第六章實數(shù)

教材簡析

本章的內(nèi)容包括：平方根、立方根、實數(shù).

在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的基礎(chǔ)上，加強與實際的聯(lián)系，從現(xiàn)實世界中抽象出一種不同于有理數(shù)

的數(shù)，即無理數(shù)，開平方運算與開立方運算也是實際中經(jīng)常用到的兩種運算；注意將新舊知

識進行聯(lián)系與類比，數(shù)的范圍由有理數(shù)擴充到實數(shù)，與有理數(shù)有關(guān)的運算法則、運算律、運

算順序在實數(shù)范圍內(nèi)都仍然適用.

在中考中，本章的考點有平方根、立方根的定義及運算，實數(shù)的運算及大小比較等，考

查基本概念及基本計算.

教學(xué)指導(dǎo)

【本章重點】

平方根、算術(shù)平方根、立方根、無理數(shù)、實數(shù)的有關(guān)概念和運算.

【本章難點】

對無理數(shù)意義的理解、用有理數(shù)估計無理數(shù)的方法及實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系.

【本章思想方法】

1.體會分類的數(shù)學(xué)思想，如：對實數(shù)進行分類.

2.掌握分類討論思想，如：由于一個正數(shù)的平方根有兩個，且這兩個數(shù)互為相反數(shù)，因

此與平方根有關(guān)的題目往往需要進行分類討論.

3.掌握轉(zhuǎn)化思想，如：學(xué)習(xí)了平方根和立方根后，運用轉(zhuǎn)化思想將某些一次方程、三次

方程轉(zhuǎn)化為求平方根、立方根的問題求解.

4.體會數(shù)形結(jié)合思想，如：數(shù)的范圍由有理數(shù)擴充到實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一

一對應(yīng)關(guān)系，這樣可以通過觀察“形”的特點，解答一些關(guān)于實數(shù)的比較抽象的問胭.

課時計劃

6.1平方根3課時

6.2立方根1課時

6.3實數(shù)1課時

6.1平方根

第1課時算術(shù)平方根

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根.

2.根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

3.了解算術(shù)平方根的性質(zhì).

【過程與方法】

加強概念形成過程的教學(xué)，提高學(xué)生的思維水平，鼓勵學(xué)生進行探索和交流，培養(yǎng)他們

的創(chuàng)新意識和合作精神.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過對實際生活中問題的解決，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活實際是緊密聯(lián)系著的，通過探究

活動培養(yǎng)動手能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

算術(shù)平方根的概念.

【教學(xué)難點】

根據(jù)算術(shù)平方根的概念正確求出非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

(5min閱讀】

閱讀教材P40的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

(3min反饋】

1.一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于即/=0,那么這個正數(shù)工叫做a的算術(shù)平

方根.。的算術(shù)平方根記為如，讀作“根號，〃叫做被開方數(shù).

2.規(guī)定：0的算術(shù)平方根是。.

3.算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：(1m20；(2%20.

4.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)81；(2)0.25；(3)23.

解：(1)9.(2)0.5.(3標(biāo).

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論(師生互學(xué))

【例1】求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)64；(2)0.36；

⑶弓；(4hj412-402.

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)如何根據(jù)算術(shù)平方根的定義求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根？

【解答】⑴???82=64,???64的算術(shù)平方根是8.

(2)???0.62=0.36,A0.36的算術(shù)平方根是0.6.

9413

2---

442

（4）V^/412-402=V81,92=81,???兩=9.

V32=9,

???歷二行的算術(shù)平方根是3.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）（1）求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，首先要弄清是求哪個

數(shù)的算術(shù)平方根，分清求癡與81的算術(shù)平方根的不同意義，不要被表面現(xiàn)象迷惑.（2）求一

個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根常借助平方運算，因此熟記常用工方數(shù)對求一個數(shù)的算術(shù)平方根十分

有用.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

I.5的算術(shù)平方根為（A）

A.小B.25

C.±25D.±5/5

2.一個數(shù)的算術(shù)平方根是點這個數(shù)是（C）

3

-

A.2B.

a

C.mD.不能確定

3.要切一塊面積為0.81n?的正方形鋼板，它的邊長是"m.

4.依的算術(shù)平方根是也.

5.已知3+4的算術(shù)平方根是5,求a的值.

解：因為5?=25,所以25的算術(shù)平方根是5,即3+a=25,所以a=22.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例2】已知x、y為有理數(shù)，且五二7+3（.y—2）2=0,求x—y的值.

【互動探索】算術(shù)平方根和平方式都具有非負(fù)性，即/20,由幾個非負(fù)教相加

和為0,可得出什么結(jié)論？

【解答】由題意，得l1=0,y—2=0,

所以x=l,y=2.

所以x-y=l—2=-1.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）算術(shù)平方根、絕對，直和平方式都具有非負(fù)性，即g2（）,

同NO,/20,當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，各數(shù)均為0.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

概念：非負(fù)數(shù)〃的算術(shù)平方根記作出

算術(shù)平方根a20

性質(zhì)：雙重非負(fù)性

、如20

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)!

第2課時估算算術(shù)平方根

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

1.會比較兩個數(shù)的算術(shù)平方根的大小.

2.會估算一個數(shù)的算術(shù)平方根的大致范圍，掌握估算的方法，形成估算的意識.

3.會用計算器求?個數(shù)的算術(shù)平方根.

【過程與方法】

體驗“無限不循環(huán)小數(shù)”的含義，感受存在著不同于有理數(shù)的一類新數(shù).

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和歸納問題的能力.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

夾值法及估計一個（無理）數(shù)的大小.

【教學(xué)難點】

夾值法及估計一個（無理）數(shù)的大小的思想.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題

（5min閱讀】

閱讀教材P41?P44的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù).實際上，許多正有理

數(shù)的算術(shù)平方根（例如小，V5,市）都是無限不循環(huán)小數(shù).

2.被開方數(shù)擴大（或縮小）與它的算術(shù)平方根擴大（或縮?。┑囊?guī)律：當(dāng)被開方數(shù)擴大（或縮

?。┑皆瓉淼?00倍（志），10000倍島麗）…時，其算術(shù)平方根相應(yīng)地擴大（或縮?。┑皆瓉?/p>

的蝴llM向…

3.用計算器求一個正有理數(shù)的算術(shù)平方根的方法:

大多數(shù)計算器都有kn鍵,用它可以求出任意一個正有理數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似

值）.

先按回1鍵開機，再按K□鍵、“被開方數(shù)”、日，即可顯示“算術(shù)平方根”.

4.與我最接近的整數(shù)是（B）

A.5B.6

C.7D.8

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】通過估算比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

⑴布與1.9；⑵專［與1.5.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）（1）估算枳的大小，或先求1.9的平方，再比較5與1.92的

大小；（2）先估算加的大小，再比較加與2的大小，從而進一步比較'早」與1.5的大小.

【解答】⑴（方法一）因為5>4,所以小沖,即小>2,所以小>19

（方法二）因為1.92=3.61,3.61V5,所以修1.9.

（2）因為6>4,所以y屏\ft,所以#>2,所以^，I=1.5,即61.5.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）比較兩個數(shù)的大小常用方法有：①作差比較法；②

作商比較法；③移因數(shù)于根號內(nèi)，再比較大?。孩芾霉し椒ū容^無理數(shù)的大小等.比較無

理數(shù)與有理數(shù)的大小時要先估算無理數(shù)的近似值，再比較它與有理數(shù)的大小.

活動2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨學(xué)）

1.估計小+1的值，應(yīng)在（C）

A.1和2之間B.2和3之間

C.3和4之間D.4和5之間

2.估算標(biāo)-2的值（B）

A.在1和2之間B.在2和3之間

C.在3和4之間D.在4和5之間

3.計算：

（1/71225；

（2照嬴（精確到0.001）；

（3仙（精確到0.001）.

解：（1）71225=35.

（2）^/36.42^6.035.

（3h/B^3.606.

活動3拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）

【例2】全球氣候變暖導(dǎo)致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一種低等植物苔

薛開始在巖石.上生長.每個苔辭都會長成近似圓形，苔辭的直徑和冰川消失的時間近似地滿

足如下關(guān)系式；d=7X，=五（/，12）.其中[代表若辭的直徑，單位是厘米；/代表冰川消

失的時間，單位是年.

（1）計算冰川消失16年后苔辭的直徑：

（2）如果測得一些苔解的直徑是35厘米，則冰川約是在多少年前消失的？

【互動探索】（1）根據(jù)題意可知是求當(dāng)1=16時4的值，直接把對應(yīng)數(shù)值代入關(guān)系式即可

求解；（2）根據(jù)題意可知是求當(dāng)d=35時/的值，直接把對應(yīng)數(shù)值代入關(guān)系式即可求解.

【解答】（1）當(dāng)/=16時，6/=7X^16-12=7X2=14.

即冰川消失16年后苔葬的直徑是14厘米.

（2）當(dāng)d=35時，即7X[L12=35,所以，-12=25,解得f=37.

即冰川約是在37年前消失的.

【互動總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本題考查算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，注意實際問題中

涉及開平方通常取算術(shù)平方根.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

1.夾值法及估計一個（無理）數(shù)的大小.

2.用計算器求一個正數(shù)的算術(shù)平方根.

練習(xí)設(shè)計

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！

第3課時平方極

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識與技能】

掌握數(shù)的開方的意義、平方根的意義、平方根的表示方法.

【過程與方法】

通過帶領(lǐng)學(xué)生探究?個數(shù)的平方根，使學(xué)生理解數(shù)的開方、平方根的概念.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和歸納問題的能力.

二、重難點目標(biāo)

【教學(xué)重點】

平方根的概念.

【教學(xué)難點】

求一個數(shù)的平方根.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱、生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材P44?P46的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.一般地,如果一個數(shù)x的平方等于那么這個數(shù)x就叫做a的平方根或叫二次方根.也

就是說，如果，=小那么/叫做〃的平方根.

2.一個正數(shù)有畫個平方根，且它們互為相反數(shù);0只有二個平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)

沒有平方根.

3.求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做好左.平方與開平方互為逆運算.

4.下列說法不正確的是（C）

A.一地是2的平方根

B巾是2的平方根

C.2的平方根是也

D.2的算術(shù)平方根是啦

5.求下列各數(shù)的平方根：

16,0,g,242.

解：16的平方根是±4.0的平方根是0.

42

-氣

9.242的平方根是±24.

環(huán)節(jié)2合作探究,解決問撅

活動1小組討論（師生對學(xué)）

【例1】求下列各數(shù)的平方根：

（2）0.0001：

（3）（一4尸；（4）781.

【互動探索】（引發(fā)學(xué)生思考）把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，含有乘方運算先求出它的基?注意

正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根.

【解答】⑴???lfHl，圖2=嘉一?,以的平方根是忌即MSV

(2)V(±0.01)2=0.000I,???0.0001的平方根是±0.01,即H0.0001=±0.01.

(3)???(±4)2=(—4)2,,;(-4)2的平方根是±4,即可(-4)2=±4.

(4)???(±3)2=9=，斫，???兩的平方根是±3.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)正確理解平方根的概念，明確是求哪一個數(shù)的平方

根.如(4)中就是求9的平方根.

【例2】已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2〃+1和4,求這個數(shù).

【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)一個正數(shù)的平方根有兩個，它們之間有什么關(guān)系呢？

【解答】由于一個正教的兩個平方根分別是24+1和。-4,則有2〃+1+。-4=0.

即3a—3=0,解得a=L

所以這個數(shù)為⑵/+1)?=(2+1)2=9.

【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，即它

們的和為零.

活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))

1.關(guān)于平方根，下列說法正確的是(B)

A.任何一個數(shù)有兩個平方根，并且它們互為相反數(shù)

B.負(fù)數(shù)沒有平方根

C.任何一個數(shù)只有一個算術(shù)平