專題06實際問題與二次函數(shù)的三類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、增長率、銷售問題

類型二、拱橋、投球、噴水問題

類型三、圖形及圖形運動問題

壓軸專練

國類型-、增長率、銷售問題

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：

（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍

（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值

例I.（23-24九年級上?寧夏銀川?期末）某商城在2024年元旦節(jié)期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進貨價為

每個14元，標價為每個20元.

⑴商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶，商城連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每個

16.2元的價格售出，求商城每次降價的百分率；

⑵市場調(diào)研表明：當(dāng)每個售價20元時，平均每天能夠售出40個，當(dāng)每個售價每降I元時，平均每天就能

多售出10個，在保證每個商品的售價不低于進價的前提下，商城要想獲得最大利潤，每個商品的定價應(yīng)為

多少元？最大利潤是多少？

【答案】⑴10%

（2）19元；250元

【知識點】增長率問題（實際問題與二次函數(shù)）、銷售問題（實際I向題與二次函數(shù)）、），=ad+隊+c的最值、增長

率問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】（1）設(shè)商城每次降價的百分率為x,根據(jù)題意，得20（1-力2=16.2,解方程即可.

（2）設(shè)降價x元，則每個盈利（20-X-14）元，每天可售出（40+10力個,每天的總利潤為w元,利用每天

銷售獲得的總利潤=每件的銷售利潤X每天的銷售量，構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)拋物線的最值，結(jié)合每個商品的

售價不低于進價，解之即可得出X的值即可求得.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用-平均增長率問題，二次函數(shù)的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確構(gòu)造二次函數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）設(shè)商城每次降價的百分率為X,

根據(jù)題意，得20（1-4=16.2,

解得％=0.1=10%,芻=1.9（舍去），

答：商城每次降價的百分率為為10%.

（2）設(shè)降價『元,則每個盈利（20-x-14）元，每天可售出（40+10%）個，每天的總利潤為w元,

根據(jù)題意，得卬=（20T-14）（10K+40）

=-10X2+20A+240

=-10（X-1）2+250,

國當(dāng)x=l時，利潤最大，250（元），

答：定價為19元，最大利潤為250元.

【變式17］（24-25九年級上?云南玉溪?期末）某商家利用網(wǎng)絡(luò)平臺“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元

的商品，若銷笆單價為36元，則每天可賣出88件，為提高利潤，欲對該商品進行漲價銷隹，經(jīng)調(diào)杳發(fā)現(xiàn)：

每漲價1元，每天要少賣出2件，按單價不低于成本價，且不高于50元銷售.

⑴求該商品每天的俏售量V（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤卬（元）最大？最大利潤是多少元？

【答案】（l）y=160-2x（3OWxW5O）

⑵銷售單價定為50元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤卬元最大，最大利潤是1200元

【知識點】求一次函數(shù)解析式、銷售問題（實際問題與二次函數(shù)）

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元二次方程的實際應(yīng)用，列函數(shù)關(guān)系式，

（1）根據(jù)銷售單價為36元，則每天可賣出88件，每漲價1元，每天要少賣出2件列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式

即可；

（2）根據(jù)利潤=（售價-成本）x數(shù)量，列出w關(guān)于％的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得，

y=88-2(x-36)=160-2x(30<A<50)；

(2)解：由題意得，

VV=(X-30)(160-2A)=一2『+220x-4800=-2(x-55)2+1250,

回對稱軸為直線x=55,

團-2<0，

回當(dāng)304x450時，卬隨”的增大而增大，

(3當(dāng)x=50時，卬最大,最大值卬=(x-30)(160-2》)=(50-30)x(160-100)=1200,

答：銷售單價定為50元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w元最大，最大利潤是1200元.

【變式1-2](23-24九年級.匕河南鄭州?期末)鞏義特產(chǎn)小相菊花茶深受顧客喜愛，小相菊花茶進價為20元

/兩，某商店對銷售情況作了調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)月最大銷售量(兩)與售價x(元/兩)(25W45)之間的

函數(shù)關(guān)系如圖中的線段所示.(月最大銷售量指進貨量足夠的情況下最多售出兩數(shù))

⑴求出>'與x之間的函數(shù)表達式：

(2)若該菊花茶某月的總銷售利潤“元，求卬關(guān)于x的函數(shù)表達式，當(dāng)售價上.為多少元/兩時，銷售利潤卬最

大，該月進貨數(shù)量應(yīng)定為多少？

⑶若該商店某月進貨35兩，如果銷售不完，就以虧本18元/兩計入總利潤，當(dāng)銷售單價定為多少時，當(dāng)月月

利潤最大？(注：“兩”是一種質(zhì)量單位)

【答案】⑴y=-2%+100；

(2)W=-2(X-35)2+450,銷售單價x為35元時利潤卬最大，該月進貨數(shù)量應(yīng)定為30兩；

⑶售價定為32.5元/兩時，當(dāng)月月利潤最大.

【知識點】銷售問題(實際問題與二次函數(shù))、求一次函數(shù)解析式

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可求解；

(2)由題意可得卬=(無一20乂-2工+100)=-2?！?5尸+450,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；

(3)設(shè)當(dāng)月月利潤為W元，可得W=a-20)(-2x+100)—18[35—(—2x+100)]=-2(x—26)2+522,進而可

得拋物線開口向下，拋物線上的點距離對稱軸犬=26越近，函數(shù)值W越大，由-2X+100W35得X232.5,據(jù)

此即可求解；

木寇考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：設(shè)丁與x的函數(shù)關(guān)系式為丁="+方，

???點(25,50),(4510)在函數(shù)廣點+b上，

附+匕=50

肌，

452+/>=10

解得.\k=-。2?！?/p>

團y與工的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+ioo；

(2)解：由題意可得，w=(x-20)(-2x+100)=-2(x-35)2+450,

國一2<0，

二當(dāng)x=35時.，卬取得最大值，此時?-2x+100=30,

即w關(guān)于x的函數(shù)表達式是w=-2(x-35尸+450,銷售單價x為35元時利潤狡最大，該月進貨數(shù)量應(yīng)定為30

兩；

(3)解：設(shè)當(dāng)月月利潤為卬元，

則\V=(x-20)(-2x+1OO)-18[35-(-2A+100)]=-2(x-26尸+522,

13-2<0,

團拋物線開口向下，拋物線上的點距離對稱軸x=26越近，函數(shù)值W越大，

???該商店進貨35兩，

.\-2x+100<35,

解得x232.5,

???當(dāng)x=32.5時，W取得最大值，

答：售價定為32.5元/兩時，當(dāng)月月利潤最大.

【變式1-3](23-24九年級上?安徼?期末)某商店銷售一種進價60元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品

的每天銷售量y(件)是售價x(元/件)的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應(yīng)值如下表：

售價M（元/件）80100

銷售量W件10060

⑴求銷售量），關(guān)于售價X的函數(shù)關(guān)系式.

（2）①設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②若規(guī)定售價高于進價且不超過進價的1.5倍，問當(dāng)售價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利

潤最大？最大利潤是多少？

【答案】⑴丁=一2工+26。

⑵①W=—2%2+380_r—156（X）：②卬有最大值.最大值為2400

【知識點】其他問題（一次函數(shù)的實際應(yīng)用）、銷售問題（實際問題與二次函數(shù)）

【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)），=履+。，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可：

（2）①利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)解析式；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)銷售量），關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式為

80左+8=100

根據(jù)題意,

100八〃=60

k=-2

解得：

b=260

?.?銷售量），關(guān)廣售價x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+260.

（2）解：①由⑴知每天的銷告最y=-2x+26（）.

團商品進價為60元/件,

團卬與”之間的函數(shù)關(guān)系式為W=(-2工+260)(x—60)

即W=-2x2+380x-15600:

②町.5x60=90.

06O<x<9O,

團W=-2x2+38015600=-2(x-95)2+2450.

回一2<0.

13當(dāng)x=90時.W有最大值.最大值為2400.

國類型二拱橋、投球、噴水問題

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：

（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍

（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出三次函數(shù)的最大值或最小值______________________

例2.（23-24九年級上?河南鄭州?期末）你見過“倒過來的橋"嗎？位于我國湖南省邵陽洞口縣的淘金大橋，

大橋的位置在一個山谷當(dāng)中，橋全長70米，這座橋橋面是水平的，而橋底則是近似為拋物線，橋面和橋底

用若干混凝土石柱豎直支撐.小明在研究淘金大橋時測得當(dāng)距離矯頭35米時，橋面和橋底的支撐石柱最長，

為20米，小明以橋面為x軸，橋頭為原點建立如圖的平面直角坐標系，設(shè)橋底的函數(shù)解析式為

y=a(x-h)'+k.

圖1圖2

⑴求該函數(shù)的解析式;

⑵思考：

①若該橋平均分布9根石柱支撐，求離橋頭最近的石柱的長度：

②若石柱的長度為16.8米，則這根石柱安放的位置距離橋頭有多遠？

4）

【答案】（1）》=赤"-35）--20

（2）①7.2米

②21米或49米

【知識點】拱橋問題（實際問題與一次困數(shù)）、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是關(guān)犍.

（1）依據(jù)題意，用待定系數(shù)法進行計算可得拋物線的解析式；

7（）

（2）①依據(jù)題意，由橋長70米，該橋平均分布9根石柱支撐，每兩根石柱間的距禽是4、=7（米），再結(jié)

合（1）,當(dāng)x=7時求出y的值即可；

②結(jié)合（1）,當(dāng)y=-16.8時，求出x的值即可得解.

【詳解】(1)解：由題意知，拋物線頂點為(35,-20),

設(shè)拋物線的解析式為k6/(X-35)2-2O,將(0,0)代入得:

0=1225〃-20,

4

解得"雷

吁短(15)2—20,

答：該函數(shù)圖象的解析式為產(chǎn)白(??35)2-20；

4fJ

7()

(2)解：①若該橋平均分布9根石柱支撐，則每根石柱的距離為n=7(米),

即離橋頭最近的石柱橋面位置距橋頭為7米,

在平面直角坐標系中，這個點的橫坐標為7,代入解析式可得,

當(dāng)上=7時，—(7-35-20=--=-7.2,

245V)5

團離橋頭最近的石柱長度為7.2米.

②若石柱的高度為16.8米，由題意得)，=-16.8.

當(dāng)y=-16.8時，—(X-35)2-20=-16.8,

解得x=21或x=49，

(3若石柱的高度為16.8米，則這根石柱安放的位置距離橋頭有21米或49米.

【變式2-1](23-24九年級上?江蘇淮安?期中)足球訓(xùn)練中球員從球門正前方8米的A處射門，球射向球門

的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的水平距離為6米時，球達到最高點，此時球離地面3米.現(xiàn)以。為原點建立

如圖所示直角坐標系.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)已知球門高為2.44米，通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素)

【答案】⑴丁=-5*-2)2+3

（2）球不能射進球門

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、投球問題（實際問題與二次函數(shù)）

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決是關(guān)鍵.

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

Ix

（2）當(dāng)x=0時，y=——x4+3=->2.44,即可求解.

123

【詳解】（1）解：1.-8-6=2,

拋物線的頂點坐標為（2,3）,設(shè)拋物線），="（X-2）2+3,

把點48,0）代入得：36a+3=O,

解得力q,

.?.拋物線的函數(shù)表達式為丁=-2產(chǎn)+3；

（2）解：當(dāng)K-0時，

1Q

y=——x4+3=->2.44,

123

二球不能射進球門.

【變式2-2］（23-24九年級上?河北秦皇島?期末）在平面直角坐標系中，從原點。向右上方沿拋物線L發(fā)出

一個小球P,當(dāng)小球P達到最大高度3時，小球P移動的水平距離為2.

II

口

降0.3

x

⑴求拋物線L的函數(shù)解析式;

⑵求小球產(chǎn)在x釉上的落點坐標；

⑶在x軸上的線段A8處，豎直向上擺放著若干個無蓋兒的長方體小球回收箱，已知QA=3,且每個回收箱

的寬、高分別是0.5、0.3,當(dāng)小球P恰好能落入回收箱內(nèi)（不含邊緣）時，求豎直擺放的回收箱的個數(shù).

【答案】⑴拋物線L的函數(shù)解析式為廣-="-2）2+3；

4

⑵小球尸在x軸上的落點坐標為（4,0）；

（3）受直搜放的回收箱的個數(shù)為3個或4個或5個或6個或7個

【知識點】投球問題(實際問題與二次函數(shù))

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.

(1)由題意知，拋物線L的頂點坐標為(2,3),再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)對于)，=-2丫+3,令y=0,求解一元二次方程，據(jù)此計算即可求解；

4

(3)由題意先求出，當(dāng)％=3和x=3.5時，求得對應(yīng)尸的值，再設(shè)豎直擺放的回收箱有加個，根據(jù)題意得出

關(guān)于機的不等式組，求出〃，的整數(shù)解即可.

【詳解】(1)解：團從原點0向右上方沿拋物線L發(fā)出一個小球P,當(dāng)小球P達到最大高度3時，小球尸移

動的水平距離為2,

團頂點坐標為(2,3),

團設(shè)拋物線L對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=a[x-2)2+3(〃<0),

把(0,0)代入得0=小(0一2『+3,

解得。=-；3，

4

回拋物線L對應(yīng)的函數(shù)解析式為尸-9-2)2+3；

(2)解：對于丁=-孤-2『+3,

39

令；7一0，貝=人-2)-十3,

解得X]=0,占=4,

團小球P在x軸上的落點坐標為(4,0)；

(3)解：(3OA=3,A3=0.5,

q

PiOB=3.5,對于y=-2)+3,

a,o

當(dāng)H=3時，y=—(3-2)+3=—；

44

a->11

當(dāng)H=3.5時，y=--(3.5-2r+3=—；

416

設(shè)豎直擺放的回收箱有機個，

11Q

則上?v0.3/n<2,

164

解得親,〃<墨

回機是正整數(shù),

團相可以是3或4或5或6或7,

答：豎直擺放的回收箱的個數(shù)為3個或4個或5個或6個或7個.

【變式2-3］（23-24八年級下?福建福州?期末）小明和小亮玩打水仗,兩人相距7米,兩人身高都是1.5米.以

水平線為X軸，小明所站立線為y軸建立如圖所示直角坐標系，點A（o,1.5）是小明水槍的噴口，小明的噴水

槍噴出的水行走的路線為拋物線G：y=a（x-3）2+2.5,小亮為了噴到小明，踮腳抬臂，使得噴槍的噴口坐

標為儀7,1.8）,小亮水槍噴出的水行走路線為拋物線。2：），=〃a2+公+0,且其過點（4,3.6）.

⑵如果（4,3.6）是拋物線G的頂點，請通過計算說明小亮能否噴到小明.

【答案】（1）小明能噴到小亮，理由見解析；

⑵小亮能噴到小明，理由見解析.

【知識點】噴水問題（實際問題與二次函數(shù)）

【分析】（1）根據(jù)拋物線G：y=〃（x-3,+2.5過點A（0,L5）,代入求出。=-",得出拋物線。解析式，在

將工=7代入解析式求出），=||即可判斷；

1O

（2）根據(jù)拋物線G的頂點坐標為（4,3.6）,設(shè)拋物線G為y=/H（X-4）2+3.6,再根據(jù)拋物線G過點網(wǎng)7,1.8）,

即可求出拋物線解析式，再算出x=o時，＞的值，即可判斷；

本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟悉掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）12拋物線G：y=a（%-3）2+2.5過點A（0,l.5）,

01.5=?（0-3）2+2.5,

解得：a=J，

團拋物線C:），=_：（1—3）2+2.5,

9

19]3

團當(dāng)％=7時?，y=--（7-3）-+2.5=—

回口>0且小于1.5,

18

（3小明能噴到小亮;

（2）回拋物線G的頂點坐標為（4,3.6）,

團設(shè)拋物線G），=〃?（?￥4）2?3.6

回拋物線G過點8（7,1.8）,

01.8=/n（7-4）2+3.6,

解得:

回拋物線3為），=Y（X-4）2+3.6,

又叵當(dāng)x=0時，y=-1（0-4）2+36=0.4,

回0.4>0且小于1.5,

團小亮能噴到小明.

0類型三、圖形及圖形運動問題

二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相

似、最大（?。┟娣e、周長等結(jié)合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、

坐標和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要

善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的.

例3.（23-24九年級上?湖北武漢期末）如圖，某校準備利用現(xiàn)成的一堵7〃字形的墻面（粗線A8C表示墻

面，已知A5J.BC,45=3米，BC=1米）和總長為14米的籬笆圍建一個"日"字形的小型農(nóng)場O3EF（細

線表示籬笆，小型農(nóng)場中間GH也是用籬笆隔開），點。在線段上，設(shè)?！ǖ拈L為x米.

（1）請用含X的代數(shù)式表示EF的長；

27

（2）若要求所圍成的小型農(nóng)場砂的面積為〒平方米，求。尸的長；

（3）求小型農(nóng)場DBEF的最大面積.

【答案】⑴所=15-3”

9

⑵D尸的長為5米

（3）12平方米

【知識點】圖形問題（實際問題與二次函數(shù)）

【分析】此題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握矩形的面積計算方法是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形即可求解；

（2）根據(jù)矩形的面積公式列方程求解即可；

（3）設(shè)小型農(nóng)場O8E廠的面積為S,求出關(guān)「。尸的長x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）0點。在線段45上，

.=14一2工一（工一1）=（15—3工）米，

（2）解：團點。在線段48上，

/.￡F<3,即0<l5-3xW3,

/.4<x<5；

27

團。"石尸的面積為二平方米，

4

97

0x|15-3x）=—,

Ia

解得X]=]（舍去），x2=-,

9

團。產(chǎn)的長為彳米；

（3）解：設(shè)小型農(nóng)場。助沙的面積為S,

則S=x(15—3x)=—3x-175

+T

0-3<0,

（3在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，

13當(dāng)工=4時?，S最大，最大為12平方米.

【變式3-1】為充分利用現(xiàn)有資源，某?！澳链簣@〃計劃用一塊矩形地種植兩種花卉，如圖，矩形地A8CO一

面靠墻（墻的長度為14m）,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄所把它分成兩個面積相等的矩形，已知

柵欄的總長度為30m.

⑴若矩形地ABC。的面積為72m一求A4的長：

（2）當(dāng)A3邊為多少時，矩形地八4CO的面積最大，最大面積是多少？

【答案】⑴A8的長為6m

（2）當(dāng)1=號時，S有最大值，最大值為等

【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值等知識，解題關(guān)

鍵是列出函數(shù)關(guān)系式.

（1）設(shè)A8的長為巾，先用工表示出的長，再列出關(guān)于為x的?元二次方程求解，然后通過驗根后作

答；

（2）設(shè)矩形的面積為Sm?，列出二次函數(shù)關(guān)系式，配方后結(jié)合自變量的范圍求出最值.

【詳解】（1）解：設(shè)AB的長為劉，則8C的長為（30-3x）〃z,

根據(jù)題意得：（30-3x）4=72,

解得x=4或x=6,

當(dāng)％=4時，30-3x=18>14,不合題意，舍去,

當(dāng)x=6時，30-3x=12<14,符合題意，

A—6?

答：八B的氏為6m；

（2）設(shè)矩形的面積為Sn?,

貝ijS=（30-3x）x=-3f+30x=-3（J-1OK）=-3（x-5『+75,

^C=30-3x<14,

、16

xN—,

3

Q-3<0,

???當(dāng)x>5時，1y隨x的增大而減小

（3當(dāng)］=與時，S有最大值，最大值為與.

【變式3-2］（24-25九年級上?湖南常德?期末）如圖，在VA8C中，A8=5cm,BC=6cm,點P從點A開始

沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點。以2cm/s的速度移動，

如果P，Q分別從A，8同時出發(fā)，當(dāng)點。運動到點C時，兩點停止運動，設(shè)運動時間為rs（/>0）.

⑴填空：BQ=cm,PB=cm；（用含/的式表示）

⑵當(dāng)，為何值時，PQ的長度等于5cm?

（3）當(dāng)/為何值時，一P4Q的面積最大?

【答案】⑴2］,（5-/）

⑵1=2

（3）1=|

【分析】本題考查了行程問題的運用，一元一次方程的解法，勾股定理的運用，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形

面積公式的運用，在解答時要注意所求的解使實際問題有意義.

（1）根據(jù)路程=速度x時間就可以表示出5Q,心.再用M-AP就可以求出PB的值；

（2）在中由（1）結(jié)論根據(jù)勾股定理就可以求出其值：

（3）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)三角形的面積公式建立關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即川-求出，的值.

【詳解】（1）解：由題意，得BQ=2fcm,ra=（5-r）cm.

故答案為：2/,（5-r）；

（2）解：在Rt^PBQ中，由勾股定理，得4/+（5T）2=25,

解得：4=0（舍去），4=2；

⑶解:由（I）知4Q=2/cm,PB=（5-/）cm,

6+2-3（s）,

A0<r<3,

的面積等于308伙2=32?。?一）=（-產(chǎn)+5。=一，-當(dāng)+§，

-1<（）,

.?.當(dāng)/=■!時，心PBQ的面積最大.

【變式3-3］如圖，用一段長為l（X）m的圍欄，圍成一邊靠墻的三塊矩形區(qū)域種植花卉，墻長為15m.矩形AEGO

與矩形3CGE的面積相等，矩形AEPH與矩形DG"”的面積相等.設(shè)AE長為.vm,BC長為ym,矩形人BC。

⑴直接寫出）'與X,z與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)x為何值時，z有最大值？最大值是多少？

（3）若需要對矩形/和矩形3CGE區(qū)域進行裝修改造，單價分別為64元/n?和40元/m，受資金投入限

制，改造總費用不能超過11520元，請直接寫出工的取值范圍.

【答案】⑴y=—1x+50,z=-5x2+100

（2）當(dāng)x=14時，z有最大值，最大值是420

（3）16<x<20

【分析】（1）根據(jù)題意得到AE=HF=DG=EB=CG=xm,EG=BC=.ym,然后根據(jù)圍欄的長度為100m得

到5x+2y=100,進而得到y(tǒng)=?+50,然后根據(jù)矩形的面積公式得到z=-5爐+10（比；

(2)首先將z=-5f+10(比配方成頂點式,然后求出14-20,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

(3)首先表示出矩形AEF”的面積和矩形3CGE的面積，設(shè)改造總費用為卬，根據(jù)單價分別為64元/n?和

40元/m?表示出％然后求出w=U520時x尸求￡=16,進而求解即可.

【詳解】(1)團矩形AEGD與矩形BCGE的面積相等，矩形AEFH與矩形DGFH的面積相等，設(shè)AE氏為vm,

8c長為劉

^AE=HF=DG=EB=CG=xm,EG=BC=yn\

團用一段長為100m的圍欄

團5x+2)，=l()()

0y=—1x+50；

回矩形A8CD的面積z=ABBC=2xy=2x^50-jxj=-5x2+IOOx；

(2)由(1)nJWz=-5x2+100x=-5(x-10)2+500.

.0<y^l5

.*.0<50--x<15,BP14<x<20.

2

.-5<0

「?拋物線的開口向下.

刈.稱軸工=10

二.當(dāng)14Wx<20時，z隨工的增大而減小.

???當(dāng)x=14時，z有最大值，最大值是420.

(3)解：矩形4EFH的面積為r：)，=%］，：1+50)=-；/+25孫矩形8CGE的面積為

封=工(一gx+50)=-gj+sOx,

設(shè)改造總費用為卬

回單價分別為64元/m?和40元/百

團卬=64x(-；/+25.,+40(-T/+50,=-180x2+3600%

當(dāng)w=11520時，-180x2+3600x=11520

整理得，X2-20A+64=0

解得占=4,X2=16

團改造總費用不能超過11520元，且14<x<20

016^x<2O.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

壓軸專練

一、單選題

I.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如四，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OM,噴頭M向

外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度），

（?。┡c水平距離X（〃?）之間的關(guān)系式是y=-/+2x+；7（x>0）,則水流噴出的最大高度是（）

a

A.3mB.2.75mC.2mD.L75m

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意、將拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式是解題關(guān)鍵；

將拋物線化為頂點式即可解決問題.

【詳解】解：.T2+2X+；=_（X_1）T

團當(dāng)x=l時，y/大=?=2.75m；

故選:B.

2.某景區(qū)旅店有30張床位，每床每天收費10元時，可全部租出.若每床每天收費提高5元，則有1張床

位不能租出：若每床每天收費再提高5元，則再有1張床位不能租出：若每次按提高5元的這種方法變化

下去，則該旅店每天營業(yè)收入最多為（）

A.3125元B.2120元C.2950元D.1280元

【答案】D

【分析】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量

關(guān)系，求得二次函數(shù)解析式.設(shè)每床每晚收費應(yīng)提高4個5元，旅店每天營業(yè)收入為y元，然后根據(jù)題意可

得函數(shù)解析式：y=(IO+5x)(3O-x),再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：設(shè)每床每晚收費提高4個5元，旅店每天營業(yè)收入為y元，

根據(jù)題意得：

y=(10+5x)(30-x)

=-5JC+140x+300

=-5(X-14)2+128O,

???當(dāng)x=14時，了最大，最大值為1280元，

???該旅店每天營業(yè)收入最多為1280元，

故選：

3.如圖①所示的矩形窗框"C。的周長及其兩條隔斷K”,G〃的總長為由，且隔斷Q,G〃分別與矩形

的兩條鄰邊平行.設(shè)8c的長為刈】，矩形4BC。的面積為沖/，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②，則下列說法

正確的是()

圖①圖②

A.矩形八BC。的最大面積為B.當(dāng)x=4時，矩形A8CO的面積最大

C〃的值為12D.以上說法均錯誤

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是識別函數(shù)圖象，確定自變量的取值為何值時函數(shù)取

得最大值.

觀察圖2,得出當(dāng)x=2時，函數(shù)值y=4最大，可?判斷A、3錯誤；根據(jù)題意確定4=12,即判斷C正確，

進而可判斷D.

【詳解】解：由題圖②可知，矩形4BCD的最大面積為4m2,此時x=2,故A,8選項錯誤；

當(dāng)”=2時，矩形ABC。的面積取最大值4,

/.AB=42—2，

.?.a=(AB+4C)x3=(2+2)x3=12,

故C選項正確，。選項錯誤.

故選：C.

二、填空題

4.（24-25九年級下?甘肅張掖?期中）如圖1是小峽水電站黃河公路大橋，它的一個橋拱可以近似看作拋物

線，一個橋拱在水面的跨度Q4約為40米，若按如圖2所示方式建立平面直角坐標系，則橋拱所在拋物線

可以表示為y=-工*-20）2+攵，則此時橋拱最高點。離水面的高度是米.

圖1圖2

【答案】16

【分析】本題考查了二次函數(shù)的運用，根據(jù)橋拱在水面的跨度Q4約為40米，則A（40,0）,且橋拱所在拋物

線可以表示為了=-4（％-20）2+4,代入計算即川一求解攵的值，根據(jù)頂點坐標，即可求出此時橋拱最高點P

離水面的高度.

（詳解］解:橋拱所在拋物線可以表示為），=-4（x-20）2+3橋拱在水面的跨度OA約為40米，則4（40,0）,

0O=-^（4O-2O）2+A,

解得，k=16,

13P（20,16）,

即此時橋拱最高點P離水面的高度是16米，

故答案為：16.

5.（24-25八年級下?廣西南寧?期末）某足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，如果不考慮空

氣阻力，足球飛行的高度〃（單位：m）與足球飛行的時間，（單位：s）之間具有二次函數(shù)關(guān)系，其部分

圖象如圖所示，則足球到達最高點所需的時間是s.

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

先確定拋物線的對稱軸方程，再根據(jù)拋物線的圖象性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的圖象可得拋物線的對稱軸方程為：工=竺皆=0.8,

團函數(shù)的開口向下，

團在x=0.8時，足球到達最高點，

即足球到達最高點所需的時間是0.8s

故答案為：0.8

6.用一段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠墻的菜園.

方案一：如圖①，圍成一個矩形菜園人AC。，其中一邊力。是墻，

其余的三邊AB,BC,CO用籬笆，其中AO2A8；

方案二：如圖②，圍成一個扇形菜園，一條半徑石尸是墻，其余用籬笆.

有下列結(jié)論：

&AB的長可以是13m：

②A8的長有兩個不同的值滿足該矩形菜園的面積為160m?

③矩形菜園A8CZ）的面枳的最大值為162m2；

④方案二圍成扇形菜園的最大面積大于方案一圍成矩形菜園的最大面積.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

圖①圖②

【答案】②③

【分析】本題考查了??元二次方程與二次函數(shù)的應(yīng)用，準確列HI方程和函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.①

設(shè)A8邊長為而，則AO邊長為（36-2x）m,當(dāng)A8=13時，求出A。是10,不符合題意，即可判斷正誤；

②列出一元二次方程：七（36-2”）=160,求出入值即可判斷正誤；③列出二次函數(shù)解析式

S=-2（X-9）2+162,根據(jù)最值求法即可判斷正誤；④列出二次函數(shù)解析式5匾形=-；（一18）4162,求得

扇形面積的最大值，即可判斷正誤.

【詳解】解：圖①，設(shè)A8邊長為-m,則AD邊長為（36-2x）m,

當(dāng)八8=13時，AD-36-26-10im）,

^AD<AB,

^AD>AB,

故①不正確：

團菜園A8CD面積為160m1

回月［36-2x）=160,

整理得：X2-18X+80=0,

解得：1=10或x=8,

團A8=10m或AB=8m,

團A8=10m時，4D=16m,滿足ADZAB.故②正確；

設(shè)矩形菜園的面積為Sm2,

根據(jù)題意得：5=A（36-2^）=-2（A2-18A）=-2（A-9）2+I62,

V-2<0,

但當(dāng)x=9時，S有最大值，最大值為162,故③正確：

如圖②，設(shè)所=皿則弧長/二（36m,

?F影=g>=；（36-r）"=-；（18『+162,

--<0,

2

自當(dāng)r=18時，S有最大值，最大值為162,

回方案二圍成扇形菜園的最大面積等于方案一圍成矩形菜園的最大面積.

故④不正確.

（3正確結(jié)論是②③.

故答案為：@（3）.

三、解答題

7.（2025?廣東?中考真題）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km,主塔高0.27km,主纜可視為拋物

線，主纜垂度0.1785km,主纜最低處距離橋面00015km,橋面距離海平面約0.09km.請在示意圖中建立

【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，先由題意，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，從而得?/p>

（0,0.0015）、4（0.85,0.18）,設(shè)該物物線的頂點式為），=ad+0.0015,將A（0.85,0.18）代入解方程即可得到

答案.根據(jù)題中示意圖，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并設(shè)出拋物線表達式是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：

則拋物線頂點坐標為（0,0.0015）,Al—,0.27-0.091,即A（0.85,0.18）,

設(shè)該拋物線的表達式為），=”?+0.0015,

將A（0.85,0.18）代入y=ax2+0.0015得0.18=0.85?a+0.0015，

解得。=會21

o5

71

???該拋物線的表達式為y=^x2+0.0015.

8.（24-25八年級下?浙江杭州?期中）某商城在“雙11”期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進貨價為每個12元，

標價為每個20元.

⑴商城舉行了〃感恩老用戶”活動，對于老客戶，商城對甲商品連續(xù)進行兩次降價，每次降價的百分率相同，

最后以每個16.2元售出，求每次降價的百分率：

⑵市場調(diào)研表明；當(dāng)甲商品每個標價20元時，平均每天能售出40個，當(dāng)每個售價每降I元時，平均每天

就能多售出10個.

①在保證甲每個商品的售價不低于進價的前提下，若商城要想銷售甲商品每天的銷售額為1190元，則每個

應(yīng)降價多少元？

②若要使甲商品每天的銷售利潤最大，每個應(yīng)該降價多少元？此時最大利潤為多少元？

【答案】（1）每次降價的百分率是10%

⑵①每個應(yīng)降價3元；②每個應(yīng)該降價2元，此時最大利潤為360元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是正確的找到題目中的等量

關(guān)系且利用其列出方程.

（1）設(shè)每次降價的百分率為機％，根據(jù)題意得出關(guān)于加％的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得

出結(jié)論：

（2）①設(shè)每個應(yīng)降價x元，利用銷售總額=銷售單價x銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的?元二次方程，解之

即可得出方值，再根據(jù)售價不低于進價進行選擇即可求出結(jié)論；

②設(shè)每個應(yīng)降價工元，利潤為卬元，列出二者之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)頂點式求出二次函數(shù)的最值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)每次降價的百分率是6％,

根據(jù)題意得：20（1-m％）2=16.2,

解得,期=10%或〃%=190%（不符合題意，舍去），

?..每次降價的百分率是10%；

（2）解：設(shè)每個應(yīng)降價“元，

①根據(jù)題意得：（20-力（40+10x）=1190,

解得x=3或x=13,

售價不低于進價，

二.x=13舍去，

.二x二3,

??.每個應(yīng)降價3元；

②設(shè)甲商品每天的銷售利潤為W元，

根據(jù)題意得卬=（20-1一12）（40+10式）=-10工2+40工+320=-10（萬一2）2+360

.?.當(dāng)x=2時，W取最大值，最大值為360,

「?每個應(yīng)該降價2元，此時最大利潤為360元.

9.(24-25九年級下?黑龍江綏化?期中)有一座拋物線形拱橋，在正常水位A8時，水面A8寬24m,拱頂距

離水面4m.以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為＞軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

⑴求拋物線的解析式；

⑵若水位上升3m就達到警戒線CD的位置.，求這時水面。。的寬度.

【答案】⑴"一上'

36

(2)12米

【分析】此題考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意得到9為(12,T)是解題的關(guān)鍵.

(1)由拋物線對稱性可知，〃為(12,-4),設(shè)解析式為0),將點3坐標代入求出。即可.

(2)根據(jù)題意得出點C、。的縱坐標為-4+3=7,代入函數(shù)解析式求解即可.

【詳解】(1)解：由拋物線對稱性可知，8為(12,T),

團拋物線頂點在原點，

回設(shè)解析式為嚴加(a?0),把(I2,f代入得:

1

04-

-一

316

0y--一2

36x.

(2)???水位上升3m就達到警戒線C。的位置,

.?.點C、。的縱坐標為-4+3=-1,

當(dāng)y=T時,

解得：x=±6,

???Q(6,-6,-1),

CD=6-(-6)=12米.

10.（24-25八年級"安徽安慶?期末）某超市銷售一批成本為20元/千克的綠色健康食品，深受游客青睞，

經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該食品每天的銷售量》（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖

象如圖所示.

1克）

130

noF---pK

司~網(wǎng)芯千克）

⑴寫出y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式：,銷售利潤為元（用含有X代數(shù)式表示）

（2）為盡可能讓利于顧客，當(dāng)該超市每天銷售這種綠色健康食品獲利24（X）元時，銷售單價為多少元？

⑶請求出銷售利潤的最大值及此時銷售單價.

【答案】⑴y=-2x+180,（-2—+220x-3600）：

⑵50元；

（3）銷售單價55元時，銷售利潤最大，最大值是2450元.

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用.

（I）設(shè)＞關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式是y=H+4*￥0），因為圖象經(jīng)過點（25,130）,（35,110）,可得關(guān)于屋。的

二元?次方程組，解方程組求出2、。的值，即可得到）'關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)銷仕:成本為20元/千克，

銷售單價為4元/千克，可得每千克的利潤為（x-20）元/千克，根據(jù)銷售利潤=每千克利潤x銷售量，可得

w=[-2x2+220x-3600）元；

（2）根據(jù)每天銷售這種綠色健康食品獲利2400元,可得關(guān)的一元二次方程：（x-20）（-2x+180）=2400,

解方程可得當(dāng)銷售單價定為50元和60元時，銷售利潤均可達到2400元，因為超市要讓利于顧客，所以單

價應(yīng)定為50元；

（3）把二次函數(shù)卬=-2/+220工-3600整理成頂點坐標式，可得：卬=-2（x-55y+2450,根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)可知：當(dāng)x=55時，銷售利澗最大，最大值是2450元.

【詳解】（1）解：設(shè)）'關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是），=去+〃（々工0）,

由圖象可知，圖象經(jīng)過點（25,130）,（35,110）,

25攵+人=130

可得1(35-6=110,

解得：1Z=1—820'

??.)'關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x+180；

,?,銷售成本為20元/千克，銷售單價為X元/千克，

，每千克的利潤為(x-20)元/千克，

，銷售利潤為卬=(x-20)(—2x+180)=(—2/+220x—36(X))元；

故答案為：y=-2x+180,—2/+220%—3600：

(2)解：由題意得：(x-20)(-2x+180)=2400,

解得：％=50,x,=60

??,要盡可能讓利于顧客，

?..銷售單價應(yīng)定為50元/千克，

答：銷售單價為50元；

(3)解：vv=-2x2+220.r-3600

=-2(x2-110X+552-552)-3600

=-2(X-55)2+2450

???當(dāng)x=55時，銷售利潤最大，最大值是2450元.

II.(24-25九年級下?湖北孝感?期中)習(xí)近平總書記強調(diào)：“要教育孩子們從小熱愛勞動、熱愛創(chuàng)造〃.某校

為促進學(xué)生全面發(fā)展、健康成長，計劃在校園圍墻內(nèi)圍建一個矩形勞動實踐基地，其中一邊靠墻(如圖),

另外三邊用長為30m的籬笆圍成.已知墻長為18m,設(shè)這個矩形勞動實踐基地垂直于墻的一邊的長為x(m),

其中6<x<15,平行于墻的一邊的長為矩形勞動實踐基地的面積為S(nf).

⑴請直接寫出》與k,S與1的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)S=100m2時，求垂直于墻的一邊長；

⑶若根據(jù)實際情況，可利用的墻的長度不超過14m,垂直于墻的一邊長為多少時，這個矩形勞動實踐基地

的面積最大？并求出這個最大值.

【答案】(I)y=-2x+30(6Kxvl5)；S=-2x2+30x(6<x<15)

⑵垂直于墻的一邊長為10m；

(3)當(dāng)垂直于墻的一邊長為8m時，矩形勞動實踐基地面積最大，最大值為112m2

【分析】本題考查二次函數(shù)解實際應(yīng)用題，涉及求一次函數(shù)與二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)最值等知識.

(1)根據(jù)題意，表示出長方形的長與寬，根據(jù)矩形面積公式即可得到二次函數(shù)表達式，由墻的最大可用長

度為即可確定自變量的取值范圍；

(2)令S=100,解方程即可解題；

(3)由(1)中得到函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在自變景范圍內(nèi)討論求出其最值即可得到答

案.

【詳解】(1)解：02x+y=3O,2xv3O,)，vl8,

團y=2xi30(6<x<15)；

0S=-2x2+3O.r(6<x<15)；

(2)解：當(dāng)S=l00時，-2X2+30X=I00.

解得王=5,x2=10,

06<x<15,

回x=10,

答：垂直于墻的一邊長為10m；

(3)解：0-2x+3O<14,

解得xN8,

08<x<15,

S=-2X2+30X

「-可+些

I2)2

0?=—2<0,

回開口向下，

團對稱軸為直線x=E，三<8,

22

(38￡x<15在對稱軸右側(cè)，S隨x的增大而減小,

團當(dāng)x=8時，+大值=112m2,

答：垂直于墻的一邊長為8m,矩形勞動實踐基地面積最大，最大值為112m2.

12.（24-25八年級下?福建福州?期末）八年級小惠同學(xué)的爸爸是開花店的，于是他就想趁著情人節(jié)活動賺點

零花錢，他以5元/朵的價格從爸爸那里購入一批玫瑰花，準備在情人節(jié)那天銷售.開花店的爸爸告訴他前4

天的這種玫瑰花日銷售量了（朵）與銷售單價x（元）的對應(yīng)值發(fā)：

銷售單價M元10121416

口銷售量W朵36322824

小惠判斷出y與x是一次函數(shù)關(guān)系.請你根據(jù)以上信息，幫小惠完成下列問題：

⑴求），關(guān)于x的函數(shù)解析式：

（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，小惠獲得的口銷售利潤最大？并求出最大利潤：

⑶爸爸要求小惠日銷售利潤不低于180元，請直接寫出銷售單價x的取值范圍.

【答案】⑴），關(guān)于x的函數(shù)解析式為丁=-21+56

（2）當(dāng)x=16.5時，w最大，最大值為264.5元

⑶日銷售利潤不低于180元，銷售單價x的取值范圍為10WXW23

【分析】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的運用，理解數(shù)量關(guān)系，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象的性

質(zhì)是關(guān)鍵.

（1）根據(jù)表格信息，運用待定系數(shù)法求解即可；

（2）銷售單價x元，則每朵的利狎為（X-5）元，設(shè)銷售利潤為“，由此列式，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求

解即可；

（3）根據(jù)（2）中的利潤，當(dāng)w=180時，-=10,再=23,結(jié)合二次函數(shù)圖象即可求解.

【詳解】（1）解：y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)、="+可2工0）,

10k?匕=36

\2k+b=32

k=-2