1、2014年六年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：數(shù)論綜合二一、興趣篇1有4個不同的正整數(shù)，它們中任意2個數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個數(shù)的和都是3的倍數(shù)要使這4個數(shù)的和盡可能小，這4個數(shù)應(yīng)該分別是多少？2已知算式（1+2+3+n）+2007的結(jié)果可表示為n（n1）個連續(xù)自然數(shù)的和請問：共有多少個滿足要求的自然數(shù)n？3有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有4種所有滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個是多少？4甲、乙兩個自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小2008滿足上述條件的自然數(shù)有幾組？5兩個不同兩位數(shù)的乘積為完全平方數(shù)，它們的和最大可能是多少？6n個自然數(shù)，它們的和乘

2、以它們的平均數(shù)后得到2008請問：n最小是多少？7一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=5232，16就是一個“智慧數(shù)”，請問：從1開始的自然數(shù)列中，第2008個“智慧數(shù)”是多少？8將100!5分別除以2，3，4，100，可以得到99個余數(shù)（余數(shù)有可能為0）這99個余數(shù)的和是多少？9小悅、冬冬和阿奇三人經(jīng)常去電影院，小悅每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齊每隔6天去一次今天他們?nèi)硕既ル娪霸?，將來會有連續(xù)三天都有人去電影院如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？10有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、8的倍數(shù)這三

3、個數(shù)中最小的一個是多少？二、拓展篇（共12小題，滿分0分）11一個正整數(shù)，如果加上100是一個完全平方數(shù)，如果加上168，則是另一個完全平方數(shù)，則這個正整數(shù)是12已知甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？13冬冬往一個水池里扔石子第一次扔l顆石子，第二次扔2顆石子，第三次扔3顆石子，第四次扔4顆石子他準(zhǔn)備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)請問：冬冬最少需要扔多少次？14數(shù)學(xué)老師把一個兩位數(shù)的約數(shù)個數(shù)告訴了小悅，聰明的小悅仔細(xì)思考了一下后算出了這個數(shù)同學(xué)們，你們知道這個數(shù)可能是多少嗎？15在一個正整數(shù)的所有約數(shù)中，個位數(shù)字為0，1，2，9的數(shù)都出現(xiàn)過，這

4、樣的正整數(shù)最小是多少？16求最小的正整數(shù)n，使得2006+7n是完全平方數(shù)17請寫出由不同的兩位數(shù)組成的最長的等比數(shù)列18有一些自然數(shù)，它們不能用三個不相等的合數(shù)之和來表示這樣的自然數(shù)中的最大一個是多少？19有些數(shù)既能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個連續(xù)自然數(shù)的和例如：105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18請問：在1至1000中一共有多少個滿足上述要求的數(shù)？20一個特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列現(xiàn)在設(shè)定指針第一秒

5、轉(zhuǎn)動的角度為a度（a為小于360的整數(shù)），則其第二秒轉(zhuǎn)動a+l度，第三秒轉(zhuǎn)動a+2度如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么a一共有幾種設(shè)定方法？最小可以被設(shè)成多少？21某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，12他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？22在等差數(shù)列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)比前n+l個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)少3個，那么n最小是多少？三、超越篇（共8小題，滿分0分）

6、23有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個）的形式時，恰好有20種方法這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫出質(zhì)因數(shù)分解）24有些自然數(shù)可以表示成兩個合數(shù)相乘再加一個合數(shù)的形式，例如：33=46+9請問：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？25在給定的圓周上有100個點任取一點標(biāo)上1；按順時針方向從標(biāo)有1的點往后數(shù)2個點，標(biāo)上2；從標(biāo)有2的點再往后數(shù)3個點，標(biāo)上3依此類推，直至在圓周上標(biāo)出100對于圓周上的這些點，有的點可能標(biāo)上多個數(shù)，有的點可能沒有被標(biāo)數(shù)請問：標(biāo)有100的那個點上標(biāo)出的數(shù)最小是多少？26三個聰明的初中生聚在一起玩一個推理的游戲，小強與

7、小花各選了一個自然數(shù)并分別將它告訴小安小安告訴小強和小花，他將分別把這兩個數(shù)的和與乘積寫在不同的紙上小安寫好后，將其中一張紙藏起來，把另一張紙亮出來給小強和小花看（這張紙上寫著2008）小安請小強和小花互猜對方所選的數(shù)，小強首先宣稱他無法確定小花所選的數(shù)，小花聽完小強的話后，也說她無法確定小強所選的數(shù)請問：小花所選的數(shù)是什么？27已知三個互不相等的正整數(shù)成等比數(shù)列，且三個數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么這三個數(shù)的和最小是多少？28是否存在一個完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字全都相同（至少是兩位數(shù)）？如果存在，請寫出一個；如果不存在，請說明理由29有一根均勻木棍，先用紅色刻度線將它分成m等份，再用藍(lán)色刻

8、度線將它分成n等份，mn然后按所有刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長短不一的小棍，其中最長的小棍恰有100根求m和n30是否存在這樣的自然數(shù)：在這個數(shù)后面重寫一遍這個數(shù)，新組成的數(shù)是一個完全平方數(shù)？如果存在，請舉例；如果不存在，請說明理由2014年六年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：數(shù)論綜合二參考答案與試題解析一、興趣篇1有4個不同的正整數(shù)，它們中任意2個數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個數(shù)的和都是3的倍數(shù)要使這4個數(shù)的和盡可能小，這4個數(shù)應(yīng)該分別是多少？【分析】首先從被2、3整除數(shù)的特征入手，根據(jù)被3除的余數(shù)特征分析探討得出答案即可【解答】解：任意兩數(shù)之和是2的倍數(shù)，說明這4個數(shù)要么都是2的倍數(shù)，要么

9、都不是2的倍數(shù)任意三數(shù)之和是3的倍數(shù)，分析幾種假設(shè)：1、假設(shè)這四個數(shù)都是三的倍數(shù)情況可以成立；2、假設(shè)其中一個數(shù)是三的倍數(shù)這要求剩下三個數(shù)兩兩相加或三個相加都是3的倍數(shù)，而三個不是3倍數(shù)的數(shù)兩兩相加是無法得到3的倍數(shù)的數(shù)的（不是3的倍數(shù)的數(shù)與3相除得的余數(shù)只能是1和2，而1和2拿出3個來兩兩相加是無法都得到3的），不成立3、假設(shè)其中兩個數(shù)是三的倍數(shù)同樣要求剩下的兩個數(shù)中任意一個或者兩個相加都是3的倍數(shù)，與假設(shè)違背，不成立4、假設(shè)其中三個數(shù)是三的倍數(shù)要求剩下的一個數(shù)必須是三的倍數(shù)，同樣與假設(shè)違背，不成立因此，這四個數(shù)必須都是3的倍數(shù)（其中一個可為0）列出3的倍數(shù)（含0）0、3、6、9、12、15

10、、18、21、24、27從中取出4個數(shù)，這四個數(shù)全是2的倍數(shù)：0、6、12、18從中取出4個數(shù)，這四個數(shù)不能是2的倍數(shù)：3、9、15、21很明顯，0、6、12、18符合盡可能小的要求所以這四個數(shù)為0、6、12、182已知算式（1+2+3+n）+2007的結(jié)果可表示為n（n1）個連續(xù)自然數(shù)的和請問：共有多少個滿足要求的自然數(shù)n？【分析】1到n是n個連續(xù)自然數(shù)的和，將2007平均分給n個數(shù)，所得的n個數(shù)仍是連續(xù)的自然數(shù)，要將2007平均分成n份，所以2007能被n整除，即n是2007的約數(shù)2007=133223，約數(shù)共有6個（1，3，9，223，669，2007）題目要求n大于1，去掉1，當(dāng)n=3

11、時，原式=1+2+3+6693=670+671+672當(dāng)n=9時，原式=1+2+3+9+2239=224+225+232當(dāng)n=223時，原式=1+223+9223=10+11+232當(dāng)n=669時，原式=1+669+3669=4+5+672當(dāng)n=2007時，原式=1+2007+12007=2+3+2008【解答】解：假設(shè)這n個自然數(shù)為 k+11，k+2，k+n+n，則 （k+1+1）+（k+2）+（k+n+n）=（1+2+3+.1+2+3+n+n）+2007 得nk=2007（n，k為自然數(shù)） 因為：2007=33223所以2007的約數(shù)有3，9，223，669，2007，所以共15種情況答：

12、共有5個滿足要求的自然數(shù)n3有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)之和的形式，并且在不計加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有4種所有滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個是多少？【分析】在所有的質(zhì)數(shù)中，從小到大的那一組至少是41+4=45于是對45、46、47根據(jù)題意進行拆分，從而找出滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個數(shù)，解決問題【解答】解：在所有的質(zhì)數(shù)中，從小到大的那一組至少是41+4=45按題目要求分析，45有如下12種方法：45=3+42=5+40=7+38=11+34=13+32=17+28=19+26=23+22=29+16=31+14=37+8=41+4按題目要求分析，46有如下7種方法：

13、46=2+44=7+39=11+35=13+33=19+27=31+15=37+9按題目要求分析，47有如下7種方法：47=2+45=3+44=5+42=7+40=11+36=13+34=17+30=19+28=23+24=29+18=27+10=41+6=43+4因此，滿足題意的最小自然數(shù)是474甲、乙兩個自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小2008滿足上述條件的自然數(shù)有幾組？【分析】可設(shè)甲、乙兩個自然數(shù)分別為a、b，則：a2ab=a（ab）=2008=222251，依此可求2008的約數(shù)的個數(shù)，進一步即可求解【解答】解：設(shè)甲、乙兩個自然數(shù)分別為a、b，則：a2ab=a（ab）=2008=222251

14、，2008的約數(shù)共有（3+1）（1+1）=8（個），那么滿足條件的解共有82=4組答：滿足上述條件的自然數(shù)有4組5兩個不同兩位數(shù)的乘積為完全平方數(shù)，它們的和最大可能是多少？【分析】從最大的兩位數(shù)99進行分析，得到滿足條件的另外一個乘數(shù)，得到它們的和，再分析兩位數(shù)98，進一步即可求解【解答】解：最大的兩位數(shù)是99，99=911，另外一個乘數(shù)要含因數(shù)11，最大是411=44，和=99+44=143；還有一種情況是98=249，另外一個乘數(shù)含因數(shù)2，最大是236=72，和=98+72=170答：它們的和最大可能是1706n個自然數(shù)，它們的和乘以它們的平均數(shù)后得到2008請問：n最小是多少？【分析】設(shè)

15、它們的平均數(shù)為x，則nxx=2008，即nx2=2008，由此即可得出答案【解答】解：設(shè)它們的平均數(shù)為x，則nxx=2008，即nx2=2008，因為2008=222251，所以nx2=2008=50222答：n最小是5027一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=5232，16就是一個“智慧數(shù)”，請問：從1開始的自然數(shù)列中，第2008個“智慧數(shù)”是多少？【分析】如果一個數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個正整數(shù)的平方差，設(shè)這兩個數(shù)分別m、n，設(shè)mn，即智慧數(shù)=m2n2=（m+n）（mn），因為m，n是正整數(shù)，因而m+n和mn就是兩個自然數(shù)要判斷一個數(shù)是否是智慧數(shù)，可以

16、把這個數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個整數(shù)的積，看這兩個數(shù)能否寫成兩個正整數(shù)的和與差【解答】解：1不能表示為兩個正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”對于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=（k+1）2k2（k=1，2，）所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”對于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=（k+1）2（k1）2（k=2，3，）即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”對于被4除余2的數(shù)4k+2（k=0，1，2，3，），設(shè)4k+2=x2y2=（x+y）（xy），其中x，y為正整數(shù)，當(dāng)x，y奇偶性相同時，（x+y）（xy）被4整除，而4k+2不被4整除；當(dāng)x，y

17、奇偶性相異時，（x+y）（xy）為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾所以不存在自然數(shù)x，y使得x2y2=4k+2即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”因為2008=1+3669，4（669+1）=2680，所以2680是第2008個“智慧數(shù)”，即第2008個“智慧數(shù)”是26808將100!5分別除以2，3，4，100，可以得到99個余數(shù)（余數(shù)有可能為0）這99個余數(shù)的和是多少？【分析】設(shè)ab=cd，a、b、c、d都是整數(shù)，則a=cb+d，db；令a=100！5 則100！=a+5=cb+d+5=bc+（d+5）b=

18、bm，可得g=c+（d+5）b；因為g為整數(shù)，c為整數(shù)，所以d+5必為b的倍數(shù)，db，且d0，然后分類討論，求出將100!5分別除以2，3，4，100，得到的余數(shù)的情況，進而求出這99個余數(shù)的和是多少即可【解答】解：設(shè)ab=cd，a、b、c、d都是整數(shù)，則a=cb+d，db；令a=100！5 則100！=a+5=cb+d+5=bc+（d+5）b=bm，可得g=c+（d+5）b；因為g為整數(shù)，c為整數(shù)，所以d+5必為b的倍數(shù)，db，且d0，所以可推得：（1）除數(shù)b=2，d+5=6，則d=1，（2）除數(shù)b=3，d+5=6，則d=1，（3）除數(shù)b=4，d+5=8，則d=3，（4）除數(shù)b=5，d+5=

19、0，則d=0，（5）除數(shù)b=6，d+5=6，則d=1，當(dāng)b5時，余數(shù)d=b5，因此這99個余數(shù)的和為：1+1+3+1+2+3+95=5+95+（1+94）47=45659小悅、冬冬和阿奇三人經(jīng)常去電影院，小悅每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齊每隔6天去一次今天他們?nèi)硕既ル娪霸?，將來會有連續(xù)三天都有人去電影院如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？【分析】根據(jù)題意，可得小悅每3天去一次，冬冬每5天去一次，阿齊每7天去一次，然后分別求出三人第幾天去電影院，找出最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪幾天即可【解答】解：根據(jù)題意，可得小悅每3天去一次，冬冬每5天去一次，阿

20、齊每7天去一次，可得小悅第1天、第4天、第7天、第10天、第13天、第16天、第19天、第22天去電影院，冬冬第6天、第11天、第16天、第21天、第26天、第31天、第36天、第41天去電影院，阿齊第8天、第15天、第22天、第29天、第36天、第43天、第50天、第57天去電影院，所以最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是第6天、第7天、第8天答：最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是第6天、第7天、第8天10有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、8的倍數(shù)這三個數(shù)中最小的一個是多少？【分析】平方是10的倍數(shù)，則原數(shù)也是10的倍數(shù)設(shè)第一個數(shù)是10x，由題意得（10x+1）2是9的倍數(shù)

21、：100x2+20x+1，1+2+1=4，x和x2的各位相加是9y+5；（10x+2）2是8的倍數(shù)：（100x2+40x+4）8=12.5x2+5x+0.5，其中12.5x2+0.5是整數(shù)，x2必須是奇數(shù)符合條件的最小x=5，進而解決問題【解答】解：設(shè)第一個數(shù)是10x，得：（10x+1）2是9的倍數(shù)：100x2+20x+1，1+2+1=4，x和x2的各位相加是9y+5；（10x+2）2是8的倍數(shù)：（100x2+40x+4）8=12.5x2+5x+0.5，其中12.5x2+0.5是整數(shù)，x2必須是奇數(shù)符合條件的最小x=5最小的是510=50答：這三個數(shù)中最小的一個是50二、拓展篇（共12小題，滿

22、分0分）11一個正整數(shù)，如果加上100是一個完全平方數(shù)，如果加上168，則是另一個完全平方數(shù)，則這個正整數(shù)是156【分析】根據(jù)題意，可設(shè)所求的數(shù)為n，由題意，得：n+168=a2（1），n+100=b2（2），然后用（1）式減去（2）式，得到68=a2b2=（a+b）（ab），由于68=168=234=417，只有三種情況，即：a+b=68，ab=1；a+b=34，ab=2； a+b=17，ab=4；對這三種情況進行討論，得出答案【解答】解：設(shè)所求的數(shù)為n，由題意，得：n+168=a2（1）n+100=b2（2）（1）（2），得：68=a2b2=（a+b）（ab），由于68=168=234=4

23、17，只有三種情況，即：a+b=68，ab=1；a+b=34，ab=2； a+b=17，ab=4； 因為a與b沒有整數(shù)解，排除； 算出a=18，b=16，所以：n=182168=16210=156； a與b沒有整數(shù)解，排除 綜上，只有n=156，即為所求的數(shù)故答案為：15612已知甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？【分析】設(shè)甲乙獨有的因數(shù)分別是x、y，（x、y互質(zhì)），則x+y=19986=333，因為3332=166，用166減去甲乙獨有的因數(shù)中均含因數(shù)3的數(shù)的個數(shù)，再減去甲乙獨有的因數(shù)中均含因數(shù)37的數(shù)的個數(shù)，求出滿足條件的數(shù)一共有多少組即可【

24、解答】解：設(shè)甲乙獨有的因數(shù)分別是x、y，（x、y互質(zhì)），則x+y=333，因為3332=166，甲乙獨有的因數(shù)中均含因數(shù)3的數(shù)的個數(shù)：1663=551，即甲乙獨有的因數(shù)中均含因數(shù)3的數(shù)的個數(shù)是55，由x=37時，y=378；x=372時，y=377；x=374時，y=375；可得甲乙獨有的因數(shù)中均含因數(shù)37的數(shù)的個數(shù)是3，所以滿足上述條件的數(shù)一共有：166553=108（組）答：滿足條件的數(shù)一共有108組13冬冬往一個水池里扔石子第一次扔l顆石子，第二次扔2顆石子，第三次扔3顆石子，第四次扔4顆石子他準(zhǔn)備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)請問：冬冬最少需要扔多少次？【分析】由題意可知，本題是一個

25、等差數(shù)列高斯求和的題，欲求應(yīng)扔石頭的次數(shù)，即數(shù)列的項數(shù)，我們可設(shè)應(yīng)扔n次，那么根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為：1+2+3+n=（n+1）依題意知，（n+1）能被106整除，因此可設(shè)（n+1）=106a，（a為106的整數(shù)倍）即n（n+1）=212a，把212分解質(zhì)因數(shù)得：212a=2253a根據(jù)n與n+1為兩個相鄰的自然數(shù)，可知22a=52（或54）當(dāng)22a=52時，a=13當(dāng)22a=54時，a=13，a不是整數(shù)，不符合題意舍去因此，n（n+1）=5253=52（52+1），即n=52，所以冬冬應(yīng)扔52次【解答】解：設(shè)冬冬應(yīng)扔n次，根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為，1+2+3+n=（n+1）

26、，依題意知，（n+1）能被106整除，因此可設(shè)（n+1）=106a，即n（n+1）=212a，又212a=2253a，根據(jù)n與n+1為兩個相鄰的自然數(shù)，可知22a=52（或54）當(dāng)22a=52時，a=13當(dāng)22a=54時，a=13，a不是整數(shù)，不符合題意舍去因此，n（n+1）=5253=52（52+1），所以n=52，冬冬應(yīng)扔52次答：冬冬最少需要扔52次14數(shù)學(xué)老師把一個兩位數(shù)的約數(shù)個數(shù)告訴了小悅，聰明的小悅仔細(xì)思考了一下后算出了這個數(shù)同學(xué)們，你們知道這個數(shù)可能是多少嗎？【分析】根據(jù)題意，可得這個兩位數(shù)的約數(shù)個數(shù)只能是2，即這個兩位數(shù)是質(zhì)數(shù)，然后找出兩位數(shù)中的質(zhì)數(shù)即可【解答】解：根據(jù)題意，可

27、得這個兩位數(shù)的約數(shù)個數(shù)只能是2，即這個兩位數(shù)是質(zhì)數(shù)，所以這個數(shù)可能是：11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97答：這個數(shù)可能是：11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、9715在一個正整數(shù)的所有約數(shù)中，個位數(shù)字為0，1，2，9的數(shù)都出現(xiàn)過，這樣的正整數(shù)最小是多少？【分析】就是求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的最小公倍數(shù)，用最基本的求最小公倍數(shù)的方法就可求出，是2520【解答】解：10=259=338=2226=234=22

28、這個正整數(shù)最小是：2223357=7257=3607=2520答：這樣的正整數(shù)最小是252016求最小的正整數(shù)n，使得2006+7n是完全平方數(shù)【分析】先找到比2006大的最接近2006的完全平方數(shù)為2025，令2006+7n=2025，得到關(guān)于n的方程，解方程得到n的值，根據(jù)n為正整數(shù)舍去；再找到比2006大的最接近2006的完全平方數(shù)為2116，得到關(guān)于n的方程，再根據(jù)題意進行判斷，直到找到為止【解答】解：因為442=1936，452=2025，所以2006+7n=2025 n=（不合題意舍去）因為462=2116，所以2006+7n=2116 n=（不合題意舍去）因為472=2209，所

29、以2006+7n=2209 n=29答：最小的正整數(shù)n的值為2917請寫出由不同的兩位數(shù)組成的最長的等比數(shù)列【分析】要使兩位數(shù)組成的等比數(shù)列越長，則首項、公比應(yīng)越小，所以首項為10，公比為2，據(jù)此求出這個最長的等比數(shù)列即可【解答】解：要使兩位數(shù)組成的等比數(shù)列越長，則首項、公比應(yīng)越小，所以首項為10，公比為2，因此這個最長的等比數(shù)列是10、20、40、8018有一些自然數(shù)，它們不能用三個不相等的合數(shù)之和來表示這樣的自然數(shù)中的最大一個是多少？【分析】最小三個合數(shù)的和是18，因而17是滿足條件的數(shù)，若m18，可以分m是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況證明不滿足題意【解答】解：最小三個合數(shù)是4，6，8，4+6+8=

30、18，故17是不能表示為三個互不相等的合數(shù)之和的整數(shù)，當(dāng)m18時，若m=2k18，則m=4+6+2（k5），若m=2k118，則m=4+9+2（k7）即任意大于18的整數(shù)均可表示為三個互不相等的合數(shù)之和，故m=17答：這樣的自然數(shù)中的最大一個是1719有些數(shù)既能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個連續(xù)自然數(shù)的和例如：105就滿足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18請問：在1至1000中一共有多少個滿足上述要求的數(shù)？【分析】該數(shù)能表示連續(xù)5個自然數(shù)的和，說明該

31、數(shù)能夠被5整除；該數(shù)能表示成連續(xù)7個自然數(shù)的和，說明該數(shù)能夠被7整除；該數(shù)能夠表示成6個連續(xù)自然數(shù)的和，假設(shè)4個連續(xù)的自然數(shù)分別為：A，A+1，A+2，A+3，A+4，A+5，六個數(shù)之和為6A+15，可見該數(shù)能夠被3整除，但不能被6整除據(jù)此特點進行解答即可【解答】解：根據(jù)平均數(shù)的知識可知：該數(shù)能表示連續(xù)5個自然數(shù)的和，說明該數(shù)能夠被5整除；該數(shù)能表示成連續(xù)7個自然數(shù)的和，說明該數(shù)能夠被7整除；該數(shù)能夠表示成6個連續(xù)自然數(shù)的和，假設(shè)4個連續(xù)的自然數(shù)分別為：A，A+1，A+2，A+3，A+4，A+5，六個數(shù)之和為6A+15=3（2A+5），可見該數(shù)能夠被3整除，但不能被6整除由此可知：該數(shù)必然能同

32、時被3，5，7整除，但不能同時被6，7，5整除，因此該數(shù)是105的倍數(shù)但不是210的倍數(shù)在1至1000之間能夠被105整除而不能被210整除的數(shù)字有：105，315，525，735，945共計5個符合要求的數(shù)答：符合要求的數(shù)是105，315，525，735，94520一個特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列現(xiàn)在設(shè)定指針第一秒轉(zhuǎn)動的角度為a度（a為小于360的整數(shù)），則其第二秒轉(zhuǎn)動a+l度，第三秒轉(zhuǎn)動a+2度如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么a一共有幾種設(shè)定方法？最小可以被設(shè)成多少？【分析】由題意，對于滿足條件的a，即存在1個自然數(shù)n，使得a+（a+1）+（a+

33、2）+（a+n1）=180，即（2a+n1）n=360，顯然a越小時，2a+n1與n的差越小然后根據(jù)2a+n1與n的奇偶性不同，可推出n和a的值，解決問題【解答】解：對于滿足條件的a，即存在1個自然數(shù)n，使得a+（a+1）+（a+2）+（a+n1）=180，即（2a+n1）n=360，顯然a越小時，2a+n1與n的差越小又2a+n1與n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5故a最小可以被設(shè)成5答：a一共有15種設(shè)定方法，最小可以被設(shè)成521某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，12他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼

34、的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？【分析】由于電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，所以可設(shè)第一戶電話號是x+1，第二戶x+2，第12戶電話號x+12，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，則得x+i是i的倍數(shù)（i=1，2，12）因此x是1，2，.12的公倍數(shù)1，2，12=27720，9號家電話號碼是9時，除以13余9，2772013商2132余4，號碼增加27720是余數(shù)增加4，9+4=13，所以9號家電話號碼是27729時，可以可以被13整除這個號碼加上2772013=時，仍然可以整除13，并且每家電話號碼還能整除門牌號碼

35、 所以9號家電話號碼可以是27729+=如果27729+27720132，首位不小于6，不符合題意【解答】解：設(shè)第一戶電話號是x+1，第二戶x+2，第12戶電話號x+12根據(jù)條件得x+i是i的倍數(shù)（i=1，2，12）因此x是1，2，.12的公倍數(shù)1，2，.12=27720，所以x=27720m，2772013商2132余4，9+4=13，所以9號家電話號碼是27729時，可以可以被13整除，這個號碼加上2772013=時，仍然可以可以被13整除，并且每家電話號碼還能整除門牌號碼因為這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，所以9號家電話號碼可以是27729+=而27729+27720132，首位不小于6

36、，不符合題意答：這一家的電話號碼是22在等差數(shù)列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)比前n+l個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)少3個，那么n最小是多少？【分析】本題根據(jù)前n個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)比前n+l個數(shù)乘積的末尾0的個數(shù)少3個，可得第n個數(shù)是125的倍數(shù)，所以要第n+1個數(shù)是125的倍數(shù)根據(jù)數(shù)列通項an=7n6，可得a（n+1）=7n+1，設(shè)7n+1=125k，變形為n=18k，得到最小k的值，從而求解【解答】解：如果要滿足題目條件，則10是要求因子中有2和5，一對在數(shù)末尾出一個0，觀察數(shù)列，將以上數(shù)乘在一起，因子5的數(shù)量要少于2的數(shù)量所以要第n個數(shù)是125的倍

37、數(shù)易知數(shù)列通項an=7n+1，所以a（n1）=7n6，設(shè)7n+1=125k，n=18k，得最小k+1=7，則k=6，此時n=107答：n的最小值是107三、超越篇（共8小題，滿分0分）23有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個）的形式時，恰好有20種方法這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫出質(zhì)因數(shù)分解）【分析】連續(xù)20個正整數(shù)，設(shè)第一個為a，則第二個為a+1，那么這20個連續(xù)正整數(shù)和為20a+190=10（2a+19），這個數(shù)可以被2和10整除，即這個整數(shù)一定含有因數(shù)2和5，又因為恰好有20種方法，所以它的奇質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也必須是20個，因此要最小，除了

38、質(zhì)因數(shù)2、5外最小是3，因此3的個數(shù)是19個；據(jù)此解答即可【解答】解：連續(xù)20個正整數(shù)，設(shè)第一個為a，則第二個為a+1，那么這20個連續(xù)正整數(shù)和為20a+190=10（2a+19），這個數(shù)可以被2和10整除，即這個整數(shù)一定含有因數(shù)2和5，又因為恰好有20種方法，所以它的奇質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也必須是20個，因此要最小，除了質(zhì)因數(shù)2、5只有一個外，最小是3，因此3的個數(shù)是201=19個；所以，這個數(shù)最小，質(zhì)因數(shù)分解是：N=25319；答：最小是2531924有些自然數(shù)可以表示成兩個合數(shù)相乘再加一個合數(shù)的形式，例如：33=46+9請問：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？【分析】因為最小的合數(shù)是4，而4

39、4+4=20，所以小于20的自然數(shù)均不能表示成題目要求的形式，大于20的偶數(shù)都可以表示成題目要求的形式，這是因為：20=44+4、22=44+6、24=44+8；大于20的奇數(shù)按它除以8的余數(shù)分為四類考慮：被8除余1的最小合數(shù)是9，于是有25=44+9、33=46+9、41=48+9可知所有大于20且被8除余1的奇數(shù)均可以表示成題目要求的形式同理被8除余3、5、7的最小合數(shù)分別是27、21、15，所以仍用4偶數(shù)+奇合數(shù)的形式表示出來從上面的分析可以看出比35大的奇數(shù)都可以表示成兩個合數(shù)的乘積與一個合數(shù)之和的形式，所以不能表示成兩個合數(shù)的乘積與一個合數(shù)之和的形式的最大的數(shù)是35【解答】解：最小的

40、合數(shù)是4，44+4=20 所以大于等于20的偶數(shù)都具備這種性質(zhì)；大于20的奇數(shù)可按除以8的余數(shù)分4類考慮，被8除余1的最小合數(shù)是9，于是25=44+9，33=46+9可知所有大于17且被8除余1的奇數(shù)都可以被8除余3的最小合數(shù)是27，于是43=44+27，51=46+27可知所有大于35且被8除余3的奇數(shù)都可以被8除余5的最小合數(shù)是21，于是37=44+21，45=46+21可知所有大于29且被8除余5的奇數(shù)都可以被8除余7的最小合數(shù)是15，于是31=44+15，39=46+15可知所有大于23且被8除余7的奇數(shù)都可以從上面分析可看出比438=35大的奇數(shù)都可以用這種形式表示答：不能表示成這種

41、形式的自然數(shù)最大是3525在給定的圓周上有100個點任取一點標(biāo)上1；按順時針方向從標(biāo)有1的點往后數(shù)2個點，標(biāo)上2；從標(biāo)有2的點再往后數(shù)3個點，標(biāo)上3依此類推，直至在圓周上標(biāo)出100對于圓周上的這些點，有的點可能標(biāo)上多個數(shù)，有的點可能沒有被標(biāo)數(shù)請問：標(biāo)有100的那個點上標(biāo)出的數(shù)最小是多少？【分析】確定標(biāo)有100的是1+2+3+100=5050號，5050除以100的余數(shù)為50，即圓周上的第50個點標(biāo)為100，從而可得50+100n=1+2+3+k=（k+1）k2，即100+200n=k（k+1），由此可得結(jié)論【解答】解：記標(biāo)有1為第1號，序號順時針的依次增大當(dāng)超過一圈時，編號仍然依次增加，如1號

42、也是101號，201號，則標(biāo)有2的是1+2號，標(biāo)有3的是1+2+3號，標(biāo)有4的是1+2+3+4，標(biāo)有100的是1+2+3+100=5050號50501000的余數(shù)為50，即圓周上的第50個點標(biāo)為100，那么50+100n=1+2+3+k=（k+1）k2，即100+200n=k（k+1）當(dāng)n=50時，k=100，能滿足題意，k隨著n的增大，k也增大所以，標(biāo)有100的那個點上標(biāo)出的最小數(shù)為100答：標(biāo)有100的那個點上標(biāo)出的數(shù)最小是10026三個聰明的初中生聚在一起玩一個推理的游戲，小強與小花各選了一個自然數(shù)并分別將它告訴小安小安告訴小強和小花，他將分別把這兩個數(shù)的和與乘積寫在不同的紙上小安寫好后

43、，將其中一張紙藏起來，把另一張紙亮出來給小強和小花看（這張紙上寫著2008）小安請小強和小花互猜對方所選的數(shù)，小強首先宣稱他無法確定小花所選的數(shù)，小花聽完小強的話后，也說她無法確定小強所選的數(shù)請問：小花所選的數(shù)是什么？【分析】首先把2008分解質(zhì)因數(shù)，2008=21004=4502=8251，只要小強和小花的手中的數(shù)是這6個因數(shù)中的一個，對方就有兩種可能，例如，小強知道自己是8，則小花可能是251，或者是2000，不能確定小花的數(shù)，小花手中是若是2000，則確定小強是8，只能是20082000=8，因為任何數(shù)乘2000，不可能得到2008；若小花是251，則小強可能是2008251=8，也可能

44、是2008251=1757，無法確定小強的數(shù)，所以小花所選的數(shù)是251；同理，若小強是1004，則小花可能是2或1004，不能確定小花的數(shù)，小花手中若是1004，小強是2或1004，也不能確定小強的數(shù)；所以兩個人的數(shù)只要是2008的因數(shù)，則就無法確定對方的數(shù)是多少【解答】解：2008=21004=4502=8251所以小花所選的數(shù)是2、4、8、251、502、1004中任意一個27已知三個互不相等的正整數(shù)成等比數(shù)列，且三個數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么這三個數(shù)的和最小是多少？【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，可設(shè)這三個數(shù)分別是ad，a，ad（a為整數(shù)），得到它們的乘積a3是完全平方數(shù)，依此分析即可求解【

45、解答】解：設(shè)這三個數(shù)分別是ad，a，ad（a為整數(shù)），由題意知（ad）a（ad）=a3為一個完全平方數(shù)，可知a=4時，滿足條件，當(dāng)d=4時，ad=1，ad=16，1+4+16=21；當(dāng)d=2時，ad=2，ad=8，2+4+8=14故這三個數(shù)的和最小是1428是否存在一個完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字全都相同（至少是兩位數(shù)）？如果存在，請寫出一個；如果不存在，請說明理由【分析】此題很難找到解決問題的最佳思路，因此可用假設(shè)法解答假設(shè)每一位上的數(shù)字全都相同，那么這個數(shù)可以提取出這個相同的數(shù)字，剩下11111，無法能分解成兩個因數(shù)是相同的，故不存在【解答】解：假設(shè)每一位上的數(shù)字全都相同，那么這個數(shù)可以

46、提取出一個數(shù)A，剩下11111，無法能分解成兩個因數(shù)是相同的，因此不存在29有一根均勻木棍，先用紅色刻度線將它分成m等份，再用藍(lán)色刻度線將它分成n等份，mn然后按所有刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長短不一的小棍，其中最長的小棍恰有100根求m和n【分析】首先構(gòu)造出：A=（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+），B=（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+），計算出AB，然后利用整除的性質(zhì)得出m和n的整數(shù)解即可【解答】解：A=（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+），B=（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+），因為AB=，所以，則m=，即n+13是1313的因數(shù)，又因為13

47、13的因數(shù)只有3個：1、13、1313，所以n+13=1313=169，解得n=156，m=1230是否存在這樣的自然數(shù)：在這個數(shù)后面重寫一遍這個數(shù)，新組成的數(shù)是一個完全平方數(shù)？如果存在，請舉例；如果不存在，請說明理由【分析】在這個數(shù)后面重寫一遍這個數(shù)，新組成的數(shù)是一個完全平方數(shù)解答如下【解答】解：存在，如：=2=2=2=2=2=2參與本試卷答題和審題的老師有：73zzx；pysxzly；齊敬孝；WX321；奮斗；admin；duaizh（排名不分先后）菁優(yōu)網(wǎng)2016年5月22日考點卡片1等比數(shù)列【知識點歸納】等比數(shù)列是說如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)這個常數(shù)叫

48、做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q0），等比數(shù)列a10【命題方向】經(jīng)典題型：例1：某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每半小時分裂一次（由一個分裂成兩個）若這種細(xì)菌由1個分裂成16個，這個過程要經(jīng)過（）A、1小時 B、2小時 C、3小時 D、4小時分析：由題意可知，一個分裂成兩個，2個則分裂成22=4個，由此可發(fā)現(xiàn)其分裂的個數(shù)構(gòu)成一個比值為2的等比數(shù)列，即其分列的個數(shù)為2，22，23，16=24，即經(jīng)過4次分裂后，種細(xì)菌由1個分裂成16個，而每半小時分裂一次，即這個過程要經(jīng)過0.54=2小時解：由題意可知，其分裂的個數(shù)構(gòu)成一比數(shù)列：2，22，23，16=24，即經(jīng)過4次分裂后，種細(xì)菌由1個分裂成16

49、個，而每半小時分裂一次，即這個過程要經(jīng)過：0.54=2小時故選：B點評：根據(jù)條件發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)的排列規(guī)律是完成此類問題的關(guān)鍵例2：計算：220032200222001222=2分析：設(shè)220032200222001222=S，在等號的兩邊同時乘2，則220042200322002220012322=2S，將兩式相減求出S的值解：設(shè)220032200222001222=S，在等號的兩邊同時乘2，則220042200322002220012322=2S，220042200322003+2=S，所以S=2，故答案為：2點評：關(guān)鍵是根據(jù)給出的數(shù)列的特點，在等號的兩邊同時乘2，再相減即可【解題方法點撥】（

50、1）先觀察數(shù)列之間的關(guān)系，判斷相連兩數(shù)之間是否恒等于一個比值，就此判斷為等比數(shù)列（2）求等比數(shù)列的和，把原式乘以公比作為第二式子，與原式進行相減消項，得出結(jié)果再除以（公比1）2數(shù)字問題【知識點歸納】1數(shù)字問題的主要題型：數(shù)字問題是研究有關(guān)數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關(guān)系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關(guān)系，求這個數(shù)為多少2核心知識（1）數(shù)字的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應(yīng)用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、因式分解、同余理論等（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系解答數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系時，經(jīng)常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列

51、方程法、代入法、假設(shè)法等一些方法，進行快速求解【命題方向】?？碱}型：例1：在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)有（）個5A、213 B、187 C、133 D、80 分析：先求出400里面有幾個3，就是1400中有多少個數(shù)能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1400中有多少個數(shù)能被5整除；能同時倍3和5整除的數(shù)是15的倍數(shù)；求出400里面有多少個15，就是能同時被3和5整除的數(shù)，然后用3的倍數(shù)的個數(shù)加上5的倍數(shù)的個數(shù)然后減去15的倍數(shù)的個數(shù)即可解：1到400中能被3整除有：4003133（個）；1到400中能被5整除有：4005=80（個）；1到400中既能被3也能被5

52、整除有：400（35）26（個）；在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)：133+8026=187（個）；故選：B點評：本題要注意能同時被3和5整除的數(shù)，是重復(fù)計算的數(shù)字例2：自然數(shù)12321，90009，41014 有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數(shù)，那么具有這種“特征”的五位偶數(shù)有400個分析：倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)萬位和個位有2，4，6，8這4種選擇；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇可以組成倒過來寫還是原來的數(shù)具有這種“特征”的五位偶數(shù)則有41010=4

53、00個解：根據(jù)分析，倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)有41010=400個答：具有這種“特征”的五位偶數(shù)有400個故答案為：400點評：根據(jù)這種數(shù)的特征，分析各對稱數(shù)位會出現(xiàn)的數(shù)字可能，把出現(xiàn)可能的種數(shù)相乘即可得這種特征數(shù)的個數(shù)3公約數(shù)與公倍數(shù)問題【知識點歸納】1公約數(shù)與公倍數(shù)題型簡介（1）約數(shù)與倍數(shù) 若數(shù)a能被b整除，則稱數(shù)a為數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b為數(shù)a的約數(shù)其中，一個數(shù)的最小約數(shù)是1，最大約數(shù)是它本身（2）公約數(shù)與最大公約數(shù)幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)公約數(shù)中最大的一個，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)（3）公倍數(shù)與最大公倍數(shù)幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)公倍數(shù)中最小的一個，稱為這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)考試題型一般是已知兩個數(shù)，求它們的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)【命題方向】?？碱}型：例1：有兩個二位數(shù)，它們的最大公約數(shù)8，最小公倍數(shù)是96，這兩個數(shù)的和是（）A、56 B、78 C、84 D、96分析：把最大公約數(shù)8和最小公倍數(shù)96分解質(zhì)因數(shù)，根據(jù)最大公約數(shù)是兩個數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的乘積，可以判斷出這兩個