1、.羈弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐側(cè)面積膆【知識(shí)詳解】肆知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式袂因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C2R，所以1的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，莁說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計(jì)算20的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫(xiě)成。袈（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。襖知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積羂如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1的扇

2、形面積是，由此得圓心角為n的扇形面積的計(jì)算公式是。螂又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。芆知識(shí)點(diǎn)3、圓錐的側(cè)面積袇圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積羂說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。罿（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。肈知識(shí)點(diǎn)4、圓柱的側(cè)面積蚆圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面

3、積，圓柱的全面積肁圓錐與圓柱的比較莀名稱螀圓錐蒞圓柱膁圖形螁膈膄圖形的形成過(guò)程芁由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。膂由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。羀圖形的組成膇一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面莁兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面艿側(cè)面展開(kāi)圖的特征莈扇形羆矩形蒁面積計(jì)算方法蝕聿螅補(bǔ)充：知識(shí)點(diǎn)5、弓形的面積螅（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊　?yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。肀（2）弓形的周長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)薇（3）弓形的面積螇如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。裊

4、當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示， 蒁當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，艿當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，薆例：如圖所示，O的半徑為2，ABC45，則圖中陰影部分的面積是 （ ）（結(jié)果用表示）羅分析：由圖可知由圓周角定理可知ABCAOC，所以AOC2ABC90，所以O(shè)AC是直角三角形，所以袂，蚇所以芅注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。肅聿圓周長(zhǎng)葿弧長(zhǎng)肄圓面積膄扇形面積蒀公袇式肇芄袁蕿袆（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別芄圖節(jié)示肇蚅莄荿面螈積蒄蒄蝿芆【典型例題】蒆例1.如圖所示，在同心圓中，兩圓的半徑分別為2，1，AOB120，則陰影部分的面積是（ ）A. B. C. D.

5、 薄分析：陰影部分所在的兩個(gè)扇形的圓心角為，膀所以羈例2.如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，連接AC，BC，AB10厘米，tanBAC，求陰影部分的面積。芅分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：（1）直徑所對(duì)圓周角為90，（2）解直角三角形的知識(shí)（3）組合圖形面積的計(jì)算。蚄解：因?yàn)锳B為直徑，所以ACB90， 薁在RtABC中，AB10， tanBAC，而tanBAC莆設(shè)BC3k，AC4k，（k不為0，且為正數(shù)）由勾股定理得羄所以BC6，AC8，而螄所以羂例3.如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDE內(nèi)接于扇形AOB，點(diǎn)C，E，D分別在OA，OB及AB弧上，過(guò)點(diǎn)A作AFED交ED的延長(zhǎng)線

6、于F，垂足為F，如果正方形的邊長(zhǎng)為1，那么陰影部分的面積為（ ）膈分析：連接OD，由正方形性質(zhì)可知EODDOC45，在RtOED中，OD，肇因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以O(shè)EDE1，所以，設(shè)兩部分陰影的面積中的一部分為M，另一部分為N，則，陰影部分面積可求，但這種方法較麻煩，用割補(bǔ)法解此題較為簡(jiǎn)單，設(shè)一部分空白面積為P，袃因?yàn)锽ODDOC，所以腿所以MP，所以薆例4. 如圖所示，直角梯形ABCD中，B90，ADBC，AB2，BC7，AD3，以BC為軸把直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積。薂分析：將直角梯形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由相同底面的圓柱和圓錐組成的，所得幾何體的表面

7、積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和底面積三者之和。蠆解：作DHBC于H，所以DHAB2芆CHBCBHBCAD734肄在CDH中，芁所以蝿例5.已知扇形的圓心角為120，面積為300平方厘米蚇（1）求扇形的弧長(zhǎng)。螆（2）若把此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積是多少？肀分析：（1）由扇形面積公式，可得扇形半徑R，扇形的弧長(zhǎng)可由弧長(zhǎng)公式求得。（2）由此扇形卷成的圓錐如圖所示，這個(gè)圓錐的軸截面為等腰三角形ABC，（1）問(wèn)中求得的弧長(zhǎng)是這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)，而圓周長(zhǎng)公式為C2r，底面圓半徑r即CD的長(zhǎng)可求，圓錐的高AD可在RtADC中求得，所以可求。蝿解：（1）設(shè)扇形的半徑為R，由，得，解得R30

8、.肈所以扇形的弧長(zhǎng)（厘米）。膃（2）如圖所示，在等腰三角形ABC中，ABACR30，BC2r，底面圓周長(zhǎng)C2r，因?yàn)榈酌鎴A周長(zhǎng)即為扇形的弧長(zhǎng)，所以肂在RtADC中，高AD衿所以軸截面面積（平方厘米）。膄【模擬試題】裊一、選擇題袁1. 若一個(gè)扇形的圓心角是45，面積為2，則這個(gè)扇形的半徑是（ ）罿A. 4 B. 2 C. 47 D. 2薅2. 扇形的圓心角是60，則扇形的面積是所在圖面積的（ ）莃 A. B. C. D. 3. 扇形的面積等于其半徑的平方，則扇形的圓心角是（ ） A. 90 B. C. D.1804. 兩同心圓的圓心是O，大圓的半徑是以O(shè)A，OB分別交小圓于點(diǎn)M， N已知大圓半徑

9、是小圓半徑的3倍，則扇形OAB的面積是扇形OMN的面積的（ ）A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍5. 半圓O的直徑為6cm，BAC30，則陰影部分的面積是（ ） A. B. C. D.6 用一個(gè)半徑長(zhǎng)為 6cm 的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則此圓錐的底面半徑為（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm7. 圓錐的全面積和側(cè)面積之比是3 ：2，這個(gè)圓錐的軸截面的頂角是（ ）A. 30 B. 60 C. 90 D. 1208. 已知兩個(gè)母線相等的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為12，則它們的高之比為（ ） A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D

10、. 5：9. 如圖，在ABC中，C Rt，AC BC，若以AC為底面圓半徑，BC為高的圓錐的側(cè)面積為S1，以BC為底面圓半徑，AC為高的圓錐的側(cè)面積為S2，則（ ）A. S1S2 B. S1 S2 C. S1 S2 D. S1、S2的大小關(guān)系不確定二、填空題1. 扇形的弧長(zhǎng)是12cm，其圓心角是90，則扇形的半徑是 cm ，扇形的面積是 cm2.2. 扇形的半徑是一個(gè)圓的半徑的3倍，且扇形面積等于圓面積，則扇形的圓心角是 .3. 已知扇形面積是12cm2，半徑為8cm，則扇形周長(zhǎng)為 .4 在ABC中，AB3，AC4，A90，把RtABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，其全面積為S1；把RtAB

11、C繞AB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其全面積為S2，則S1： S2 。5. 一個(gè)圓柱形容器的底面直徑為2cm，要用一塊圓心角為240的扇形鐵板做一個(gè)圓錐形的蓋子，做成的蓋子要能蓋住圓柱形容器，這個(gè)扇形的半徑至少要有 cm。6. 如圖，扇形AOB的圓心角為60，半徑為6cm，C，D分別是的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積是 。7. 如圖正方形的邊長(zhǎng)為2，分別以正方形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，以2為半徑畫(huà)弧，則陰影部分面積為 。三、計(jì)算題1. 如圖，在RtABC中，ACBC ，以A為圓心畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等，求AC與AF的長(zhǎng)度之比（取3）。2. 一個(gè)

12、等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的側(cè)面積是S1，另一個(gè)圓錐的側(cè)面積是S2，如果圓錐和圓柱等底等高，求3. 圓錐的底面半徑是R，母線長(zhǎng)是3R，M是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)M拉一根繩子繞圓錐一圈，再回到M點(diǎn)，求這根繩子的最短長(zhǎng)度【試題答案】一、選擇題1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B二、填空題1、24 144 2、40 3、19cm 4、3：4 5、3 6、2 7、24三、計(jì)算題1、連接AE，則，所以2、3、連接展開(kāi)圖的兩個(gè)端點(diǎn)MM，即是最短長(zhǎng)度。 利用等量關(guān)系得出MAM120，AMD30，AD，.僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For

13、personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下無(wú)正文 僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not f