九年級數(shù)學上學期期中模擬卷?拔尖卷【蘇科版】

全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（2024?廣東?模擬預測）若關于x的一元二次方程+軌+。=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a,c的值

可以是（）

A.a=1,c=4B.Q=-1,c=—5

C.a=3,c=1D.a=2,c=2

【答案】C

【分析】本題主要考查了根的判判式，利用一元二次方程根的判別式，得出ac<4,再進行計算判斷即可.

【詳解】解：由題知，

因為關于x的一元二次方程+依+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，

所以△=42-4XQXc>0且QH0,

：.ac<4,

當a=l,c=4時，ac=4,故選項A不符合題意；

當a=-1,c=-5時，ac=5>4,故選項B不符合題意；

當a—3,c—1時,ac=3<4,故選項C符合題意；

當a=2,c=2時,ac=4,故選項D不符合題意；

故選:C.

2.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，△ABC內接于。。，DE為。。的直徑，且DE148J二點尸，連接

CE.若41=35°,乙CED=15°,則4B的度數(shù)為（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，三角形的內角和與外角定理，解題的關鍵是掌握垂徑定理和

圓周角定理.根據(jù)垂徑定理得N4FD=90。，AF=BF,得到族=而，推出N4CB=244CE,根據(jù)三角形

的外角定理求出4CGE,再根據(jù)三角形的內角和定理求出乙4CE,即可求解.

【詳解】解：???OE為。。的直徑，且。于點F,

AZ.AFD=90°,AF=BF,

???AE=BE,

乙ACE=乙BCE,^^.ACB=2LACE,

vLA=35°,

設4C與DE交于點G,

???乙CGE=^A+Z.AFD=35°+90°=125°,

VMED=15°,

LACE=180O-Z,CGE-Z.CED=40°,

LACB=2^ACE=80°,

???（B=180°-Z.ACB-Z.A=180°-80°-35°=65°,

故選：A.

3.（2025?四川巴中?中考真題）有一組數(shù)據(jù)：1,2,3,3,4,5.在這組數(shù)據(jù)中加入一個整數(shù)。，則下列一

定不變的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】B

【分析】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的概念，利用相關概念逐一判斷即可，熟知相關概念時

解題的關鍵.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中加入一個整數(shù)。，平均數(shù)有可能改變，方差也可能改變，故A、D不符合題意：

若a=l,則該數(shù)據(jù)的眾數(shù)由原來的3,變?yōu)?和3,所以眾數(shù)有可能改變，故C不符合題意；

若。工3,則新數(shù)據(jù)中間數(shù)為第四個數(shù)，為3,若。>3,則新數(shù)據(jù)中間數(shù)為第四個數(shù)，為3,中位數(shù)不變，

故B符合題意，

故選:B.

4.關于x的方程％2-2mx+m2=4的兩個根刀［,不滿足不=2h+3,且%〔>不，則的值為()

A.-3B.1C.3D.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根.根據(jù)(x—m+2)(x—m—2)=0,%i>x2

得到打=m+2,x2=m-2,由勺=2x2+3可得m的方程，解m的方程即可.

【詳解】解：—2mx+m2=4,

???(x—m+2)(x—m—2)=0,

.-.x-Tn4-2=0或尤-m-2=0,

>X2，

.,.%!=TH+2,x2=m—2,

vxj=2X2+3,

?,-7n+2=2(n?—2)+3,

解得m=3.

故選:C.

5.(2024?湖北?模擬預測)如圖，AB,CO是。?；ハ啻怪钡膬上遥?。“，力0于“，若8c=2百，那么?！?/p>

A.1.5B.2C.V3D.無法確定

【答案】C

【分析】連接力。并延長交。。于點F,連接。凡BD,利用圓周角定理、垂徑定理以及三角形中位線定理來

求解?！钡拈L度.

【詳解】解：連接4。并延長交。。于點F,連接。入BD,

是直徑，

：.LADF=LABF=

,,.AB1BF,

?：CD1AB,

.?.CD||BF,

:.乙BDC=/.DBF,

.?.前=DF,

:.DF=BC=2v5,

?：0HA.AD,

'.AH=DH.

又以。=OF,

.?O夕是△4/）尸的中位線，

.'.OH=叔F=V3,

故選:C.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、平行線的判定及性質、垂徑定理以及三角形中位線定理，熟練掌握

這些定理并能靈活運用是解題的關鍵.

6.（2025?福建三明?一模）已知方程（％—2）（%2一4%+Q）=0的三個互不相等的實數(shù)根可作為三角形的三邊

邊長，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.1<a<3B.1<a<4

C.3<a<4D.2<a<3

【答案】C

【分析】本題考查的一元二次方程根的判別式的應用，根與系數(shù)的關系，三角形三邊關系的應用，先解方

程得到一個解為％=2,結合題意可得好一4%+a=0方程有兩個不相等的正實數(shù)根，且|勺一通|<2,再進

一步解答即可.

【詳解】解：；(x—2)(%2—4x+a)=0,

:.x—2=0或X2—4x+Q=0,

當力一2=0時，則％=2,

當“2一軌+Q=0時，結合題意可得方程有兩個不相等的正實數(shù)根，

2

=(—4)—4a>0,%14-%2=4>2,x^x?=a>0,

解得：a<4,

?.?方程Q-2)(%2—4x+a)=0的三個互不相等的實數(shù)根可作為三角形的三邊邊長，

|Xj—X2IV2,

x2

+2)—x2=V16—4a<2,

.,?0<16—4a<4,

解得：3<aW4,

綜上：3<a<4,

故選：C

7.(2024?湖北?三模)為表彰文明有禮好少年，七、八年級分別選出兩名同學和校長合影，校長坐在最中

間，四名同學隨機就座，則七年級兩名同學均與校長相鄰的概率為().

12校長34

【答案】C

【分析】本題主要考查概率問題，掌握列舉法是解題的關鍵.

根據(jù)題意，列舉出所有的情況，根據(jù)題意計算概率即可.

【詳解】根據(jù)題意，不妨設七年級兩名學生為力、心八年級兩名學生為。、D,

則就坐的情況與位置1,2,3,4對應的有：

A,B,C,D；A,B,D,C\A,C,B,D；A,C,D,B；A,D,B,C；A,D,C,B；

B,A,C,D；B,A,D,C；B,C,A,D；B,C,D,A；B,D,A,C；B,D,C,A；

C,B,A,D；C,B,D,A；C,A,B,D；C,A,D,B；C,D,B,A；C,D,A,B；

D,B,C,A；D,B,A,C；D,C)B,A；D,C,A,B；D,A,B,C；D,A,C,B；

總共有24種情況，七年級兩名同學均與校長相鄰，即48在2,3號位置的有4種,

所以七年級兩名同學均與校長相鄰的概率（=

故選：C.

8.（2025?河南駐馬店?三模）如圖，是由眾多邊長為2的正三角形組成的網(wǎng)格，B、C、。均為頂點，則前萬

的長為（）

,r%、，、，、/%\,八、//%\?.八，、、/，、、//

?/、\/，%、，/、、，1/、，，X、?X/->Z!、\//、/

，/%、?八、/八%，，、，，、/，、%，八、//%*，/

//%G，/、、，，、%/，、、，，、、,，、、,，、、，，、%/，

A.手itB.yJTC.D.殳

【答案】A

【分析】如圖，由題意可得:。為近5所在圓的圓心，為格點，取格點兒瓦尸,連接0吃8尸,8￡0￡力。,04。8,。0,8。,

過。作0〃14。于“，△08/三△DO力三△8。/?,可得△BO。為等邊三角形，Z.BOD=60°,求解00=

^524-（V3）2=V28=2V7：再利用弧長公式計算即可.

【詳解】解:如圖，由題意可得：。為顏所在圓的圓心，為格點，取格點4瓦凡連接

OF.BF.BE.DE.AD^A^B.OD.BD,過。作。，1ADTH,

??,由題意可得：0F=4=BE=AD,LOFB=120°=LBED=LOAD,BF=OA=DE=2,

.?.△OBFwADOAwABDE,

?,.08=DO=BD,

.?.△B。。為等邊三角形，

.,.Z.8OD=60°,

由等邊三角形的性質可得：^AOH=30°,OA=2,而乙4"。=90。,

.'.AH=1,OH=V22-12=x/3,

:.DH=5,

??.OD=J52+(V3)2=V28=2V7；

二兩的長哈薩二第n：

故選：A

【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質，弧長的計

算，三角形的外接圓的圓心的確定，作出圖形是解本題的關犍.

9.(2025?浙江?模擬預測)設關于x的方程。爐+(a+2)x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根肛，x2,且

X!<1<x2,那么實數(shù)a的取值范圍是()

22222

A.——B.—-<Za<Z-C.a>-D.——<a<0

JLJL/DO11

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系，以及不等式的綜合應用.根據(jù)一元二次

方程的根的判別式，建立關于。的不等式，求出。的取值范圍.又因為％]<1<工2,所以(心-1)(無2—1)

<0,即％1*2—01+r)+1V°，利用根與系數(shù)的關系，

【詳解】解：％?方程有兩個不相等的實數(shù)根，

:.aH0且4>0,

.?.(a+2/—4ax9a=-35a2+4G+4>0,

解得—!<a<

,a+2

???%]+%2=--?X1X2=9,

又"I<1<x2,

???%]—1V0,%2—1>0,

—1)(X2—1)<0,

—Ql+=2)+1V0，即9+誓+1VO,

解得一卷■<"(),

'-a的取值范圍是一看Va<0.

故選:D.

10.（2025?湖北武漢?三模）如圖，線段4c為。。的直徑，ZABC的角平分線與乙。48的角平分線交于一點

D,且N力BC的角平分線與交于點E,點B為4C上一動點，當點。從點C運動到點力時，則D與尸兩點的

運動路徑比是（）

A.近而B.V5C.粵D-V2

【答案】D

【分析】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內心等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找點的

運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

如圖1,連接CD,由題意可知，點。是△力BC的內心，由4C為直徑，可得乙1夙?=90°,進而可得人IOC=135°

為定值，所以點。的軌跡為一段弧，如圖2,以點E為圓心，E力為半徑畫圓，延長BE,交圓E于點M,連接

AM,CM,可證乙ADC+44MC=180°,根據(jù)對角互補的四點共圓，可知點。在以點E為圓心，￡4為半徑的

圓上運動，運動軌跡為通乙設04=r,則￡4=揚，進一步可算出點。的運動路徑為與灰，由圖2可知,

點尸的運動軌跡為蒲，可算出點F的運動路徑為/而，最后計算比值即可得解.

【詳解】解：如圖1,連接CD,

■.?點D是N/WC和的角平分線的交點，

二點。是△ABC的內心，

??.CO平分乙4C氏

?.FC為直徑，

???乙48c=90°,

LBAC4-Z.ACB=180°-90°=90°,

■-?^ADC=180°-（ADAC+AACD）=180°-^BAC+/LACB）=180°-1x90°=135°為定值，

點。的軌跡為一段弧，

???此圓弧的圓心一定在弦力C的中垂線上，

如圖2,過圓心。作BEJ.4C,連接4E,CE,

設0力=r,則OE=r,

???AC為直徑，

:?乙AEC=90°,

v8E平，｝心48。，

???LABE=乙CBE,

:.AE=CE,

???AE=CE=y/OE24-OA2=Vr2+r2=V2r,

如圖2,以點E為圓心，區(qū)4為半徑畫圓，延長8E,交圓E于點M,連接AM,CM,

：〃EC是圓E中弦4c所對的圓心角，而〃MC是圓E中弦力C所九?的圓周角，

...=45°,

vLADC=135°,

Z.ADC+Z.AMC=180°,

.??點4M,C,D,四點共圓，

.??點。在以點E為圓心，E4=魚廠為半徑的圓上運動，運動軌跡為加，

???點D的運動路徑為I-=立鬻叵=零，

ADC3602

由圖2可知，當點。從點C運動到點A時，點尸的運動軌跡為通，

???點廠的運動路徑為/-=嗖產(chǎn)=y,

CB3602

.??點。和點F的運動路徑比為粵招=V2：l.

圖1圖2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.（2025?江蘇蘇州?模擬預測）若a是方程必+%_1=o的根.則代數(shù)式2025+a2+白的值是

【答案】2028

【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及方程根的定義、整體代入法求代數(shù)式值、分式的混合運算等知識，根

據(jù)題中所給代數(shù)式的結構特征，結合已知條件，恒等變形代值求解即可得到答案，熟練掌握分式混合運算

法則化簡求值是解決問題的關鍵.

【詳解】解：；a是方程“2+x-1=0的根，

2

???a+a—1=0,即Q2=1-Q,

2。25+小+攝

1

=2025+(l-a)+y—

(1-Q)21

=2025+/~-+

1-a1—a

Q2—2a+2

=2025+-----------

1-a

(l-a)-2a+2

=2025+

1-a

3(1—a)

=2025+------

1-a

=2025+3

=2028,

故答案為：2028.

12.(2024?江蘇宿遷?三模)如圖，點。在△4BC的邊BC上，AC=OC,zC=36°,以。為圓心04為半徑的

圓交48于點。，且80=。4則NB的度數(shù)是。.

【分析】此題考查了圓的基本性質，等腰三角形的性質、三角形外角性質，熟記等腰三角形的性質、三角

形外角性質是解題的關鍵.

連接。0,根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，求得乙1。。二)x(1800—36。)=72。，根據(jù)三角

形的外角的性質乙4。。=Z.B+4a40求解即可.

【詳解】解；如圖,連接。。，

,:BD=OA=OD,

B=CBOD,Z.ODA=Z.OAD,

vLODA=Z.B+乙BOD,

???4ODA=Z.OAD=2LB,

vzC=36°,AC=OC,

LAOC=|X(180°-36°)=72%

vAAOC=Z.B+Z.OAD,

:.3/B=72°,

:?乙B=24°,

故答案為:24.

13.已知數(shù)據(jù)％i，不，…，%的平均數(shù)為m，方差為s2,則數(shù)據(jù)A國+b,kx2+b,???,kxn+b的平均數(shù)為

方差為，標準差為.

【答案】km+bk2s2ks

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、標準差的定義列式計算即可.

【詳解】???數(shù)據(jù)X1，外，…，辦的平均數(shù)為〃?，方差為s2,

222

???=m,s=3Kxi—m)+(x2-m)2+...+(xn—m)],

..kx\+b+kx2+b-￥...+kx^b_"打+與+…+4])nb_..

■:n=十=KTTI十°,

nnn

,數(shù)據(jù)k%i+與，kx2+b,…，々%n+b的平均數(shù)為km+b,

1

22

—[(/cxx+b—km-b)2+(/cx2+匕-km—b)+...+(kxn+b—km—b)\

1

=-[(kxi—km)2+(kx2—km)2+...+(kx—km)2]

nn

222222

=，[k(xi—m)+k(X2—m)+...+k(xn—m)]

=A2s2

,數(shù)據(jù)k%i+與，kx2+b,…，kxn+b的方差為k2s2,標準差為V+s?=ks.

故答案為km+b；k2s2；ks.

【點睛】本題考查了平均數(shù)、方差、標準差，熟記平均數(shù)、方差、標準差的定義是解題的關鍵.

14.（2025?江西?模擬預測）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術〃.如

圖，而是以點O為圓心、。力為半徑的圓弧，點N是的中點，MNJ.AB,交檢于點"會圓術”給出

麗的弧長/的近似值計算公式：l=AB+若.當04=5,AB=8時，則/的值約為

【答案】8.8

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識，掌握這些知識是關鍵：連接。N.由垂徑定理得0N_L4B,

結合MNJ.A。，得M,M。二點共線，由勾股定理求得ON的長，從而求得MN的長，再代入弧氏/的近似

值計算公式即可求解.

【詳解】解：如圖,連接0N.

??,點N是48的中點，

???ONIA8,

又?;MN工AB,

N,。三點共線，

-：0A=5,AB=8,

/.AN=\AB=4,

...ON=70A2-AN2=3,

???MN=0M-0N=5—3=2,

I=AB+^-=8+^-=8.8；

OA5

故答案為；8.8.

15.若關于x的一元二次方程x2-3%+m2+m=0（7n>0）,當m=1,2,3,…,2022時，相應的一元二次方程

的兩根分別記為由,仇次2/2；。2c22—2022,則看++++…段;+念的值為

【處案】竺竺

“u人'2023

【分析】利用根與系數(shù)的關系得到+01=3,a1/?i=1X2;42+02=3,。202=2X3;"2022+02022

=3,散。22角022=2022x2023：把原式變形，再代入，即可求出答案.

【詳解】解：,-X2—3x+m2+m=0,m=1,2,3,???,2022,

,?由根與系數(shù)的關系得：?1+/?1=3,?1/?!=1x2：例+02=3,12夕2=2X3：..=2022+02022=3,

戊202202022=2022X2023;

|臼-1'_a】+61a2+02.“2022+02022

,際八二all+a2/?2十--a2O22H2O22

333

-1X22x3”“2022x2023

/11111\

=3x(1-2+2-3+，-2022-2023；

=3x(—2023)

2022

=,>2023

6066

二2023

故答案為：嬲

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系:若％1，外是一元二次方程a/+以+c=0（ah0）的兩

根時，/+力=-S，%逐2=

16.（2024?湖北?模擬預測）如圖，△48C內接于。0,且48=AC,直徑AD交BC于點E,F是OE的中點,

如果BDIICF,BC=2V5,則線段CD的長為.

【答案】V6

【詳解】本題考查的知識點有圓的性質（直徑所對圓周角為直角）、三角形全等的判定、等腰三角形三線合一

的性質以及勾股定理.通過連接輔助線。配利用圓的性質（直徑所對圓周角為直角）、三角形全等判定（HL、

ASA）以及勾股定理，逐步推導得出線段CD的長度.

【解答】解：連接0C,

???AD是。。的直徑，

.-.ZABD=ZACD=90°,

在Rt△ABD與Rt△ACD中,

?.AB=AC,AD=AD,

.-.RtAABD=RtAACD,

.-.ZBAD=ZCAD,

???AB=AC,

"BAD=ZCAD,

.?.ADIBC,BE=EC,

?.?RD||CF,

?0.Z.DBE=zFCE,

在4BED與ACEF中,

ZDBE=Z.FCE

BE=EC,

/BED=4CEF

ABED^ACEF,

.-.CF=BD,FE=ED,

vFE=ED,F是OE的中點，

.-.OF=FE=ED,

設OF=FE=ED=a(a>0),則OD=OC=3a,

?.ADIBC,CE=：BC=VL

.-.OC2-OE2=CE2,

.,.9a2-4a2=5,

.-.ED=1,

??.CD=VDE2+EC2=J12+（后2=訪

故答案為：V6.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）

17.（6分）（2025?上海?模擬預測）如圖，在△力BC中，AB=AC,圓。的圓心在△48C內部，與△力BC

的邊順時針分別交于點E、。、F、G、N、M（點E在線段AB上），射線4。交邊MN于點P.如果DE=FG；

（1）求證：BM=NC.

（2）連接EM、NG,求證：LBEM=Z.NGC.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了全等三角形綜合問題、角平分線的判定定理、垂徑定理的實際應用等知識點，熟記相

關幾何結論是解題關鍵.

（1）作。OH21AC,推出。，1=。，2，進而得。/平分484C,即可求證；

（2）^,AAOH^^AOH2^AHA=AH2,AE=AG,進而得BE=CG,再證△8EM三△CGN即可；

【詳解】（1）證明：作0Hi_L4B,OH2LAC,

???OHI=OH2,

.??OA平分NB/C,

-AB=AC

BP=CP,04IBC,

MP=NP

???BM=CN

（2）證明：如圖所示:

???0H114B,OH21AC,

=Z,AH20=90°,

"AO=AO,OHi=OH2,

???△力0“1三2\4?！?：

AH1=AH2,

?:DE=FG,HiD=HR,HZF=HzGt

HiD=H2F,

.?.AH1-H1D=AH2-H2F,

BPZD=AF,

AAE=AG,

vAB=AC,

:.BE=CG,乙B=乙C,

???BM=CN

???△BEM三△CGN,

:?乙BEM=“GN.

18.（6分）（24-25九年級上?福建寧德?期中）己知：實數(shù)m滿足am2+bm+l=0（aH0）.

⑴求證：b2—4a>0：

⑵若Q,匕都是奇數(shù)，關于m的方程am2+bm+l=0是否有整數(shù)根？并說明理由；

（3）若a=7,b=13,n2+13n+7=0,求”血+丁+1的值.

【答案】（1）見解析

⑵無整數(shù)根，見解析

⑶-1

【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關系.

（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可得b2—4xaxl豈0,即可得證；

（2）利用反證法求解即可；

（3）先證明出加、；是方程7d+13%+1=0的兩根，再由一元二次方程根與系數(shù)的關系得出m+：二—

租3=提代入計算即可得解.

【詳解】（1）解：?.?實數(shù)〃?滿足。62+力加+1=0,

二關于m的方程a/+bm+1=0有解，

，-4xax1>0,

:由2—4a>0

（2）解：無整數(shù)根，理由如下：

假設有整數(shù)根，

若m為奇數(shù)時，

?:a,b都是奇數(shù),

-.am2+bm+1為奇數(shù)，與am?+bm+1=0相矛盾：

若加為偶數(shù)時，

,-a,b都是奇數(shù)，

.,.am2+bm+1為奇數(shù)，與am?+brn+1=0相矛盾；

.??假設錯誤，

綜上所述，方程a?/+bm+1=0無整數(shù)根；

（3）解：若a=7,b=13,貝|」782+i3m+1=0,

vn2+13n+7=0,

713

n2—n+1=0,

.?.〃?、；是方程7/+13x+1=0的兩根，

,11311

,-.m+-=-y,7n--=7,

mn+6m+l,6m,113,6.

r—=m+k+xr+產(chǎn)t

19.(6分)(2025?江蘇揚州?二模)定義：我們把一個整數(shù)Q平方后得到的數(shù)。2稱為完全平方數(shù).例如:

32=9,。2=0,(-5尸=25,我們就將9,0,25這些數(shù)都稱為完全平方數(shù).

⑴如果一個完全平方數(shù)次滿足61工。24120,則滿足條件Q的值為_(請寫出所有滿足條件的數(shù))；

(2)〃是正整數(shù)，如果九-20和"+21都是完全平方數(shù)，求"的值;

⑶如果關于匯的一元二次方程Q/+2(2Q-l)x+4(Q-3)=0至少有一個整數(shù)解，請直接寫出滿足題意的正

整數(shù)a的值.

【答案］⑴±8；±9；±10

(2)420

(3)1：3；6；10

【分析】本題主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知識點，掌握相關運算法則成為解題的關

鍵.

(1)直接運用平方根的知識估算即可解答；

(2)設九-20=々2,九+21=7九2,k、m為正整數(shù)，易得(771+A)(m—k)=41,由1只有因數(shù)1和41,可

列方程組求得｛夕1弁，最后代入即可求得n的值；

(3)關于4的一元二次方程a%2+2(2a—l)X+4(a—3)=0至少有一個整數(shù)解，根據(jù)根的判別式可得

則x=二師亙,山方程的解為正整數(shù)，聲口為整數(shù)，設則8。+1二爐，

o3*a

解得：Q=—=出半工，設k=2m+l可得。=嗎出，然后代入驗證即可解答.

ooZ

【詳解】(1)解：???61<120,

.-.49<61<a2<120<121,

.?.49<a2<121,

???7V|a|<11,

???涉足條件a的值為±8、±9、±10.

(2)解：設n—20=/,n+21=巾2,八m為正整數(shù),

.-.m2—k2=n+21—(n—20)=41,

???(m4-k)(m-k)=41,

v41只有因數(shù)1和41,

??腰:屋〉解得：修:拈

vn-20=k2,

：.n=k2+20=202+20=420.

（3）解：???關于》的一元二次方程。/+2（2。-1萬+4（。-3）=0至少有一個整數(shù)解,

=[2(2a-l)]2-4a-4(a-3)=32a+4>0恒成立，即a

.v_-2(2a-l)±V32a+4_-(2a-l)±V8a+l=_2+鞏

??%--------.......--------------a

???因為方程至少有一個整數(shù)解且a是正整數(shù),

"+、/8a+l或

為整數(shù),

aa

設醞二T=k%為非負整數(shù)），貝U8a+l=k2,解得：a

OO

???〃為正整數(shù)，

?次為正奇數(shù)，且kwl,

設A=2m+1（m為正整數(shù)），則。=”止限士12=曳鏟=巴用，

ooL

當m=1時，Q=l,1±迤亙=4,符合題意；

a

當n=2時，a=3,1±迤亙=2,符合題意；

a

當m=3時,a=6,1-""1=—1,符合題意；

a

當m=4時，a=10,1±迺亙=1,符合題意；

a

當m=5時，a=15,】+'時=,V1,…際=_、＞_/不符合題意；

a15a15

???，

當戊＞4時，Q＞10,此時0v土國亙vl,一1＜七幽亙＜0,都不是整數(shù):

aa

???滿足題意的正整數(shù)a的值是：1;3；6：10.

20.（8分）（24-25九年級下?廣東茂名?階段練習）某校為加強書法教學，了解學生現(xiàn)有的書寫能力，隨機

抽取了部分學生進行測試，測試結果分為優(yōu)、良好、及格、不及格四個等級，分別用心4,C,。表示，

并將測試結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

衿寫能力等級測狀條形統(tǒng)計圖

4人數(shù)書寫隆力等級泅試曲形統(tǒng)計圖

根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答以下問題：

⑴本次抽取的學生共有人，扇形統(tǒng)計圖中力所對應扇形的圓心角是,并把條形統(tǒng)計圖補充

完整；

⑵若該校共有學生2800人，請估計一下，書寫能力等級達到優(yōu)秀的學生大約有人；

（3M等級的4名學生中有3名女生和1名男生，現(xiàn)在需要從這4人中隨機抽取2人參加電視臺舉辦的“中學

生司法比賽〃，請用列表或畫樹狀型的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.

【答案】⑴40,36。，圖見解析

⑵280

（3耳

【分析】（1）由C等級人數(shù)除以其人數(shù)占比即可得出本次抽取的學生總人數(shù)，用360。乘以A等級人數(shù)占比即

可得出扇形統(tǒng)計圖中4所對應扇形圓心角的度數(shù)，用本次抽取的學生總人數(shù)減去其他各等級人數(shù)即可得出8

等級人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖艮］可；

（2）利用樣本估計總體即可；

（3）先畫出樹狀圖，展示從這4人中隨機抽取2人所有等可能的結果，再找出被抽取的2人恰好是1名男生1

名女生的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算概率即可.

【詳解】（1）解：本次抽取的學生人數(shù)共有：

16?40%=40（人），

扇形統(tǒng)計圖中4所對應扇形圓心角的度數(shù)是：

4

360oX7X=36°,

40

8等級人數(shù)為：

40-（4+16+14）=6（人），

故答案為；40,36%

補全條形統(tǒng)計圖如下：

能力等級測試條形統(tǒng)計圖

（2）解：書寫能力等級達到優(yōu)秀的學生大約有:

4

2800X—40=280（人），

故答案為:280：

（3）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

開始

女2女3男女I女3男女1女2男女1女2女3

由樹狀圖可知，共有12種等可能的結果，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的結果有6種，

被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率=2=今

【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關聯(lián)，由扇形統(tǒng)計圖求總量，求扇形統(tǒng)計圖的圓心

角，求條形統(tǒng)計圖的相關數(shù)據(jù)，畫條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，列表法或樹狀圖法求概率，根據(jù)概率公

式計算概率等知識點，熟練掌握條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關聯(lián)及列表法或樹狀圖法求概率是解題的關

鍵.

21.（8分）根據(jù)以下素材，完成下列任務.

背景素材

隨著“綠色出行，低碳生活"理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通

工具.新能源汽車多數(shù)采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少二

背景

氧化碳氣體的排放，從而達到保護環(huán)境的目的，在國家積極政策的鼓勵下，新能

源汽車的市場需求逐年上升.

素材1某品牌新能源汽車1月份銷售量為3萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新

能源汽車的銷售量逐月遞增，3月份的銷售量達到5.07萬輛.

某汽車銷售公司搶占先機，購進一批新能源汽車進行銷售，該公司選擇一款進價

為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當該款汽車售價定為25萬元/

素材2

輛時，平均每周售出8輛，售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛，若該店計

劃下調售價，使平均每周的銷售利潤為96萬元.

問題解決

任務1根據(jù)素材1，求從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率.

根據(jù)素材2,為了推廣新能源汽車，此次銷售盡量讓利于顧客，求下調后每輛汽

任務2

車的售價.

【答案】任務1：從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為30%；任務2：下調后每輛

汽車的售價為21萬元

【分析】本題考查了增長率問題(一元二次方程的應用)，營銷問題(一元二次方程的應用)，解題關鍵是找準

等最關系，正確列出一元二次方程.

任務1：設從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為x,根據(jù)某品牌新能源汽車1月份銷

售量為3萬輛，3月份的銷售量達到5.07萬輛，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

(2)設下調后每輛汽車的售價為y萬元，則每輛汽車的銷售利潤為(y—15)萬元，平均每周可售出(58-2y)

輛，根據(jù)使平均每周的銷售利潤為96萬元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可.

【詳解】任務1：解：設從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為為

根據(jù)題意得：3(1+x)2=5.07,

解得：刈=0.3=30%,x2=-23(舍去)，

答：從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為30%：

任務2：設下調后每輛汽車的售價為y萬元.則每輛汽車的銷售利潤為(y-15)萬元，平均每周可售出8+舒

X1=(58-2y)輛,

根據(jù)題意得:(y-15)(58-2y)=96,

解得：力=21,y2=23,

???此次銷售盡量讓利于顧客，

???y=21,

答：卜調后每輛汽車的售價為21萬元.

22.(9分)(2025?吉林?模擬預測)如圖所示，AB=AC,48為。。的直徑，AC.BC分別交。。于E、

D,連結ED、BE.

⑴試判斷OE與3。是否相等，并說明理由；

(2)過點。作DF1AC,垂足為凡求證：OF是。0的切線.

【答案】(1)相等，見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了圓周角定理，圓的切線的判定，等腰三角形的性質，垂徑定理等知識點，正確添加輔

助線是解題的關鍵.

(1)連接力0,則力O_LBC,根據(jù)等腰三角形的性質得到乙&40=484。，進而得出得到麗二55,即可得

解；

(2)連接。0,先由圓周角定理證明BE||。凡由垂徑定理的推論得到OD_LBE,則。0_LDE故"是。。

的切線.

【詳解】(1)解：DE=BD,理由如下：

證明：連接4D，

“8為。。的直徑,

“D1BC,

?；AB=AC,

AACAD=乙BAD,

=BD

:.DE=BD；

(2)證明：連接。D,

-DFLAC,

:.4FA=90°,

“B是直徑，

：.LAEB=90°,

：.LAEB=Z.DFA,

:.BEIIDF,

由（1）得麗=麗,

:。。為半徑，

.??OD1BE,

.??OD1DF,

??.DF是。。的切線.

23.(9分)(2025?湖南長沙?二模)我們知道：關于％的一元二次方程a%2+b%+c=0(aHO,a,b,c均

為整數(shù))，如果b2-4QCN0時，這個方程的實數(shù)根就可以表示為％=上*三還，其中從一4函就叫做一元

二次方程根的判別式，我們用A表示，即△=/一4砒，通過觀察公式，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果A的值是一個完

全平方數(shù)(若〃=m2(m為整數(shù))，則n是一個完全平方數(shù))時，一元二次方程的根不一定都為整數(shù)，但是

如果一元二次方程的根都為整數(shù)，△的值一定是一個完全平方數(shù).

2

例：方程2%2一%一1=。，A=/,2_4ac=(_1)2-4x2x(-1)=9=3,A的值是一個完全平方數(shù)，但

是該方程的根為勺=1,x2=-1,不都為整數(shù)；方程/-6%+8=0的兩根勺=2,X2=4,都為整數(shù)，此

時A=b2-4ac=(-6)2-4x1x8=4=22,△的值是一個完全平方數(shù).

我們定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程a/+bx+c=O(awO,a,b,c均為整數(shù))稱為“幸運方程〃，兩

整數(shù)根稱為“幸運根”，代數(shù)式與產(chǎn)的值為該"幸運方程''的“幸運數(shù)〃，用尸(a,4c)表示，即/(Q力,c)=

4嚷2.若有另一個“幸運方程〃p%2+qx+r=o(pHO,p,q,r均為整數(shù))的"幸運數(shù)"為尸(p,q,r),若丁?

手(a,b,c)=c?尸(p,q,r),則稱F(a￡c)與F(p,q,r)互為“開心數(shù)〃.

⑴關于工的一元二次方程/-(mIl)xtm=0是一個"幸運方程

①當巾=2時，該幸運方程的“幸運數(shù)〃是：

②若該幸運方程的“幸運數(shù)〃是一1,則m的值為.

出若關于"的一元二次方程必一(2m-1)無+血2-2血一3=0(m為整數(shù)，且4<m<15)是"幸運方程"，

求血的值及該方程的“幸運數(shù)〃；

⑶若關于X的一元二次方程%2—mx++1=0與/一(九+2)x+2幾=0(7幾、幾均為整數(shù))都是“幸運方

程"，且其“幸運數(shù)〃互為“開心數(shù)”，求九的值.

【答案】(1)①一余②一1或3；

(2)m=9,該方程的“幸運數(shù)"為一券

(3)n=3或九=0

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及“幸運方程”的定義，解一元二次方程，一元二次方程根與

系數(shù)的關系；

(1)①把m=2代入方程x2-(m+l)無+m=o得到方程x2-3無+2=o,根據(jù)“幸運數(shù)〃的定義即可求解；

②艱據(jù)“幸運數(shù)”的定義可得方程m2—2血一3=0,解方程可求得m的值；

(2)通過m的取值范圍確定根的判別式F—4ac的范圍，繼而根據(jù)“整數(shù)根”特點確定根的判別式的取值，最

后結合m為整數(shù)確定血取值，按照“幸運數(shù)”定義求解即可；

(3)根據(jù)必一m“+瓶+1=0是"幸運方程〃得出/一7?%+機+1=0的兩個根為整數(shù)，設方程/

一mx+m+l=0的兩個分別為pq,根據(jù)根與系數(shù)的關系得出(p—l)(q—1)=2,進而根據(jù)pq為整數(shù)，得

出m的值為5或-1,求得F(l,—m,m+1)=-4,根據(jù)尸(1,—m,m+1)與F(l,一九一2,2")互為"開心數(shù)”得出

方程2幾=0+1)5—2)2,進而分m=5或m=-l,分別代入，解一元二次方程，即可求解.

【詳解】(1)解：①當血=2時,代入/-(加+l)x+m=0得，x2—3x+2=0,

4ac-/4x1x2-(-3)21日”.、1

??.FT=—而-=一中即尸(。力］)=一不，

故答案為；一右

②，衣題意，尸缶力,)=誓=g興產(chǎn)皿=一1,

整理得，m2-2m-3=0,

解得mi=-1,m2=3,

故答案為：-1或3：

(2)解：vx2—(2m—l)x+m2-2m—3=0,

.'.b2—4ac=[—(2m—I)]2—4x1x(m2—2m-3)=4m+13,

v4<m<15,

.??29<4m+13<73,

vx2-(2m-l)x+m2-2m-3=0是"幸運方程"，

.?力2-4ac是完全平方數(shù)，

即4m+13是完全平方數(shù)，

.,Am4-13=36或49或64,

解得m=吊或9或厚

44

??,m為整數(shù)，

.-.m=9,

當執(zhí)=9時，方程必-(2m-l)x+m2-2m-3=0化為爐-17r+60=0,

,、4ac-b24xlx60-(-17)249

ri=—=一彳；

49

二方程/-(2m-l)x+m2-2m-3=0的“幸運數(shù)”為――；

(3)解：???/-mx+TH+1=0是"幸運方程”

.'.x2—mx+TH+1=0的兩個根為整數(shù)，

設方程/一mx+機+1=0的兩個根分別為p,q,

???p+q=m,pq=m+1

???pq=(p+q)+1

：.pq-p-q=1,

???(p-1)(Q-1)=2

￥，7為整數(shù)，2=1x2=2x1=(-1)x(-2)=(-2)x(-l；i

當p—1=l,q—1=2時,則p=2,q=3,此時m=2+3=5,

當p—1=2,q—1=1時，則p=3,q=2,此時TH=2+3=5,

當p—1=—l,q—1=—2時，則p=0,q=-1,此時m=0—1=—1,

當p—1=—2,q—1=—1時，則p=-l,q=0,此時m=-1+0=—1,

綜上所述，m的值為5或一1；

方程/一血工+m+1=0的“幸運數(shù)〃為F(l,-m,m+1)=二.喘-(*=

當執(zhí)=5時，F(xiàn)(l,—m,m+1)=F(l,—5,6)=4'6]-5)__1

當m=-1時，F(xiàn)(l,—m,m4-1)=F(1,1,O)==—^

-m,m+1)=-[

方程%2-(+2)x+2n=0的“幸運數(shù)”為F(l,-n-2,2n)=4xl>：2n-(-n-2)z_-M+4n-4(?T)2

n4x1一~4

????-(1,-m,m+1)與F(l,一九_2,2n)互為