為等底等高的三角形的面積相等.根據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答.

【詳解】解：連接C。,如圖所示：

???點(diǎn)。是4G的中點(diǎn),

??,SMBD=^A/ICD=￡△/"，

+S&ACD=5s△ABC=24,

:，S"CD—5s△A/?。=24,

?.?點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，

???SATOE=^△￡?CD=12，

?.?點(diǎn)戶(hù)是CE的中點(diǎn)，

???S4DEF=^△CDE=6?

故選:A.

10.(25-26八年級(jí)上?黑龍江佳木斯?階段練習(xí))如圖，△力BC中，LACB=90%AC=BC,AElCE^E,

BDICE^D,AE=3,BD=5,則DE的長(zhǎng)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題重點(diǎn)考查直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).

由力E1CE于E,BD1CETD,得ZL4EC==90°,由ZCAE+乙ACE=90。，4BCD+zACE=90°,得

乙CAE=^BCD,而AC=CB,即可根據(jù)"AAS〃證明△?1(?￡?三△C8D,進(jìn)一步即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?./￡"!CE于E,8。_1?！辏居?,

.-.Z4EC=ZD=90°,

.'./.CAE+Z.ACE=900,

-Z.ACB=90°,

"BCD+LACE=90。，

：.LCAE=乙BCD,

在和ACBD中，

(Z.CAE=乙BCD

LAEC=ZD,

IAC=CB

???△/(7￡?三△CBO(AAS),

.,.CD=AE=3,CE=BD=5,

：.DE=CE-CD=5-3=2,

故選:B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分）

11.設(shè)m是遙的整數(shù)部分，孔是述的小數(shù)部分，m—n的值是.

【答案】4-V5

【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，確定其整數(shù)部分與小數(shù)部分是

解題的關(guān)鍵，本題求出相，〃的值是解題的關(guān)鍵.

先估算數(shù)遍的大小，然后可求得第、〃的值，最后代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???m是西的整數(shù)部分，九是傷的小數(shù)部分，且2〈、虧＜3,

??-771=2,n=y/s—2,

j.m—幾=2—（V5—2）=4—V5?

故答案為：4—V5.

12.（24-25八年級(jí)下吶蒙古烏蘭察布?期中）如圖，小紅家的木門(mén)左下角有一點(diǎn)受潮，她想檢測(cè)門(mén)是否變

形，采用了如下方法進(jìn)行檢測(cè)：先測(cè)得門(mén)的邊力8和的長(zhǎng)分別為2.4m和1m,又測(cè)得點(diǎn)4與點(diǎn)。間的距離

為2.6m,則小紅家的木門(mén)（填“已變形〃或“沒(méi)有變形"）.

【答案】沒(méi)有變形

【分析】本題考查了勾股定理的逆用，解題的關(guān)鍵是得出三邊滿(mǎn)足勾股定理即可求解.

【詳解】解：???48和8C的長(zhǎng)分別為2.4m和1m,又測(cè)得點(diǎn)A與點(diǎn)。間的距離為2.6m,

AB2+BC2=2.42+I2=6.76=2.62=AC2,

???Z.ABC=90°,

則小紅家的木門(mén)沒(méi)有變形，

故答案為：沒(méi)有變形.

13.（25-26八年級(jí)上?甘肅張掖?階段練習(xí)）若一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，則稱(chēng)這樣的數(shù)為"完

美實(shí)數(shù)〃.若遙+m是“完美實(shí)數(shù)”，則m的值為.

【答案】一遍或1一遍

【分析】本題考查了立方根、算術(shù)平方根，根據(jù)“完美實(shí)數(shù)”的定義得出行+m=0或1，即可求出，〃的值.

【詳解】解：若遍+m是“完美實(shí)數(shù)〃，

則、行+m=0或1,

解得m=—遙或m=1—炳,

故答案為：一傷或1一遍.

14.(25-26八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí))如圖，在直角三角形/8C中，乙4c8=90。，AB=15,

AC=12.D為AC邊上一點(diǎn),連接將△480沿80折疊，若點(diǎn)力恰好落在線(xiàn)段8C的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)E處,

連接?！陝t0E的長(zhǎng)為.

【答案】K

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理.先由

折疊的性質(zhì)得到8E==15,AD再由勾股定理求出BC=9,從而得到CE=6,設(shè)力。=DE=x,

則DC=AC—力。=12—再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，BE=AB=15,AD=DE,

?.?在△ABC中，Z.ACB=90°,AB=IS,AC=12,

：.BC=V/1F2-AC2=9,ZDCE=90°,

.,.CE=BE—BC=6,

設(shè)力。=OE=x,則。。=/1。-/19=12—%,

在RgECD中，CE2+CD2=DE2,

.?-62+(12—x)2=x2,

解得x=y,

.'.DE=熱

故答案為:y.

15.已知：如圖，在△48C中，AB=BC,^ABC=120°,8E_L4c于點(diǎn)D,且。E=。8,則△?！?是_三

角形.

cE

【答案】等邊

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解答時(shí)先由三線(xiàn)合一得到=再證明

△CDE三△AOB可得到CE=AB=BC,進(jìn)而證明△CE8為等邊三角形.

【詳解】解：???△4BC中，AB=BC,LABC=120°,BE14C于點(diǎn)

.-.CD=AD,Z.CBE=^Z-ABC=60°,

,；DE=DB,Z.CDE=Z.ABD,

△CDE=△ADB

：.CE=AB,

-AB=BC

：.CE=BC

"BE=60°,

.?.△CEB為等邊三角形.

故答案為：等邊

16.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).已知圖中心8兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一

個(gè)格點(diǎn)。，使成為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C有個(gè).

A

III

【答案】8

【詳解】如圖,

紅色的4個(gè)點(diǎn)可以作為點(diǎn)C,

48是底邊時(shí)，黑色的4個(gè)點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,

所以，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是4+4=8.

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題考杳了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，要注意力8是腰長(zhǎng)與底邊

兩種情況討論求解.

三、解答題（本大題共8小題，滿(mǎn)分72分）

17.（6分）（24-25七年級(jí)下?山東濱州?階段練習(xí)）（1）已知5Q+2的立方根是3,3a+b—l的算術(shù)平方

根是4,c是舊的整數(shù)部分，求3a-b+c的平方根.

（2）一個(gè)正數(shù)x的平方根分別是2a—5和2a+1,求正數(shù)x.

【答案】（1）±4；（2）9

【分析】本題考查了平方根和立方根的綜合，熟練掌握相關(guān)定義列出方程是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)求出。，〃的值，再估算出的大小，可得c的值，即可求解.

（2）根據(jù)平方根的性質(zhì)可得2a—5十2a十1=0,求出口的值，即可.

【詳解】解：（1）???5a+2的立方根是3,

??.5a4-2=27,

解得Q=5,

又?；3Q+b-1的算術(shù)平方根是4,

.*.3a+b—1=16,

?:a—5,

解得：b=2,

???c是g的整數(shù)部分，而3Vgv4,

AC=3,

??.3a—h+c=16,

.?.3Q-b+c的平方根是±4；

（2）?.?正數(shù)x的平方根分別是2a-5和2a+1,

??.2a-54-2a+1=0,

解得：a=l,

二正數(shù)x=（2a-5）2=（—3）2=9.

18.（6分）（24-25八年級(jí)下?云南昆明?期末）如圖，點(diǎn)4B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，

解答下列問(wèn)題：

A

⑴線(xiàn)段"的長(zhǎng)為,線(xiàn)段4c的長(zhǎng)為；

⑵連接8C,判斷△/IBC的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】（i）VTU,V2；

（2）△ABC是直角三角形，證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理.

（1）根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】（1）解：由圖可知，AB-Vl2+32=V10,AC=Vl2+I2=V2,

故答案為：x/To?V2；

（2）解：△4BC是直角三角形，

證明：由（1）知,AS2=10,AC2=2,

-BC2=22+22=S,

-.AC2+BC2=AB2,

???△4BC是直角三角形.

19.（8分）（24-25八年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美〃四邊形，現(xiàn)有如圖所示

的“垂美"四邊形A8CD,對(duì)角線(xiàn)北，8。交于點(diǎn)0.

（1）若40=2,BO=3,CO=4,DO=5,請(qǐng)求出AB2,BC2,CD2,的值

⑵若48=6,CD=10,求叱+業(yè)的值.

⑶請(qǐng)根據(jù)（1）（2）題中的信息，寫(xiě)出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論.

【答案】（）222

1482=13,BC=25;CD=41,AD=29

(2)136

⑶"垂美"四邊形邊的平方和相等

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“垂美”四邊形的定義可得4cl再根據(jù)勾股定理即可求解；

(2)根據(jù)"垂美"四邊形的定義可得ACJ_8。，進(jìn)而得至必。2+8。2=36,CO2+D02=100,tgffiFC2+AD2

=BO2+C02+。。2+4。2即可求解；

(3)由(1)(2)得至伊82+。。2=8。2+4。2,即可求解.

【詳解】(1)解：???四邊形MCD是“垂美〃四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC,8D交于點(diǎn)0,

:.ACLBDt

vAO=2,BO=3,CO=4,DO=5,

AB2=AO2+B02=22+32=13,BC2=BO2+0C2=32+42=25,CD2=CO2+D02=42+52

222

=41,DA=叔+D0?.=2+5=29,

432=13,8c2=25,CD2=41,/ID2=29；

(2)?.?四邊形ABC。是“垂美〃四邊形，對(duì)角線(xiàn)47,80交于點(diǎn)。，

AC1BD,

48=6,CD=10,

力。2+B02=AB2=62=36,CO2+D02=CD2=102=100,

BC2+AD2=BO2+C02+D02+A02=36+100=136：

(3)由(1)(2)可得：AB2+CD2=BC2+/4D2,即"垂美"四邊形對(duì)邊的平方和相等.

20.(8分)(25-26八年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí))對(duì)于實(shí)數(shù)m我們規(guī)定：用符號(hào)［依］表示不大于G的最

大整數(shù)，稱(chēng)［G］為。的根整數(shù)，例如：［眄］=3,

(1)仿照以上方法計(jì)算：［VI司=_；［&U同=_.

(2)若寫(xiě)出所有滿(mǎn)足題意的x的整數(shù)值一.

如果我們對(duì)。連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止.例如：對(duì)10連續(xù)求根整數(shù)2次”而［=3fg］=l,這

時(shí)候結(jié)果為1.

(3)對(duì)200連續(xù)求根整數(shù)，_次之后結(jié)果為L(zhǎng)

(4)只需進(jìn)行4次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是

【答案】(1)4,45：(2)1,2,3；(3)3：(4)65535.

【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和猜想能力，同時(shí)也考查了一個(gè)

數(shù)的平方數(shù)的計(jì)算能力.

(1)先估算板和質(zhì)芯的大小，再由新定義可得結(jié)果：

(2)根據(jù)定義可知1W我V2,即1WXV4,可得滿(mǎn)足題意的訃勺整數(shù)值;

(3)根據(jù)定義對(duì)200進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為1：

(4)最大的正整數(shù)是65535,根據(jù)操作過(guò)程進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：(1)v4<V18<5,V2025=45,

???[V18]=4,[V2025]=45；

故答案為：4,45

(2)vl2=l,22=4,且雨=1,

???x=1,2,3；

故答案為：1,2,3：

(3)第次：[同3]=14,

第二次：[VT4]=3,

第三次：[g]=1,

???對(duì)200連續(xù)求根整數(shù)，3次之后結(jié)果為1；

故答案為：3

(4)最大的正整數(shù)是65535,

理由是：：2562=65536,15?=225,162=256,42=16,32=9,

??.[<65535]=255,[V255]=15,[洞=3,[V3]=1,

..對(duì)65535只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?.

■-?只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是65535.

21.(10分)(24-25八年級(jí)上?湖南衡陽(yáng)?期中)如圖，^BAD=LCAE=90°,AB=AD,AE=AC,

AFLCB,垂足為立

(1)求證；△/BC三△4OE；

(2)求"力C的度數(shù)；

⑶求證：LABF=^ADC,并宜接寫(xiě)出線(xiàn)段C。、BC、斯之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)45°

(3)見(jiàn)解析,CD=2BF+BC

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形.

(1)根據(jù)SAS證明△A8C三即可；

(2)根據(jù)土C4E=90。，AC=AE,求出乙E=45。，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出48cA=々E=45。，根據(jù)

AFLBC,得出乙。凡4=90°,即可求出乙。4F=45°；

(3)延長(zhǎng)8尸到G,使得rG=FB,連接力G,由△84C三△D4E得，C84=NED4,證明△CG4三△CD4

(AAS),得UKG=C。，根據(jù)CG=CZ7十Z?"十"G=CZ?+2/7",即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：v^BAD=LCAE=90°,

：,Z.BAC+Z.CAD=90°t

乙CAD+Z.DAE=90°,

???LBAC=Z-DAE,

在△BAC和△/)/!￡?中，

(AB=AD

\^BAC=Z-DAE,

IAC=AE

???△BAC^△D/1F(SAS)；

(2)解：vZ.CAE=90°,AC=AEt

ZE=45°,

由(1)知△B4Cwz\04E,

.**LBCA=LE=45°,

?：AF1CB,

???LCFA=90°,

LVAC=45°；

(3)解：CD=2BF+BCx理由如下：

延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,連接4G,如圖所示:

???AhBG,

AB=AG,

/.ABF=NG,

???△BAC^△DAE,

:.AB=AD,Z.CBA=/.EDA,

AG=AD,Z.ABF=Z.CDA,

:?乙G=Z.CDA,

vLGCA=ZDM=45°,

.?.在△CGA和△CZM中，

(/.GCA=N0G4

LG=Z-CDA,

AG=AD

CGA^△CZM(AAS),

：.CG=CD,

vCG=CB+BF+FG=CB+2BF,

:.CD=2BF+BC.

C

BP平分々48C交/C于點(diǎn)0,

(2)如圖(2),若￡為力。上一點(diǎn)，RAE=0C.求證：PELAO.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(1)證明4P=NA0P,即可得到結(jié)論：

(2)過(guò)點(diǎn)。作。D184于點(diǎn)。，證明△P4E三△400(SAS),得到2/EP=乙400=90。，即可得PEJ.4。.

【詳解】(1)證明：vzC=90°,

:.Z.CBO+Z.COB=90°,

-Z.BAP=90°,

.'.Z.PBA+ZLP=90°,

???BP平分N力BC,

.,.Z.PBA=Z.CBO,

；/P=乙COD,

"COB=Z.AOP,

：.L?=Z.AOP,

“P=AO.

(2)證明：過(guò)點(diǎn)。作。D18A于點(diǎn)。，

vzC=90°,

.?.0C18C,

???8P平分乙ABC,

：.OC=OD,

-AE=OC,

"E=ODt

???OD184

:zAOD+Z.OAD=90°,

-Z.BAP=90°,

.-.Z.PAE+LOAD=90°,

,??/.PAE=Z.AOD,

'：AP=AO,AE=OD,

△P/1E=A/1OD(SAS),

“AEP=乙ADO=90°,

.-.PEIAO.

23.(12分)如圖，在△ABC中,4C=8C,在△然，外部取一點(diǎn)D,連接A。、BD、CD,且CD平分

△ADB,

圖1圖2

(1)如圖1,求證：乙BCD=iBAD；

(2)如圖2,當(dāng)乙4。8=60。時(shí)-，將△力。8沿AB翻折，點(diǎn)。落在點(diǎn)￡處，連接CE,若CE工BE,試探究線(xiàn)段4?

與線(xiàn)段C。的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)CD=3AE,理由見(jiàn)解析

(分析］(1)過(guò)C作CE1AD于E,CF1BD于F,CH1AB于H,設(shè)CD與AB相交于點(diǎn)M,可證Rt△ACE三Rt△BCF

(HL),得到乙4CE=N/TB,乙CAE=UBF,CE=CF,即得44cB=匕反”，再證明Rt△CED三Rt△CTO

(HL),得到NECD=乙FCD=由等腰三角形的性質(zhì)可得4BCH=^ACB,即得到zBC"="CD,

進(jìn)而由余角性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義可得乙1=乙2=43,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求證；

(2)先證明△ACS是等邊三角形，得至但B=BC=/C,LCAB=LABC=60°,在CD上截取C"=力。，連

接8凡作NM4D=60。交CD于M,連接EM、BM,設(shè)CD與力B相交于點(diǎn)G,可證△4DM是等邊三角形，得到

AD=DM=AM=AE,可證明△4MB三△AEC(SAS),得到N3=N4,BM=CE,進(jìn)而證明

△M8C三△ECB(SAS),得到4cM8=ZBEC=90。，再證明△ABD三△CB"SAS)，得到RO=BF,即得

DM=FM,即得到4E=DM=FM=CF,即可求證.

【詳解】(1)證明：如圖，過(guò)C作CE14)于E,CF工BD于F,CH14B于H,設(shè)CZ)與力B相交于點(diǎn)M,

A

D

圖1

:.LCEA=Z.CFB=90°,

-CD^Z.ADB,

.?.CE=CF,

在RtZX/lCE與RtZXBCF中，

(AC=BC

ICE=CF'

..Rt△ACE^Rt△ZJCF(HL)?

...4ACE=^FCB,乙CAE=^CBF,CE=CF,

.,.Z.ACB=Z.ECF,

在Rt△CED和Rt△CFD中，

(CD=CD

\CF=CE'

.?.Rt△CED=Rt△CFD(HL),

??ZECD=Z.FCD=!乙ECF,

-AC=BC,CHLAB,

：/3CH=\z-ACB,

:ZBCH=Z.FCD,

“BCH+41=90°,乙FCD+42=90°,

??.z.1=z.2,

???CD平分乙/DB,

.,.z.2=z3,

.*.zl=z2=z3,

在aCMB和△4M0中，

Z.CMB=N/MO,Z1=Z3,

:/BCM=￡MAD,

即/BCD=乙BAD：

(2)解：CD=3AE,理由如下：

MACB=60°,AC=BC,

??.△4C8是等邊三角形，

.-.AB=BC=AC,Z,CAB=Z.ABC=60°,

,：CE1BE,

??/BEC=90°,

在CD上截取CT=力。，連接8用作/MAD=60。交CD于M,連接EM、8M,設(shè)CD與A8相交于點(diǎn)G,

圖2

=乙MAD,

：.LCAM=Z.DAB,

由折疊得，乙DAB=^EAB,AD=AE,

:.Z-CAM=Z.EAB,

.*.zl=z2,

由(1)可知，LBCD=LBAD,

,:乙BGC=Z.AGD,

???乙40G=乙ABC=60°,

是等邊三角形，

.-.AD=DM=AM,

：.AD=DM=AM=AEt

?MB=AC,

△AMB^△/EC(SAS),

??.Z.3=Z.4,BM=CE,

SBC=Z.ACB=60°,

:.乙MBC=乙ECM,

?：BC=CB,

AMBC三△ECB(SAS),

.'.Z.CMB=Z.BEC=90°,

即BM1DF,

在△48。和中，

(AD=CF

\^BAD=乙BCF,

IAB=CB

△/15D=ACFF(SAS),

=DF,

?:BM工DF,

:.DM=FM,

?：CF=AD,AD=DM=AM=AE,

'.AE=DM=FM=CF,

:.CD=3AE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性

質(zhì)等，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

24.（12分）（24-25七年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）某校七年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這

種典型的基本圖形.

（1）如圖①，在△4BC中，ABAC=90°,AB=AC,直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)兒BD1直線(xiàn)/,CE1直線(xiàn)/,垂足分別

為D、E.可證得：OE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系為二

（2）組員小麗想，如果將圖①中的直角變式為一般情況，那么結(jié)論是否成立呢？如圖②，將（1）中的條件

改為：在△力8c中，A