1、1,積分變換,第一章 Fourier變換,Recall: 周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級數(shù)； 但全直線上的非周期函數(shù)不能有Fourier表示； 引進(jìn)類似于Fourier級數(shù)的Fourier積分 (周期趨于無窮時的極限形式),2,1 Fourier積分公式,1.1 Recall:,在工程計算中, 無論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:,具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表單位時間振動的次數(shù), 單位時間通常取秒, 即每秒重復(fù)多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).,t,3,最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們

2、發(fā)現(xiàn), 所有 的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的 線性組合來逼近.- Fourier級數(shù),方波,4個正弦波的逼近,100個正弦波的逼近,4,研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況.,5,引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：,6,7,8,對任何一個非周期函數(shù)f (t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f (t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f (t)相等的范圍也越大, 這就說明當(dāng)T時, 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)

3、化為f (t), 即有,9,例 矩形脈沖函數(shù)為,如圖所示:,1,-1,o,t,f (t),1,10,現(xiàn)以f (t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則,11,則,12,sinc函數(shù)介紹,sinc(x),x,13,前面計算出,w,14,現(xiàn)在將周期擴大一倍, 令T=8, 以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t),1,-1,7,T=8,f8(t),t,15,則,16,則在T=8時,w,17,如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計算出,w,18,一般地, 對于周期T,19,當(dāng)周期T越來越大時, 各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小, 而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是

4、sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f (t)看作是周期無窮大的周期函數(shù), 則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成, 將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f (t)的各個頻率成份上的分布, 稱作方波函數(shù)f (t)的傅里葉變換.,20,1.2 Fourier積分公式與Fourier積分存在定理,21,22,23,24,也可以轉(zhuǎn)化為三角形式,25,又考慮到積分,26,2 Fourier變換 2.1 Fourier變換的定義,27,Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.,28,在頻譜分析中, 傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),

5、而它的模|F(w)|稱為f (t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜). 由于w是連續(xù)變化的, 我們稱之為連續(xù)頻譜, 對一個時間函數(shù)f (t)作傅氏變換, 就是求這個時間函數(shù)f (t)的頻譜.,29,例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換及其積分表達(dá)式。,30,31,t,32,2.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術(shù)中, 常常會碰到單位脈沖函數(shù). 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中, 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).,33,在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(設(shè)為t

6、=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當(dāng)t0時, i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.,34,如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度. 為了確定這樣的電流強度, 引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如點電荷, 點熱源, 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.,35,（

7、在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。,36,可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值, 稱為d-函數(shù)的強度.,d-函數(shù)有性質(zhì)：,可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實軸上的積分都有明確意義。,37,d-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對.,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構(gòu)成傅氏變換對.,證法1：,38,由上面兩個函數(shù)的變換可得,39,例如常數(shù), 符號函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈沖函數(shù)及其傅

8、氏變換就可以求出它們的傅氏變換. 所謂廣義是相對于古典意義而言的, 在廣義意義下, 同樣可以說,原象函數(shù)f(t) 和象函數(shù)F(w) 構(gòu)成一個傅氏變換對.,在物理學(xué)和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件, 即不滿足條件,40,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,41,例 5 證明：,證：,42,43,3 Fourier變換與逆變換的性質(zhì),這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì), 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時, 不再重述這些條件.,1.線性性質(zhì):,44,2. 位移性質(zhì):,證明：,返回,45,3. 相似性：,證明：,46,例1 計算 。,方法1：（先用相似性，再用平移性）,47,方法2：（先用平移性，再用相似性）,48,4.微分性：,49,5.積分性：,6. 帕塞瓦爾(Parserval)等式,50,實際上, 只要記住下面五個傅里葉變換, 則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.,51,例2 利用傅氏變換的性質(zhì)求d (t-t0),性質(zhì),性質(zhì),