1、(學(xué)P88),第24講 幾何作圖,第五章 基本圖形(二),第二篇 圖形與幾何,1尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度 的直尺 2基本作圖： (1)作一條線段等于已知線段，以及線段的和、差； (2)作一個(gè)角等于已知角，以及角的和、差； (3)作角的平分線； (4)作線段的中垂線,3利用基本作圖作三角形： (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 4與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖： (1)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)； (2)作三角形的內(nèi)切圓 5有關(guān)中心對(duì)稱(chēng)

2、或軸對(duì)稱(chēng)的作圖以及圖案設(shè)計(jì),6作圖題的一般步驟： (1)分析、畫(huà)草圖；(2)寫(xiě)已知、求作；(3)作圖；(4)結(jié)論；(5)證明(常不作要求)注意：作圖中一般要保留作圖痕跡 7注意事項(xiàng)： (1)一般的幾何作圖，初中階段只要求寫(xiě)出已知、求作、作法三個(gè)步驟，完成作圖時(shí)，需要注意作圖痕跡的保留，作法中要注意作圖語(yǔ)句的規(guī)范和最后的作圖結(jié)論 (2)根據(jù)已知條件作幾何圖形時(shí)，可采用逆向思維，假設(shè)已作出圖形，再尋找圖形的性質(zhì)，然后作圖或設(shè)計(jì)方案 (3)實(shí)際問(wèn)題要理解題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,分類(lèi)討論：作圖問(wèn)題不是在任何已知的條件下都能作出圖形，要分清問(wèn)題有一個(gè)解、多個(gè)解或者沒(méi)有解,1下列給出的條件一定能畫(huà)

3、出唯一的三角形的是( ) A兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊 B三個(gè)角 C兩邊和其中一邊的對(duì)角 D任意給出三條線段作三角形的三邊,A,2(2014宜昌)如圖，在ABC中，ABAC，A30，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑圓弧，交AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD，則ABD( ) A30 B45 C60 D90,B,3(2014麗水、衢州)如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)C，D，則直線CD即為所求. 連結(jié)AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是( ) A矩形 B菱形 C正方形 D等腰梯形,B,4如圖，在長(zhǎng)方形網(wǎng)格中

4、，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是( ),C,A2 B3 C4 D5,5如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心， 大于 AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N， 作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD.若ADC的周長(zhǎng) 為10，AB7，則ABC的周長(zhǎng)為( ) A7 B14 C17 D20,C,(學(xué)P89),【問(wèn)題】如圖，已知線段,(1)只用直尺(沒(méi)有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個(gè)直 角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使 ABa，BC a(要求保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出 作法)； (2)若在

5、(1)作出的RtABC中，AB4cm，求AC邊上 的高,【解析】(1)畫(huà)法略如圖1， ABC是所求的三角形 (2)如圖2，ABa4，BC a2， AC ， AC邊上的高BD .,【歸納】(1)復(fù)習(xí)基本作圖，其中求作三角形包括：已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；已知三角形的三邊，求作三角形求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn)；而求作直角三角形時(shí)，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形 (2)復(fù)習(xí)作圖題的一般步驟：分析、畫(huà)草圖；寫(xiě)已知、求作；作圖；結(jié)論；證明(常不作要求)注意：作圖中一般要保留作圖痕跡,類(lèi)型一 利用尺規(guī)作直線、角和三角形,例1 (2013

6、鞍山)如圖，已知線段a及O，只用直尺和圓規(guī)，求作ABC，使BCa，BO， C2B(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法),【思路分析】先作一個(gè)角等于已知角，即MBNO，在邊BN上截取BCa，以射線CB為一邊，C為頂點(diǎn)，作PCB2O，CP交BM于點(diǎn)A，ABC即為所求,【答案】,【解后感悟】本題是基本作圖，關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的基本作圖方法 要注意幾點(diǎn)：(1)熟練掌握幾種基本圖形的作法 (2)分析尺規(guī)基本作圖問(wèn)題的解決過(guò)程，寫(xiě)好作圖的主要畫(huà)法，并完成作圖 (3)尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于：先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么讀清題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法，可以組合應(yīng)用解決問(wèn)題,ABC為求作的三角形,1(

7、2014紹興)用直尺和圓規(guī)作ABC，使BCa， ACb，B35，若這樣的三角形只能作一個(gè)， 則a，b間滿足的關(guān)系式是 . 2(2013樂(lè)山)如圖，已知線段AB. (1)用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法)； (2)在(1)中所作的直線l上任意取兩點(diǎn)M、N(線段AB的上方)，連結(jié)AM、AN、BM、BN. 求證：MANMBN.,或ba,【答案】(1)作圖如下：,(2)證明：根據(jù)題意作出圖形如圖,點(diǎn)M，N在線段AB的垂直平分線上， AMBM，ANBN 又MNMN，AMNBMN(SSS) MANMBN.,類(lèi)型二 利用尺規(guī)作點(diǎn),例2 如圖，已知弧AB.求作： (1)

8、確定弧AB所在圓的圓心O； (2)過(guò)點(diǎn)A且與O相切的直線(要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法),【思路分析】根據(jù)“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”，在AB上另找一點(diǎn)C，分別畫(huà)弦AC、BC的中垂線，交點(diǎn)即為圓心O.,【答案】(1)在AB上取點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，畫(huà)AC、BC的中垂線，交于點(diǎn)O； (2)連結(jié)OA，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)ATOA.,【解后感悟】本題是基本作圖，以及線段垂直平分線的作法和性質(zhì)等知識(shí)運(yùn)用，認(rèn)真分析揣摩所給的信息，結(jié)合題目要求思考是解題的關(guān)鍵,3A，B是平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，在平面上找一點(diǎn)C，使ABC構(gòu)成等腰直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)請(qǐng)問(wèn)：這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？在圖中作出符合條件的點(diǎn)

9、(要求尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫(xiě)作法),【答案】因?yàn)榈妊苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離相等，且C90，故利用線段中垂線的性質(zhì)和圓中直徑所對(duì)的圓周角為直角作圖如圖，故符合題意的點(diǎn)有2個(gè),(學(xué)P90頁(yè)),類(lèi)型三 利用幾何作圖設(shè)計(jì)圖形,例3 (2012達(dá)州)數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：,作法：在OA和OB上分別截取OD、OE，使ODOE. 分別以D、E為圓心，以大于 DE的長(zhǎng)為半徑作 弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)C. 作射線OC.則OC就是AOB的平分線,小聰只帶了直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線，方法如下：,步驟：利用三角板上的刻度，在OA和O

10、B上分別截取OM、ON，使OMON. 分別過(guò)M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P. 作射線OP，則OP為AOB的平分線,小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過(guò)嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線 根據(jù)以上情境，解決下列問(wèn)題： (1)李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是_ (2)小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 (3)請(qǐng)你幫小穎設(shè)計(jì)用刻度尺作角平分線的方法(要求：作出圖形，寫(xiě)出作圖步驟，不予證明),【思路分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可求解； (2)根據(jù)HL可證RtOMPRtONP，再根據(jù)全等三角 形的性質(zhì)即可作出判斷； (3)根據(jù)用刻度尺作角平分線的方法作出圖形，寫(xiě)出 作圖步驟即可,【答

11、案】(1)SSS. (2)小聰?shù)淖鞣ㄕ_理由如下： PMOM，PNON，OMPONP90. 在RtOMP和RtONP中，OPOP，OMON， RtOMPRtONP(HL)MOPNOP. OP平分AOB. (3)如圖所示,步驟：利用刻度尺在OA、OB上分別截取OGOH； 連結(jié)GH，利用刻度尺作出GH的中點(diǎn)Q； 作射線OQ.則OQ為AOB的平分線,【解后感悟】本題是基本作圖，運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，從作圖語(yǔ)句中提取正確信息是解題的關(guān)鍵,4(2014溫州)如圖，在所給方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，標(biāo)號(hào)為，的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處)

12、請(qǐng)按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形，使它們與標(biāo)號(hào)為，的三個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)全等 (1)圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD； (2)圖乙中的平行四邊形ABCD. 注：分割線畫(huà)成實(shí)線,【答案】(1)如圖1所示 (2)如圖2所示,類(lèi)型四 利用幾何作圖的計(jì)算和判斷,例4 (2014廣東)如圖，點(diǎn)D在ABC的AB邊上，且ACDA. (1)作BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)； (2)在(1)的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明),【思路分析】(1)根據(jù)角平分線基本作圖的作法 作圖即可； (2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BDE BDC， 根據(jù)三角

13、形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得A BDC， 再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論,【答案】(1)如圖所示：,(2)DEAC DE平分BDC，BDE BDC， ACDA，ACDABDC， A BDC，ABDE，DEAC.,【解后感悟】這類(lèi)問(wèn)題往往是根據(jù)幾種基本作圖法作出圖形，再利用作好的圖形解決問(wèn)題，需要同學(xué)們能準(zhǔn)確地作出圖形，并能明確作圖過(guò)程中所用的知識(shí)，這樣才有利于我們解決以下的證明或計(jì)算問(wèn)題,5在ABC中，按以下步驟作圖：分別以B、C為 圓心，以大于 BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩 點(diǎn)M、N；作直線MN交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD. 若 CDAC，B25，則ACB的度數(shù)為 . 6(2012蘭州)如圖1，

14、矩形紙片ABCD，把它沿對(duì)角 線BD向上折疊 (1)在圖2中用實(shí)線畫(huà)出折疊后得到的圖形(要求尺 規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法) (2)折疊后重合部分是什么圖形？說(shuō)明理由,105,【答案】(1)作圖如下：,(2)等腰三角形理由如下：,BDE是BDC沿BD折疊而成，BDEBDC.FDBCDB. 四邊形ABCD是矩形，ABCD. ABDBDC.FDBFBD. BDF是等腰三角形,(學(xué)P91頁(yè)) 類(lèi)型五 利用幾何作圖解決實(shí)際問(wèn)題,例5 (2013白銀)兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距

15、離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C.(不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡),【思路分析】仔細(xì)分析題意，尋求問(wèn)題的解決方案到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C.由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點(diǎn)C有2個(gè),【答案】 (1)作出線段AB的垂直平分線； (2)作出角的平分線(2條)； 它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C(2個(gè)),【解后感悟】本題借助實(shí)際場(chǎng)景，利用幾何基本 作圖、線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)運(yùn) 用題中符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，

16、注意避免漏解,7某公園有一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正三角形花壇，三角形的頂點(diǎn)A、B、C上各有一棵古樹(shù)現(xiàn)決定把原來(lái)的花壇擴(kuò)建成一個(gè)圓形或平行四邊形花壇，要求三棵古樹(shù)不能移動(dòng)，且三棵古樹(shù)位于圓周上或平行四邊形的頂點(diǎn)上以下設(shè)計(jì)過(guò)程中要求用直尺和圓規(guī)畫(huà)圖，不要求寫(xiě)出畫(huà)法 (1)按圓形設(shè)計(jì)，利用圖1畫(huà)出你所設(shè)計(jì)的圓形花壇示意圖； (2)按平行四邊形設(shè)計(jì)，利用圖2畫(huà)出你所設(shè)計(jì)的平行四邊形花壇示意圖； (3)若想新建的花壇面積 較大，選擇以上哪一種 方案合適？請(qǐng)說(shuō)明理由,【答案】按照題意畫(huà)圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn) 題，并計(jì)算圖形的面積，然后作大小比較 (1)作圖工具不限，只要點(diǎn)A、B、C在同一圓上即可 (2)作圖工

17、具不限，只要點(diǎn)A、B、C在同一平行四邊 形頂點(diǎn)上即可 (3)rOB ， SOr2 16.75， 又S2SABC2( 42sin60) 8 13.86， SOS，選擇建圓形花壇的面積較大,【探索研究題】 【試題】(2013南昌)如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點(diǎn)C在半圓外；圖2中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求畫(huà)圖 (1)在圖1中，畫(huà)出ABC的三條高的交點(diǎn)； (2)在圖2中，畫(huà)出ABC中AB邊上的高,【分析與解】圖1點(diǎn)C在圓外，要畫(huà)三角形的高，就是要過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具(無(wú)刻度的直尺，只能作直線或連結(jié)線段)，說(shuō)明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來(lái)畫(huà)圖(這就

18、是創(chuàng)新作圖的魅力所在)，作高就是要構(gòu)造90度角，顯然由圓的直徑就應(yīng)聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為90度”設(shè)AC與圓的交點(diǎn)為E，連結(jié)BE，就得到AC邊上的高BE；同理設(shè)BC與圓的交點(diǎn)為D，連結(jié)AD，就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點(diǎn)就是ABC的三條高的交點(diǎn)；題(2)是題(1)的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點(diǎn)，受題(1)的啟發(fā)，我們能夠作出ABC的三條高的交點(diǎn)P，再作射線PC與AB交于點(diǎn)D，則CD就是所求作的AB邊上的高,在圖1中，點(diǎn)P即為所求；在圖2中，CD即為所求,【方法與對(duì)策】本題屬創(chuàng)新作圖題，是中考熱點(diǎn)題型之一，也是中考命題的方向考查同學(xué)們對(duì)圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力，題(1)是要作點(diǎn)，題(2)是要作高，都是要解決直角問(wèn)題，用到的知識(shí)就是“直徑所對(duì)的圓周角為直角”,忽視求作要求 【問(wèn)題】 已知三角形的兩邊和其中一邊上的中線長(zhǎng)，利用尺規(guī)，求作這個(gè)三角形已知：線段a，b為兩邊，m為邊b的中線，求作：ABC，使BCa，ACb，且AMMC，BMm.,【分析】學(xué)生錯(cuò)誤 量得a1.7cm，b1.4cm，m1.6cm，作 BC1.7cm，MC0.7cm，MB1.6cm