2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

7.2等差數(shù)列

五年高考

考點(diǎn)1等差數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

1.（2019課標(biāo)I理,9,5分，中）記，為等差數(shù)列（〃〃｝的前n項(xiàng)和.已知S4=00=5,則（）

A.a〃=2〃-5B.a〃=3〃-10

C.S"=2〃2?8〃D5W〃2-2〃

2.（2023全國甲文,5,5分，中）記Sn為等差數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和.若。2+%=電刖8=45,則

Ss=（）

A.25B.22C.20D.15

3.（2022新高考3,5分，中）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)是桁,相鄰桁

的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中

DD1,CCT,BBT/AT是舉QDi,DCi,CB】,BAi是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

署=0.5,察=狂等=代,等=奴已知h而上成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為

C/L/1L/C1Co10/1]

0.725,則依=（）

圖1

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

4.（2021北京,6,4分，中）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨

黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長

。1必2,。3,〃4,。5（單位:Cm）成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為加乃2乃3力4力5（單位:Cm）,且長與寬之比都相

等.已知41=288,怒=96,6=192，則①=（）

A.64B.96C.128D.160

5.（2022全國乙文』3,5分，易）記S〃為等差數(shù)列｛端的前n項(xiàng)和.若2s3=3S2+6,則公差

d=.

6.（2020課標(biāo)〃文,14,5分，易）記S〃為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和.若卬=-2/2+。6=2,則

So?=?

7.（2019課標(biāo)〃/,14,5分，易）記S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和.若〃3=5,s=13,則Sg.

8.（2019北京理,10,5分，中）設(shè)等差數(shù)列｛an）的前n項(xiàng)和為S小若?2=-3,55=-10,則

?5=$的最小值為.

9.（2019課標(biāo)戊,18,12分，中）記S”為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.已知S9=-g

⑴若u=4,求｛端的通項(xiàng)公式;

（2）若口＞0,求使得SE的〃的取值范圍.

10.（2023全國乙文,18,12分，中）記首為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，已知s=l15o=40.

（1）求｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和數(shù)

11(2021全國乙理,19,12分，中)記，為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和也為數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)積，已知

*+三2.

Snbn

(1)證明:數(shù)列｛兒｝是等差數(shù)列;

(2)求｛為｝的通項(xiàng)公式.

12.(2023新課標(biāo)/,20,12分，中)設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為一,且上1,令兒必，記SthTti分別為

an

數(shù)歹ij｛〃〃｝,｛/)〃｝的前n項(xiàng)和.

⑴若3。2=3。?+〃3S+A=21,求伍〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛為｝為等差數(shù)歹U,且S9尸799=99,求d.

考點(diǎn)2等差數(shù)列的性質(zhì)

1.（2020浙江,7,4分，中）已知等差數(shù)列他〃｝的前H項(xiàng)和為Sn,公差存0,且號W1.記

bI=S20〃+1=S2〃+2-S2〃,〃WN*,下列等式不可熊成立的是（）

A.2Q4=42+Q6B.2b4=bz+b6

C.al=a2a8D.b：=b2ba

2.（2020新高考/,14,5分，中）將數(shù)列｛2〃-l｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛m｝,則

｛?！ǎ那啊?xiàng)和為.

3.（2022浙江,20,15分，中）已知等差數(shù)列｛詼｝的首項(xiàng)0=?1,公差分1.記｛竭的前〃項(xiàng)和為

S〃（〃￡N）

⑴若54-2。2。3+6=0,求S〃；

（2）若對于每個(gè)②N；存在實(shí)數(shù)c〃，使斯+c〃，斯+i+4c〃，斯+2+15?！ǔ傻缺葦?shù)歹?求d的取值范圍.

4.（2021新高考〃,17,10分，中）記￡為公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若

a3=Ss,Cl2'Cl4=S4.

（1）求｛曲｝的通項(xiàng)公式;

（2）求使得的〃的最小值.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆云南師大附中高考適應(yīng)性考試,3）記，為等差數(shù)列｛a〃｝的前n項(xiàng)和.若

。4+。5=24&=48,則。9=（）

A.4B.24

C.30D.32

2.（2024屆湖北六校聯(lián)考,5）若數(shù)列｛端為等差數(shù)列，且m吟吟則sin6/2023=（）

O乙

.1V3r，V3

A-BD.—C.--D.——

2222

3.（2024屆福建華安一中開學(xué)模擬,7）S“是數(shù)列?｝的前幾項(xiàng)和，則“數(shù)列為常數(shù)列”是“數(shù)

列｛$｝為等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.（多選）（2024屆江蘇、廣東、福建大聯(lián)考,9）設(shè)不全為0的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S〃,

若〃4+2〃8=。6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.^7=0BS最大

C.Ss=SgD.S”=0

5.（2023江蘇七市三模,14）設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為，必邦必+〃5=3。2,則也=.

?20

6.（2024屆江蘇淮陰聯(lián)考』3）設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝,｛兒｝的前〃項(xiàng)和分別為S/,且充=鬻，則

08一

^5+^11

7.（2023廣東廣州二模，15）在數(shù)列｛an｝中必=2,即+〃=〃〃汁4〃,若v〃a+i=440,則正整數(shù)

k=.

8.（2024屆福建廈門外國語學(xué)校適應(yīng)性考試,14）已知等差數(shù)列也〃｝的前n項(xiàng)和為若

S6Vs7,S7=S8,S8>S%則符合題意的等差數(shù)列｛〃”｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為?！?.

9.（2024屆湖南長沙一中月考,18）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為且對于

任意〃￡N*,滿足2Sn=alra,t+].

⑴求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)二一，求數(shù)列彷〃｝的前99項(xiàng)和.

綜合拔高練1

1.（2023湖南長沙市明德中學(xué)檢測,4）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且S4O45>O,S4O44VO,則

S〃最小時(shí),〃=（）

A.4045B.4044

C.2023D.2022

2.（多選）（2023廣東汕頭二模,11）己知數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列⑷=1⑼3=2a+1,前〃項(xiàng)和為S”.

數(shù)列出〃｝滿足兒含，則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為an=y/2n-V2+1

B.數(shù)列｛兒｝是遞減數(shù)列

C數(shù)列｛兒｝是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛〃〃｝中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列

3.（多選）（2024屆湖南長沙一中月考,12）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足0=1,42=2,的=3,且對任意的正整

數(shù)都有。2〃1+。2〃=20“+〃+|〃7-川,則下列說法正確的有（）

A.〃4=5

B.數(shù)列｛。2〃+2-。2〃｝是等差數(shù)列

C.〃2”=3〃?l

nz+3

D.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而

4

4.（2023湖北襄陽四中適應(yīng)性考試,14）已知等差數(shù)列佃4中M2=4M,=16,若在數(shù)列m〃｝每相

鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列,則新數(shù)列的第43項(xiàng)為.

5.（2023湖北武漢四調(diào),17）記數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”,對任意有￡=〃（如+〃/）.

（1）證明:｛%｝是等差數(shù)列;

⑵若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí),，取得最大值，求6/|的取值范圍.

2

6.（2024屆廣東新高考一模,19）記數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃,已知Sn=na^\-n-n.

（1）證明:｛*是等差數(shù)列;

（2）若證明/+六+視+...+＜弟

351*X%ZU

綜合拔高練2

1.（2024屆江.蘇徐州模擬預(yù)測,17）已知等差數(shù)列滿足?3=10^5-2?2=6.

⑴求an；

(2"T,幾為奇教；

(2)數(shù)列｛兒｝滿足瓦=1,/.必丁〃為數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和，求Tm.

%an-i、n為偶數(shù),

、乙

2.(2023湖北八市聯(lián)考,18)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和為S〃,且如5,碓為等差

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

⑵若m為正整數(shù),記集合｛Q“|半+￡＜小｝的元素個(gè)數(shù)為而求數(shù)列?〃｝的前50項(xiàng)和.

3.(2023浙江樂清知臨中學(xué)第二次仿真考試』7)已知等差數(shù)列｛斯｝滿足。3=20必+幻=56.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)記兒=島，其中S〃為數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和.設(shè)印表示不超過x的最大正整數(shù)，求使

［如+［歷］+［妁+...+［兒卜2023的最大正整數(shù)n的值.

7.2等差數(shù)列

五年高考

考點(diǎn)1等差數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

1.（2019課標(biāo)I理,9,5分，中）記S〃為等差數(shù)列伍〃｝的前n項(xiàng)和.已知S4=00=5,則（）

A.a”=2〃-5B.a〃=3〃-10

2

C.S”=2/-8〃D.Sn=^n-2n

答案A

2.（2023全國甲文,5,5分，中）記注為等差數(shù)列｛詞的前〃項(xiàng)和.若02+。6=10,。4析45,則

&=（）

A.25B.22C.20D.I5

答案C

3.（2022新高考〃,3,5分，中）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)如是桁,相鄰桁

的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中

DDi,CCi,BBi9AAi是舉QDi,DCi,CBi,B4是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為

瞥=05,濟(jì)人等=心,轡=%.己知七成公差為01的等差數(shù)列,且直線。力的斜率為

OD\UC\LoiD/\\

0.725,則fa=)

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

4.（2021北京,6,4分，中）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨

黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長

01/243,44/5（單位:cm）成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為61,歷也也,岳（單位:cm）,且長與寬之比都相

等已知0=288/5=96,61=192,則優(yōu)=（）

A.64B.96C.128D.160

答案C

5.（2022全國乙文,13,5分，易）記S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和.若2s3=38+6,則公差

d=.

答案2

6.（2020課標(biāo)〃文』4,5分，易）記S”為等差數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和.若。1=-2.+%=2,則

$0=.

答案25

7.（2019課標(biāo)〃/,14,5分，易）記S〃為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和.若43=5/7=13,則So=.

答案100

8.（2019北京理,10,5分，中）設(shè)等差數(shù)列｛①的前〃項(xiàng)和為￡.若?2=-3,55=-10,則

"5=$的最小值為.

答案0；-10

9.（2019課標(biāo)/文,18,12分，中）記S〃為等差數(shù)列缶〃｝的前n項(xiàng)和.已知S9=-tZ5.

⑴若U=4,求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式;

⑵若m>0,求使得S之的的〃的取值范圍.

解析（1）設(shè)｛?。墓顬?

由S9=-a$得m+4c/=0.由。3=4得m+2c/=4.

于是m=8,d=-2.

因此｛?！ǎ耐?xiàng)公式為fln=10-2w.

(2)由⑴得m=?4d,故口=(〃?5)3〃-"("，"由m>0知d<。,故3侖小等價(jià)于//i〃+]()WU,解得

19010.所以n的取值范圍是｛叩芻W10理￡N*｝.

10.(2023全國乙文,18,12分，中)記S〃為等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，已知6/2=11,5.0=40.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛?,｝的公差為4

幅:強(qiáng)=40,解得鼠發(fā)片13-2(?1尸62“.

(2)由斯=15-2〃知，當(dāng)〃丁7,〃￡N"時(shí),%>0,當(dāng)后8,〃￡N"時(shí),a“v0,

：?當(dāng)n<7,n￡N*時(shí),〃=|ai|+N|+…+同=。|+。2+...+如=51=當(dāng)亭幺?/+14〃,

當(dāng)?>8,WwN?時(shí)，北=(。1+。2+...+的)?38+〃9+...+%)

=2S7-S〃=98-(-〃2+14〃尸層-14/7+98.

.(-n2+14n(nW7且nWN"),

**In2-14n4-98(n28且nEN)

11.(2021全國乙理,19,12分，中)記S〃為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和也為數(shù)列｛S〃｝的前〃項(xiàng)積，已知

，口.

(1)證明:數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列;

(2)求｛詼｝的通項(xiàng)公式.

解析(1)證明:由兒=§&?...$可得,

bvn=1,

S〃=H幾之2.由3+:2知，

\bn-l

當(dāng)〃=1時(shí),￡+5=2,即搟+(=2,所以6]=Si=1,

當(dāng)n>2時(shí)~~F1=2,即2b〃=2b“/+l,即也故數(shù)列｛6〃｝是首項(xiàng)為:，公差為1的等差數(shù)列.

，一1

(2)由(1)知，兒=|+(〃-1)'^=等，

故當(dāng)?>2時(shí),=岑,S也符合該式，

如-1n+1

即S〃啜!(〃￡N)從而m=S=1,

:，n=l,

2

當(dāng)n>2時(shí),4〃=&5/蘭1--=--^―,ai不符合該式，所以a?=\r

n+lnn(n+l)____!_>9

>nnZ

n(n+l)--

12.(2023新課標(biāo)/,20,12分，中)設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的公差為義且辦1,令瓦旦,記S"〃分別為

數(shù)列｛a〃｝,｛瓦｝的前〃項(xiàng)和.

3a2=30+3,$3+73=21

⑴若。，求｛a,t｝的通項(xiàng)公式;

(2)若共〃｝為等差數(shù)列，且S%49=99,求d.

解析(1)*.*3〃2=3。1+。3,:.3(3+/=3ai+ai+2d,

/.a\=d>1,/.Sy=a\+。2+。3=。i+。?+d+a1+2d=6m,

T7??/M+八.,266312124.9

乂?0,>=-------??從工屈工=記=-^3-=訴=仔??T,=b^b^

，S3+T3=64i+^=2I,解得0=3或m=4(舍),，4“=3幾

aiL

(2)???｛瓦｝為等差數(shù)列,???2岳=加+如即絲=-+

Q-2。3

即島弋+看，即城—3〃M+2/=0.

?.a\=2d或a\=d.

當(dāng)m=2d時(shí),a“=(〃+l)d,b”g

“產(chǎn)竺與◎絲=99x5M,

f1(1+99)x9999x50

E-2—=―

又???599-799=99,???99x5167-99x50i=99,

51t/-y=1,解得"=1或t/=-|y,

乂?：d>\、：?a#2d.

當(dāng)時(shí)M〃="c/,b”=^,；?S99—0+9?X99"-50x99c/,

a2

個(gè)1(2+100)x9951x99

F.-2—二丁

又599-799=99,50x9967-^2=99,

a

50吟■=1,解得"或或d=-l,又?：d>l,

綜上,"磊.

Dv

考點(diǎn)2等差數(shù)列的性質(zhì)

1.(2020浙江,7,4分，中)已知等差數(shù)列｛呢｝的前〃項(xiàng)和為S〃,公差存0,且號W1.記

"=S2也+l=S2“+2-S2〃,〃￡N：下列等式不可熊成立的是()

A.2<74=tZ>+a63.264=岳+〃6

C.?4=a2a8D.吊=岳〃8

答案D

2.(2020新高考/,14,5分，中)將數(shù)列｛2〃-l｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛〃〃｝,則

｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為.

答案3戶2〃

3.(2022浙江,20,15分，中)己知等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)m=?l,公差分1.記｛%｝的前n項(xiàng)和為

S”(〃￡N)

⑴若54-2皿3+6=0,求S”；

(2)若對于每個(gè)〃WN“,存在實(shí)數(shù)使a〃+c〃,a”+i+4c〃，斯+?+15c〃成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

解析(1)易得〃“=(〃-1)d-1￡N：S4=a?+。2+的+。4=4。?+6d=6d-4.

又Sr2a2a3+6=0,/.6d42(41)(2小1)+6=0,

:?d=3或仁0(舍)，則a〃=3〃?4,〃￡N'，

故S〃=3(1+2+…+〃)-4〃一并二；1)-8n=當(dāng)包,〃￡N*.

⑵由⑴知斯=5?1)小1,〃￡2,依題意得[6+(〃?13?1]口5%+(〃+1)11]=(46+/壯1)2,

2

即15c二+[(16/?-14)t/-16]cw+(n-1)cP-2nd+1=16cn+8(〃d?1)?！?〃2理?2〃出1,故

。+[(14?8〃)4+8]金+/=0,

故[(14?8〃)d+8]2~4$=[(12-8〃)d+8][(16-8?)J+8]>0,故[(3-2〃)d+2][(2-〃)d+1心0對任意正整數(shù)

n恒成立,〃=1時(shí),顯然成立;〃=2時(shí),-d+2K),則t/<2;

n>3時(shí),[(2〃-3)d-2][(〃-2)d-l]>(2〃-5)(〃-3)N0.

綜上所述」vdW2.

4.(2021新高考〃,17,10分，中)記S〃為公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，若

43=55,"。4=$4.

(1)求｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

Q)求使得Sn>an的n的最小值.

解析⑴解法一：設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d(存0),則

ay=Ss=〃]+24=5。i+10dn4ai+8d=0=a\+2d=0=>ai=-2d,①

?6/4=54=(〃i+d)(ai+3《/)=4。|+6d,②

將①代入②得/=-2"=d=0(舍)或d=2,；?ai=2d=?4,.?.a〃=-4+(〃-l)x2=2〃-6.

解法二:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得Ss=5s,貝l|〃3=5〃3,???G=0,

設(shè)等差數(shù)列的公差為4

從而有a2a4=(。3?4)(43+4)=-/，

54=。1+。2+。3+。4=(。3-2")+(。3-/)+。3+(43+山=-2(/,

從而d=-2d,由于公差不為零，故d=2,

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為斯=的+(〃-3)3=2〃-6.

(2)由(1)知4〃=2〃-6,m=2x1-6=-4.

S產(chǎn)〃m+'*、d=-4〃+〃(〃-1)="-5〃.

22

S/J>tz?<=>/7-5/?>2w-6<=>/?-7/7+6>0<=>(??-i)(/z-6)>0,

解得n<\或心6,又〃￡N*,；?〃的最小值為7.

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.(2024屆云南師大附中高考適應(yīng)性考試,3)記S”為等差數(shù)列僅〃｝的前〃項(xiàng)和.若

Q4+〃5=24,S6=48,貝Ij。9=()

A.4B.24

C.30D.32

答案C

2.(2024屆湖北六校聯(lián)考,5)若數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，且⑷吟則sin02023=()

0Z

1V31V3

AA.-DB.—Cr.--Dn.--

2222

答案C

3.(2024屆福建華安一中開學(xué)模擬,7)S,是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，則”數(shù)列｛〃〃｝為常數(shù)列”是“數(shù)

列｛￡｝為等差數(shù)列''的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

4.(多選)(2024屆江蘇、廣東、福建大聯(lián)考,9)設(shè)不全為。的等差數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為

若44+248=46,則下列結(jié)論正確的是()

A07=0B.S7最大

C.S5=SgD.Si3=0

答案AD

5.（2023江蘇七市三模,14）設(shè)等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為5〃/y0,0十。5=3。2,則汕=.

a2Q

答案y

4

6.（2024屆江蘇淮陰聯(lián)考,13）設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝,彷〃｝的前〃項(xiàng)和分別為工,心且言=舒，則

占5+加1

答案?

7.（2023廣東廣州二模，15）在數(shù)列｛an｝中必=2/田〃=即+4”,若。心上1=440,則正整數(shù)

k=.

答案10

8.（2024屆福建廈門外國語學(xué)校適應(yīng)性考試,14）已知等差數(shù)列｛處｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若

S6Vs7s=S8&>S%則符合題意的等差數(shù)列｛斯｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為?！?.

答案答案不唯一）

9.（2024屆湖南長沙一中月考,18）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛呢｝的前〃項(xiàng)和為S〃M=1,且對于

任意〃￡N*,滿足2Sn=a,ran+i.

（1）求數(shù)列仞〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)兒=\,匹+；叼、求數(shù)列也｝的前99項(xiàng)和.

解析（1）由題知a#0.當(dāng)77=1時(shí)⑼=Si2詈,則改=2.

當(dāng)，侖2,〃WN*時(shí)⑼尸￡5/強(qiáng)野-矢&=?所以小+廣味=2,

所以數(shù)列｛42〃/｝是首項(xiàng)為L公差為2的等差數(shù)列，

數(shù)列｛。2〃｝是首項(xiàng)為2,公差也為2的等差數(shù)列，

則〃2〃“=。1+2（〃-1尸2〃-1，。力產(chǎn)。2+2（〃-1）=2〃，

所以〃"=〃,〃￡N”.

（2）由（1）得力產(chǎn)訴+焉=Vn+1-Vn,

所以①十兒十九+…+為產(chǎn)魚-1+V3-V2+...+7100-799=10-1=9.

綜合拔高練1

1.（2023湖南長沙市明德中學(xué)檢測,4）設(shè)等差數(shù)列｛處｝的前〃項(xiàng)和為工,且54045>0,54044<0,WIJ

S〃最小時(shí),〃=（）

A.4045B.4044

C.2023D.2022

答案D

2.（多選）（2023廣東汕頭二模,11）已知數(shù)列（〃〃｝為等差數(shù)列,m=l,6=2或+1,前〃項(xiàng)和為S〃.

數(shù)列｛a｝滿足兒=員,則下列結(jié)論正確的是（）

n

A.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為a?=V2n-V2+1

B.數(shù)列｛兒｝是遞減數(shù)列

C.數(shù)列出〃｝是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛金｝中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列

答案ACD

3.（多選）（2024屆湖南長沙一中月考』2）已知數(shù)列｛〃“｝滿足0=1,6=2,s=3,且對任意的正整

數(shù)都有。2肝。2“=20”+〃+|〃7-川,則下列說法正確的有（）

A.〃4=5

B.數(shù)夕lj［々2〃+2-42〃｝是等差數(shù)列

C.〃2”=3〃?l

D.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),如上手

答案ABD

4.（2023湖北襄陽四中適應(yīng)性考試』4）已知等差數(shù)列｛.“｝中,6=4,劭=16,若在數(shù)列m〃｝每相

鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列,則新數(shù)列的第43項(xiàng)為.

答案y

5.（2023湖北武漢四調(diào),17）記數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”,對任意〃EN”,有S“=〃（a〃+〃?1）.

（1）證明:｛〃〃｝是等差數(shù)列；

⑵若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí),S〃取得最大值，求m的取值范圍.

解析（1）證明:因?yàn)镾尸〃1）①，

所以當(dāng)n>2時(shí),&.|=（〃-1）用十（〃-1）（〃-2庵，

①.②可得an=nan-（n-1）an.\+2n-2,

即（11）。小i+2（〃?1）,

亦即?！?甌尸2,故｛斯｝為等差數(shù)列.

⑵若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)$取得最大值，

則有俘>上得償：0則［a1-U<"mV-

垃7>為,（劭<5］%—14<U,

故m的取值范圍為（12,14）.

6.(2024屆廣東新高考一模[9)記數(shù)列｛mJ的前〃項(xiàng)和為S”,已知Sn=nan^n^n.

⑴證明:｛〃〃｝是等差數(shù)列；

(2)若々W，證明:白+%+++…++v靠

3S\32X?ZU

證明⑴因?yàn)镾〃=〃斯+1-標(biāo)?〃，

所以S?+i=(n+1)斯+2-(〃+l)2-(w+l),

兩式相減得S“+i?S"=a“+]=(〃+1)斯+2-〃a〃+i-(2〃+1)-1,

即(〃+1)alt+1=(〃+1)斯+2?2(〃+1),

即加2=斯+1+2,當(dāng)n=\時(shí)5=0=42-2,則42-。1=2,

所以｛?。且?為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)及題意得等差數(shù)列①〃｝的前〃項(xiàng)和

S〃寸m+sj或G+2n)=n(n+J,

碓=]_3

S”n(^+1)〃(3n+l)，

要證與+^+…+]=3島+++...+品行]

即證言+篇+…+3nxi+l)<

易知(3〃-1)(3〃+2)<3〃(3〃+1),

則——-——<---------

3n(3n+l)(3九-1)(3九+2)'

,,333

的---1------1------------

3x46x7…3nx(3n+l)

133

<一+---F...H-----------------

45x8(3n-l)x(3n+2)

3+(泊+5Y+-+去-表)<3+3=4，

原不等式得證.

綜合拔高練2

1.(2024屆江蘇徐州模擬預(yù)測,17)已知等差數(shù)列｛?。凉M足的=電”2ak6.

⑴求斯;

(2"T,九為奇教；

(2)數(shù)列｛兒｝滿足b?=i4/田亞T為數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和，求Ti?.

為偶