本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，滿分分，考試時間分鐘．第I卷（選擇題）85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知實數(shù)成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設公比，利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比中項得到方程，求出.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，且，解得.故選：C2.設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（）A.B.C.D.10【答案】C【解析】，后運用對數(shù)性質(zhì)計算即可.【詳解】在等比數(shù)列中，，得.根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，.所以，.故選：C.3.已知橢圓的中心為原點，焦點為，，以為圓心，為半徑的圓交橢圓于、兩點，且，則橢圓的方程是（）第1頁/共24頁

A.B.C.D.【答案】C【解析】、，，再求出，即可得解.【詳解】連接、，根據(jù)對稱性可知，又，所以為等邊三角形，即，所以點為橢圓的短軸的頂點，又，所以，則，所以橢圓方程為.故選：C4.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式可推導證得數(shù)列為等差數(shù)列，進而求得等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求得結(jié)果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，第2頁/共24頁

則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，.故選：D.5.已知為等比數(shù)列的前項和，，，則（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，結(jié)合等比中項的應用計算即可求解.【詳解】由題意知，為等比數(shù)列的前n項和，則成等比數(shù)列，由等比中項，得，即，解得或（舍去）.故選：C6.已知MN是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓的取值范圍為（）A.[51,76]B.[52,76]C.[64,80]D.[68,80]【答案】C【解析】【分析】由是左焦點，連接，利用橢圓對稱性及定義，將目標式化為，結(jié)合及二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.【詳解】若是左焦點，連接，又關(guān)于原點對稱，第3頁/共24頁

所以為平行四邊形或為左右頂點，則，由，則，故，則，開口向上且對稱軸為，又，所以.故選：C7.已知等差數(shù)列的項數(shù)為其中奇數(shù)項之和為偶數(shù)項之和為則()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知等差數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，故奇數(shù)項、偶數(shù)項的和直接代入等差數(shù)列的前項和公式，結(jié)合等差中項的性質(zhì)化簡即可.【詳解】項數(shù)為的中奇數(shù)項共有項,其和為項數(shù)為的中偶數(shù)項共有項,其和為所以解得故選:A.8.已知O為坐標原點，雙曲線C:的左、右焦點分別是F，F(xiàn)，離心率為，點是CF2作M，第4頁/共24頁

雙曲線C上一點T滿足，則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設，由雙曲線的方程求點到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設半焦距為c，延長交于點N，由于PM是平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點，所以MO是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.第5頁/共24頁

轉(zhuǎn)化為用a曲線的標準方程.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.C.當取得最大值時，D.【答案】CD【解析】，，，選項一一判斷，得到答案.【詳解】ABD選項，設的公差為，，故，，故，所以，且，，即是遞減數(shù)列，AB錯誤，D正確.C選項，由于是遞減數(shù)列，，，故當取得最大值時，，C正確.故選：CD10.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過坐標原點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，為的右支上一點（異于點的內(nèi)切圓圓心為.則以下結(jié)論正確的是（）A.直線與的斜率之積為4B.若，則第6頁/共24頁

C.以為直徑的圓與圓相切D.若，則點坐標為【答案】BC【解析】【分析】由題意設點,，,，,，把點，坐標代入雙曲線的方程，兩式相減得，即可判斷A；利用余弦定理，結(jié)合；記，則雙曲線定義即可判斷B，由于，利用勾股定理以及雙曲線定義，結(jié)合等面積法進而可求內(nèi)切圓半徑，利用切線長的性質(zhì)即可求解C；畫出圖形，利用是線段的中點，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及定義，轉(zhuǎn)化推出以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系即可判斷D．【詳解】設點,，,，,，則且，兩式相減得，，，故A錯誤，由于，，若，由余弦定理可得，解得，由于，故，故B正確，在雙曲線右支上，，是線段的中點，，是線段的中點，，，，，即圓心距等于兩圓的半徑之差，以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是內(nèi)切，故C正確．第7頁/共24頁

記，則，，，解得或，的面積為，設三角的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，設圓與三邊相切于，則設則故，解得，所以,故或,D錯誤，故選：BC．在邊長為2的等邊三角形紙片中，取邊的中點，在該紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片的中點中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，以此類推得到紙片，，，，，設的周長為，面積為，則（）A.B.C.D.【答案】ABD第8頁/共24頁

【解析】【分析】畫出圖形依據(jù)裁剪規(guī)律可得比多了兩條邊到，即A正確，比少了一個以為斜邊的等腰直角三角形，可得，C錯誤；再分別利用A和C中的結(jié)論，由累加法計算可得BD正確.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示規(guī)律：對于A，易知比多了兩條邊，少了線段；由，可得，故A正確；對于B，利用A中結(jié)論由累加法可得，當時，，又，所以，顯然當時，也符合上式，即B正確；對于C，比少了一個以為斜邊的等腰直角三角形，第9頁/共24頁

所以，即C錯誤；對于D，利用B中結(jié)論由累加法可得，當時，，又，所以，顯然當時，也符合上式，即D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于由裁剪規(guī)律得出以及之間的遞推規(guī)律，再利用累加法由等比數(shù)列前項和公式即可求得結(jié)果.第卷（非選擇題）三、填空題：本大題3個小題，每小題5分，共分．各題答案必須填寫在答題卡上相應位12.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，則__________．【答案】2【解析】，，.【詳解】因為遞增的等比數(shù)列中，，，且，可知和是一元二次方程的兩個根，且，解得，，可得，所以第10頁/共24頁

故答案為：2.13.已知正項數(shù)列滿足，且，則_____．【答案】27【解析】【分析】首先由遞推關(guān)系式得出是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，再代入，結(jié)合，即可求出，最后利用等差數(shù)列的通項公式即可求得答案.【詳解】由，，①，②②①得，即，所以是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，令，得，又，，所以，解得，.故答案為：27.14.過拋物線的焦點的直線交于，兩點，，是的準線為直徑的圓與切于點，且以，，，為頂點的四邊形的面積為64，則直線的斜率為______.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義和性質(zhì)，證明，，再聯(lián)立拋物線與過焦點的直線，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線的斜率.第11頁/共24頁

【詳解】設拋物線的準線與軸交于一點，過作于一點，過作于一點，連接，，由拋物線的定義知，，，，，又，，，因此，，，又，則，設的中點為，則，因此，，即，因此以為直徑的圓與切于點，且為圓的半徑，而過直線與垂直時，在準線只有唯一的交點，這個交點即為與切于點的圓的圓心，因此在準線只有一個圓與切于點，故要使以的準線上兩點為直徑的圓與切于點，則與重合，與重合，因此四邊形為直角梯形，由題意知，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，則，聯(lián)立可得，整理得，第12頁/共24頁

則，，因此，又的符號相反，因此，，則，又，又梯形的面積為64，則，即，整理得，，解得，因此，直線的斜率為.故答案為：.1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用焦點弦公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.四、解答題：本大題5個小題，共分．各題解答必須答在答題卡上（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）15.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求的通項公式.第13頁/共24頁

（3）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.（2）由（1）的結(jié)論與等差數(shù)列通項公式即可得到結(jié)果.（3）利用分組求和與等差等比前n項和公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：因為，所以，所以.因為，所以，所以數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可得，則，故.【小問3詳解】解：由（2）可得，則第14頁/共24頁

16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【小問1詳解】因為，所以，解得：．【小問2詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．17.數(shù)列的前項和為，．正項等比數(shù)列的首項為1，為其前項和，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；第15頁/共24頁

（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】（1），（2）【解析】1）根據(jù)與的關(guān)系求解，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式及題設分，兩種情況求解；（2）轉(zhuǎn)化問題為對對任意的恒成立，進而利用不等式組求得的最小值，即可求解.【小問1詳解】由，當時，，又，滿足上式，所以.因為正項等比數(shù)列的首項為1，，設其公比為，當時，，，不滿足；當時，且，，化簡整理得，解得，則，所以，.小問2詳解】由，則，即對任意的恒成立，當時，，當時，設數(shù)列在第項取得最小值，第16頁/共24頁

則，解得，所以當時，取得最小值，又，所以，所以實數(shù)的最大值為.18.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1性質(zhì)證明，利用勾股定理證明據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】第17頁/共24頁

不妨設，因為平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，，所以，設，則，即，所以；設為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，第18頁/共24頁

解得，故．19.如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長軸長為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點作軸的垂線交其“伴隨圓”于點，稱點為點的“伴隨點”．已知橢圓上的點的一個“伴隨點”為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點與點關(guān)于軸對稱．（?。┳C明：直線恒過定點；（ⅱ）記（?。┲械闹本€所過的定點為，若在直線上的射影分別為（，為，，的面積分別為，求的取值范圍．【答案】（1）（2【解析】第19頁/共24頁

1）由橢圓過點，其伴隨圓過點列方程組即可求得橢圓方程；（2i）分直線的斜率不為0和為0兩種情況討論，直線的斜率不為0時可設直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合橢圓的對稱性，利用韋達定理化簡即可求得直線恒過定點；（ii）法一：設直線的方程為，分別求出，則可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍；法二：表示，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍；法三：設直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理化簡可得，再結(jié)合二次函數(shù)的