北師版-數(shù)學(xué)-八年級下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用4線段的垂直平分線第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)與判定情境導(dǎo)入某小區(qū)為了安全管理，準(zhǔn)備在A，B兩幢樓房之間增加一處節(jié)能燈，要求節(jié)能燈與兩樓之間的距離相等，燈到A，B幢樓所在直線的垂直距離為20m，你能確定節(jié)能燈的位置嗎？問題1：什么是線段的垂直平分線？經(jīng)過某一條線段的____，并且____于這條線段的____是線段的垂直平分線．問題2：如圖，在幸福路的同側(cè)有兩個村莊A，B，政府部門計劃在幸福路邊上修建一個儲水塔．為了使儲水塔到兩個村莊一樣遠(yuǎn)，地址應(yīng)選在何處？小明想到的解決方案是：連接A，B，然后作線段AB的垂直平分線與道路交于點P，點P即為所求的地址，你能解釋一下他這樣做的理由嗎？中點垂直直線命題角度1理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理探究新知線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點距離相等，注意分析基本圖形，讀透圖形包含的重要信息，解決有關(guān)線段相等的問題．如圖，A，B表示兩個倉庫，要在A，B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？分析：線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的一條對稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A，B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成，AB應(yīng)用舉例例1如圖，線段AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，則下列結(jié)論一定成立的是()A．ED＝CDB．AD＝BDC．AB＝ACD．BD＝ACB【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是()A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC歸納總結(jié)定理

線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.符號語言：∵點P在直線MN上，MN⊥AB于點C，AC=BC，∴PA=PB.注意：線段垂直平分線上的“點”是任意一點，這個點到線段兩個端點的距離相等是指它與已知線段的兩個端點所連線段的長度相等.跟蹤訓(xùn)練BAOP1.如圖所示，PO是AB的垂直平分線，則下列結(jié)論正確的有(

)①PA=PB；②OA=OB；③∠A=∠B；④∠APO=∠BPO.A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④C2.在△ABC中，DE是AC的垂直平分線.若△ABD的周長為13cm，則AB+BC=

cm；

分析：∵DE是AC的垂直平分線，13∴AD=CD(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等).∵AB+BD+AD=13cm，∴AB+BC=AB+BD+CD=AB+BD+AD=13cm.你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上.即到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．想一想已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC=BC，P是MN上的任意一點.求證：PA=PB.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．命題角度2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求值探究1【線段垂直平分線的性質(zhì)】探究新知如果點P與點C重合，那么結(jié)論顯然成立.證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°，∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).寫出線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆命題，并證明．定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．探究2【線段垂直平分線的判定】已知：如圖，線段AB，點P是平面內(nèi)一點，且PA＝PB.求證：點P在AB的垂直平分線上．ABP證法一：過點P作已知線段AB的垂線PC，垂足為C.CABP∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，∴AC＝BC，即點P在AB的垂直平分線上．證法二：取AB的中點C，過點P，C作直線．CABP證明：∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA＝∠PCB.又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴點P在AB的垂直平分線上．應(yīng)用舉例例3如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E.若BC＝6，AC＝5，則△ACE的周長為()A．8

B．11

C．16

D．17B例4

如圖，已知CD是AB的垂直平分線，AC＝4cm，BD＝2cm，則四邊形ADBC的周長為_______．12cm歸納總結(jié)符號語言：∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線MN上.定理

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.注意：由PA=PB只能判定點P一定在線段AB的垂直平分線上，但不能判定過點P的直線就是線段AB的垂直平分線，因為過點P的直線有無數(shù)條.命題角度3線段垂直平分線的判定探究新知證明一條直線是某線段的垂直平分線，既可以用定義證明，也可以用判定定理證明．應(yīng)用舉例例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.【方法指導(dǎo)】線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用．證明：∵AB＝AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上．同理，點O在線段BC的垂直平分線上，∴直線AO是線段BC的垂直平分線．

還有其他證法嗎?有其他證法.ABCOD證明：如圖所示，設(shè)AO交BC于點D.在△ABO和△ACO中，∵AB=AC，OB=OC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO=∠CAO，又AB=AC，∴AD⊥BC，BD=CD，∴直線AO垂直平分線段BC.例2

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交AC于點E，若AD＋AC＝24cm，BD＋BC＝20cm，求△BEC的周長．

ADEBC解：∵DE垂直平分AB，ADEBC

∵AD＋AC＝24cm，∴AD＝BD＝8cm，AC＝16cm.

∵BD＋BC＝20cm，∴BC＝12cm.∵DE垂直平分線段AB，∴EA＝EB，∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm).即△BEC的周長為28cm.應(yīng)用舉例例5如圖，P是△ABC內(nèi)的一點，若PB＝PC，則()A．點P在∠ABC的平分線上B．點P在∠ACB的平分線上C．點P在邊AB的垂直平分線上D．點P在邊BC的垂直平分線上D例6

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延長線上一點，E是BD的垂直平分線與AB的交點，連接DE交AC于點F.求證：點E在AF的垂直平分線上．證明：∵E是BD的垂直平分線上的一點，∴EB＝ED，∴∠B＝∠D.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D，∴∠CFD＝∠A.∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A，∴EF＝EA，∴點E在AF的垂直平分線上．例7如圖，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于點E，你能在圖中找到哪些相等的角?ABECD∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分線.像AB=AD，CB=CD這樣的四邊形ABCD叫作“箏形”.隨堂練習(xí)1．如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點E，F(xiàn)，若AB＝4，BC＝9，則△AEF的周長為()A．4B．5C．9D．13C2．如圖，AD是線段BC的垂直平分線，AB＝5，BD＝4，則AC＝____，CD＝____，AD＝____．5433．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE為AB的垂直平分線，則∠1＝____，∠C＝____，∠3＝____，∠2＝____；若△ABC的周長為16cm，BC＝4cm，則AC＝____cm，△BCE的周長為____cm.40°70°30°80°6104.還記得用尺規(guī)作線段垂直平分線的方法嗎?試用本節(jié)所學(xué)的定理解釋其中的道理.解：因為“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”，所以我們只需利用尺規(guī)作出到已知線段兩個端點的距離分別相等的兩個點，然后利用“兩點確定一條直線”即可作出已知線段的垂直平分線.5.已知：如圖，AB是線段CD的垂直平分線，E，F(xiàn)是AB上的兩點.求證：∠ECF=∠EDF.證明：∵AB是線段CD的垂直平分線，∴EC=ED，F(xiàn)C=FD(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等)，∴∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC(等邊對等角)，∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC，即∠ECF=∠EDF.6.如圖，OM垂直平分AB，ON垂直平分AC，BC與OM，ON分別交于點D，E，連接AD，AE.若BC=10，求△ADE的周長.證明：∵OM垂直平分AB，點D在OM上，

∴BD=AD.同理可得CE=AE.∴△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10.7.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，G為EF的中點.求證：DG垂直平分EF.證明：如圖所示