1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)（文）第一部分 （選擇題 共40分）一、 選擇題共8小題。每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1已知集合，則（ ）A B C D2設(shè),且,則 ()（A）（B）（C）（D）3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+ )上單調(diào)遞減的是（A） (B) （C） (D) 4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限5在ABC中，,則（A） （B） （C） （D）16執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為開(kāi)始是否輸出結(jié)束（A）1 （B）（C） （D）7雙曲線的離心率大于

2、的充分必要條件是A B C D8如圖，在正方體中，為對(duì)角線的三等分點(diǎn)，則到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（ ）（A）3個(gè) （B）4個(gè) （C）5個(gè) （D）6個(gè) 第二部分（非選擇題 共110分）二填空題共6題，每小題5分，共30分。9若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）則=_;準(zhǔn)線方程為_(kāi).10某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為_(kāi).1俯視圖側(cè)（左）視圖正（主）視圖 2 1 1 2 11若等比數(shù)列滿足，則公比=_;前項(xiàng)=_.12設(shè)為不等式組，表示的平面區(qū)域，區(qū)域上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為_(kāi).13函數(shù)f（x）=的值域?yàn)開(kāi).14已知點(diǎn)，.若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)P組成，則D的面積為_(kāi).三解答

3、題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15（本小題共13分）已知函數(shù).（I）求的最小正周期及最大值； （II）若，且，求的值.16(本小題共13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天.（）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率;（）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率;（）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面底面，和分別是和的中點(diǎn)，求證：

4、（1）底面；（2）平面；（3）平面平面 18（本小題共13分）已知函數(shù).（）若曲線在點(diǎn))處與直線相切，求與的值。（）若曲線與直線 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍。19（本小題共14分）直線（）：相交于，兩點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且四邊形為菱形時(shí)，求的長(zhǎng)。（2）當(dāng)點(diǎn)在上且不是的頂點(diǎn)時(shí)，證明四邊形不可能為菱形。20本小題共13分）給定數(shù)列.對(duì)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)的最小值記為，.（）設(shè)數(shù)列為3，4，7，1，寫(xiě)出，的值;（）設(shè)（）是公比大于1的等比數(shù)列，且.證明：，是等比數(shù)列；（）設(shè)，是公差大于0的等差數(shù)列，且，證明：，是等差數(shù)列.參考答案一選擇題：1B 2D 3C 4A 5B

5、6C 7C 8B 二填空題：92， 103 112， 12 13（，2） 143 三解答題：15解：（I）因?yàn)?，所以的最小正周期為，最大值為.（II）因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所以，所以，?16解：（I）在3月1日至3月13日這13天中，1日2日3日7日12日13日共6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率是.（II）根據(jù)題意，事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)該市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.所以此人在該市停留期間只有1天空氣質(zhì)量重度污染的概率為.（III）從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.17（I）因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,且

6、PA垂直于這個(gè)平面的交線AD所以PA垂直底面ABCD.（II）因?yàn)锳BCD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn)所以ABDE,且AB=DE所以ABED為平行四邊形，所以BEAD,又因?yàn)锽E平面PAD,AD平面PAD所以BE平面PAD.（III）因?yàn)锳BAD,而且ABED為平行四邊形所以BECD,ADCD,由（I）知PA底面ABCD,所以PACD,所以CD平面PAD所以CDPD,因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.18解：由，得.（I）因?yàn)榍€在點(diǎn)處與直線相切，所以，解得，.（II）令，得. 與的情況如下：所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在

7、區(qū)間上單調(diào)遞增，是的最小值.當(dāng)時(shí)，曲線與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，, ,所以存在，使得.由于函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)，所以當(dāng)時(shí)曲線與直線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).綜上可知，如果曲線與直線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么的取值范圍是.19解：（I）因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分.所以可設(shè)，代入橢圓方程得，即. 所以|AC|=.（II）假設(shè)四邊形OABC為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是的頂點(diǎn)，且ACOB,所以.由，消去并整理得.設(shè)A,C，則，.所以AC的中點(diǎn)為M（，）.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且，所以直線OB的斜率為.因?yàn)?，所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形.20解：（I）.（II）因