北京市朝陽(yáng)區(qū)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）2．若x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一個(gè)根，則m的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+2，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)x＝1時(shí)，有最小值為2 B．當(dāng)x＝1時(shí)，有最大值為2 C．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，有最小值為2 D．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，有最大值為24．在圓、正六邊形、平行四邊形、等邊三角形這四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的圖形個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（）A．2 B．±2 C．4 D．±46．把拋物線y＝3x2向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝3（x﹣5）2+2 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+57．北京2022年冬奧會(huì)以后，冰雪運(yùn)動(dòng)的熱度持續(xù)．某地滑雪場(chǎng)第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．設(shè)該地滑雪場(chǎng)游客人數(shù)的周平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．7000（1+x）2＝8470 B．7000x2＝8470 C．7000（1+2x）＝8470 D．7000（1+x）3＝84708．“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132×23，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是（）A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“■”表示5 C．運(yùn)算結(jié)果小于6000 D．運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100a+1025二、填空題（共16分，每題2分）9．若方程(m-2)xm2-2+3x=010．方程x2﹣9＝0的根是．11．若一元二次方程x2+6x﹣1＝0經(jīng)過(guò)配方，變形為（x+3）2＝n的形式，則n的值為．12．拋物線y＝x2﹣2x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．13．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+8x+3，當(dāng)x＞m時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的值可以是（寫出一個(gè)即可）．14．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，則∠BOC的度數(shù)為．15．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝1，其部分圖象如圖，則以下四個(gè)結(jié)論中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．16．某單位承擔(dān)了一項(xiàng)施工任務(wù)，完成該任務(wù)共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序．施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F(xiàn)，最后完成工序G；②完成工序A后方可進(jìn)行工序B，工序C可與工序A，B同時(shí)進(jìn)行；③完成工序D后方可進(jìn)行工序E，工序F可與工序D，E同時(shí)進(jìn)行；④完成各道工序所需時(shí)間如下表所示：工序ABCDEFG所需時(shí)間/天11152817163125（1）在不考慮其它因素的前提下，該施工任務(wù)最少天完成；（2）現(xiàn)因情況有變，需將工期縮短到80天．工序A，C，D每縮短1天需增加的投入分別為5萬(wàn)元，4萬(wàn)元，6萬(wàn)元，其余工序所需時(shí)間不可縮短，則所增加的投入最少是萬(wàn)元．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。17．解方程x2﹣1＝6x．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根為2，求m的值．19．如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA'B'，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑BB′的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．20．如圖1所示，圓形拱門屏風(fēng)是中國(guó)古代家庭中常見(jiàn)的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端AB＝18分米，C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，圓心O在線段CD上，CD＝27分米，求拱門所在圓的半徑．21．已知二次函數(shù)幾組x與y的對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣305…（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，y≤0．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有kx＞x2+bx，直接寫出k的取值范圍．23．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC，過(guò)A作AF⊥AC，交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，過(guò)B作BG⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：BG是⊙O的切線；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的長(zhǎng)．24．為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m）的空地上修建一個(gè)矩形小花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)40m的柵欄圍住，如圖所示．若設(shè)矩形小花園AB邊的長(zhǎng)為xm，面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果圍成的面積為150平方米的小花園，求AB的長(zhǎng)．（3）當(dāng)x為何值時(shí)，小花園的面積最大？最大面積是多少？25．某景觀公園計(jì)劃修建一個(gè)人工噴泉，從垂直于地面的噴水槍噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為xm，距地面的豎直高度為ym，獲得數(shù)據(jù)如表：x（米）00.52.03.55y（米）1.672.253.02.250小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小華的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象；（2）直接寫出水流最高點(diǎn)距離地面的高度為米；（3）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：該景觀公園準(zhǔn)備在距噴水槍水平距離3m處修建一個(gè)大理石雕塑，使噴水槍噴出的水流剛好落在雕塑頂端，則大理石雕塑的高度約為m．（結(jié)果精確到0.1m）26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3a+c）．（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)M（1﹣2a，y1），N（a+2，y2）在拋物線上．若c＜y1＜y2，求a的取值范圍．27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC，以P為中心，將線段PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，連接BD．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠ACP＝∠DPB；（3）用等式表示線段BC，BP，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，將這個(gè)最大值記為d．對(duì)點(diǎn)P及圖形W給出如下定義：點(diǎn)Q為圖形W上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間的距離有最大值，且最大值恰好為2d．則稱點(diǎn)P為圖形W的“倍點(diǎn)”．（1）如圖1，圖形W是半徑為1的⊙O．①圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值d為；②在點(diǎn)P1（0，2），P2（3，3），P3（﹣3，0）中，⊙O的“倍點(diǎn)”是；（2）如圖2，圖形W是中心在原點(diǎn)的正方形ABCD，點(diǎn)A（﹣1，1）．若點(diǎn)E（t，3）是正方形ABCD的“倍點(diǎn)”，求t的值；（3）圖形W是長(zhǎng)為2的線段MN，T為MN的中點(diǎn)，若在半徑為6的⊙O上存在線段MN的“倍點(diǎn)”，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)T組成的圖形的面積．北京市朝陽(yáng)區(qū)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DCABBCAD二、填空題（共16分，每題2分）9．若方程(m-2)xm2-2+3x=010．方程x2﹣9＝0的根是x1＝3，x2＝﹣3．11．若一元二次方程x2+6x﹣1＝0經(jīng)過(guò)配方，變形為（x+3）2＝n的形式，則n的值為10．12．拋物線y＝x2﹣2x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3）．13．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+8x+3，當(dāng)x＞m時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的值可以是4（答案不唯一）（寫出一個(gè)即可）．14．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，則∠BOC的度數(shù)為140°．15．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝1，其部分圖象如圖，則以下四個(gè)結(jié)論中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．16．某單位承擔(dān)了一項(xiàng)施工任務(wù)，完成該任務(wù)共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序．施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F(xiàn)，最后完成工序G；②完成工序A后方可進(jìn)行工序B，工序C可與工序A，B同時(shí)進(jìn)行；③完成工序D后方可進(jìn)行工序E，工序F可與工序D，E同時(shí)進(jìn)行；④完成各道工序所需時(shí)間如下表所示：工序ABCDEFG所需時(shí)間/天11152817163125（1）在不考慮其它因素的前提下，該施工任務(wù)最少86天完成；（2）現(xiàn)因情況有變，需將工期縮短到80天．工序A，C，D每縮短1天需增加的投入分別為5萬(wàn)元，4萬(wàn)元，6萬(wàn)元，其余工序所需時(shí)間不可縮短，則所增加的投入最少是38萬(wàn)元．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。17．解方程x2﹣1＝6x．【解答】解：x2﹣1＝6x，x2﹣6x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣1）＝40＞0，∴x=6±402×1=∴x1＝3+10，x2＝3-18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根為2，求m的值．【解答】（1）證明：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程為x2+mx+m﹣1＝0，所以Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：因?yàn)樵摲匠逃幸粋€(gè)根為2，所以22+2m+m﹣1＝0，解得m＝﹣1．19．如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA'B'，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑BB′的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【解答】解：（1）如圖所示，△OA′B′即為所求．點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，﹣5）；（2）由圖知，∠AOA′＝90°，OB=32∴點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所走過(guò)的路徑長(zhǎng)BB′=9020．如圖1所示，圓形拱門屏風(fēng)是中國(guó)古代家庭中常見(jiàn)的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端AB＝18分米，C為AB中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，圓心O在線段CD上，CD＝27分米，求拱門所在圓的半徑．【解答】解：連接AO，∵CD過(guò)圓心，C為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C為AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC＝9，設(shè)圓的半徑為x分米，則OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱門所在圓的半徑是（15分）米．21．已知二次函數(shù)幾組x與y的對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣305…（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，y≤0．【解答】解：（1）由題意，設(shè)表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），把（﹣1，0）代入得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線繪制函數(shù)圖象如下：從函數(shù)圖象看，當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍﹣1≤x≤3．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有kx＞x2+bx，直接寫出k的取值范圍．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3），∴3＝9+3b，解得b＝﹣2，∴該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x；（2）利用描點(diǎn)法畫出所給函數(shù)的圖象；x…﹣10123…y…30﹣103…；（2）當(dāng)直線kx經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，3）時(shí)，3＝3k，解得k＝1，此時(shí)函數(shù)y＝kx與二次函數(shù)y＝x2+bx的交點(diǎn)為（0，0）和（3，3），觀察圖象，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，函數(shù)y＝kx的值大于二次函數(shù)y＝x2+bx的值，所以當(dāng)0＜x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有kx＞x2+bx，k的取值范圍是k≥1．23．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC，過(guò)A作AF⊥AC，交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，過(guò)B作BG⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：BG是⊙O的切線；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵C，A，D，F(xiàn)在⊙O上，∠CAF＝90°，∴∠D＝∠CAF＝90°．∵AB⊥CE，BG⊥DF，∴∠BED＝∠G＝90°．∴四邊形BEDG中，∠ABG＝90°．∴半徑OB⊥BG．∴BG是⊙O的切線．（2）解：連接CF，∵∠CAF＝90°，∴CF是⊙O的直徑．∴OC＝OF．∵直徑AB⊥CD于E，∴CE＝DE．∴OE是△CDF的中位線．∴OE=12∵AD=AD，∠AFD＝∴∠ACD＝∠AFD＝30°．∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝60°．∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形．∵CE⊥AB，∴E為AO的中點(diǎn)，∴OA＝2OE＝4，OB＝4．∴BE＝OB+OE＝6．∵∠BED＝∠D＝∠G＝90°，∴四邊形BEDG是矩形．∴DG＝BE＝6．∴FG＝DG﹣DF＝2．24．為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m）的空地上修建一個(gè)矩形小花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)40m的柵欄圍住，如圖所示．若設(shè)矩形小花園AB邊的長(zhǎng)為xm，面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果圍成的面積為150平方米的小花園，求AB的長(zhǎng)．（3）當(dāng)x為何值時(shí)，小花園的面積最大？最大面積是多少？【解答】解：（1）由題意得：y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，∵0＜40﹣2x≤25，∴152≤x＜∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x2+40x（152≤x＜（2）根據(jù)題意得，﹣2x2+40x＝150，解得x＝15或x＝5（不合題意舍去），答：AB的長(zhǎng)為15m；（3）由（1）知，y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∵﹣2＜0，152≤x＜∴當(dāng)x＝10時(shí)，y有最大值，最大值為200，答：當(dāng)x＝10時(shí)，小花園的面積最大，最大面積是200m2．25．某景觀公園計(jì)劃修建一個(gè)人工噴泉，從垂直于地面的噴水槍噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為xm，距地面的豎直高度為ym，獲得數(shù)據(jù)如表：x（米）00.52.03.55y（米）1.672.253.02.250小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小華的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象；（2）直接寫出水流最高點(diǎn)距離地面的高度為3.0米；（3）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：該景觀公園準(zhǔn)備在距噴水槍水平距離3m處修建一個(gè)大理石雕塑，使噴水槍噴出的水流剛好落在雕塑頂端，則大理石雕塑的高度約為2.7m．（結(jié)果精確到0.1m）【解答】解：（1）描出各組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象如下：（2）根據(jù)函數(shù)圖象和表格數(shù)據(jù)可知，對(duì)稱軸為直線x=3.5+0.52∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴水流最高點(diǎn)距離地面的高度為3.0米，故答案為：3.0；（3）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+3，將（5，0）代入解析式得，9a+3＝0，解得a=-1∴拋物線解析式為y=13（x﹣2）2+3（0≤x≤（4）當(dāng)x＝3時(shí)，y=-13（3﹣2）2+3=∴大理石雕塑的高度約為2.7米，故答案為：2.7．26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3a+c）．（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)M（1﹣2a，y1），N（a+2，y2）在拋物線上．若c＜y1＜y2，求a的取值范圍．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：3a+c＝9a+3b+c，化簡(jiǎn)得：b＝﹣2a；該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b2（2）根據(jù)題意得：y1＝a（1﹣2a）2+（﹣2a）（1﹣2a）+c＝4a3﹣a+c，y2＝a（a+2）2+（﹣2a）（a+2）+c＝a3+2a2+c；∵c＜y1＜y2，∴c＜4a3﹣a+c＜a3+2a2+c；∴c＜4a3﹣a+c或4a3﹣a+c＜a3+2a2+c或c＜a3+2a2+c，∵a＞0，解得a＞12或a＜1或a＞﹣∴不等式組的解集為：12＜a＜∴a的取值范圍為：12＜a＜27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC，以P為中心，將線段PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，連接BD．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠ACP＝∠DPB；（3）用等式表示線段BC，BP，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示；（2）證明：∵∠BAC＝90°，∴∠ACP+∠APC＝90°，∵以P為中心，將線段PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，∴∠DPC＝90°，∴∠APC+∠BPD＝90°，∴∠ACP＝∠DPB；（3）解：線段BC，BP，BD之間的數(shù)量關(guān)系是2BP理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．∵PE⊥PB