1、2.基本不等式,1.重要不等式 定理1:如果a,bR,那么a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. 2.基本不等式 (3)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.,名師點(diǎn)撥1.重要不等式與基本不等式的區(qū)別,2.基本不等式的常見變形,3.利用基本不等式求最值 對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y. (1)如果它們的和S是定值,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),它們的積 P 取得最大值; (2)如果它們的積P是定值,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),它們的和 S 取得最小值.,名師點(diǎn)撥利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等”,即 (1)各項(xiàng)或各因式為正; (2)和或積為定值; (3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.

2、,做一做2 若x0,y0,且x+y= ,則xy的最大值為( ),答案：D,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,都有x2+y22xy. ( ),探究一,探究二,探究三,思維辨析,運(yùn)用基本不等式求最值或取值范圍,a+b與ab的關(guān)系,再利用解不等式消去ab建立關(guān)于a+b的不等式進(jìn)行求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.運(yùn)用基本不等式求最值的一些技巧:含有多個(gè)變量的條件求最值問題,一種方法是減少變量的個(gè)數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為

3、只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決.另一種方法是采用常值代換的方法,先對(duì)代數(shù)式變形后,再運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解. 2.兩個(gè)正數(shù)的和與積的轉(zhuǎn)化:基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,因此可以用在一些不等式的證明中,還可以用于求代數(shù)式的最值或范圍.在條件等式中,如果同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式,就可以先直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再通過解關(guān)于“和式”或“積式”的不等式進(jìn)行求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1 (1)已知00,y0,且x+2y=1,則 的最小值為 .,探究一,探究二,探究三,思維辨析,運(yùn)用基本不等式證明相關(guān)

4、不等式,分析：對(duì)于(1),因?yàn)閙0,所以可把 和6m分別看作基本不等式中的 a和b,直接利用基本不等式證明;對(duì)于(2),考慮到a+b+c=1,首先將不等式左邊每個(gè)括號(hào)中分子上的1替換為a+b+c,化簡(jiǎn)后再利用基本不等式,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)證明.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟利用基本不等式證明不等式的方法與技巧 1.用基本不等式證明不等式時(shí),首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形,使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和使用條件,然后合理地選擇基本不等式或其變形形式進(jìn)行證明. 2.對(duì)含有條件的不等式的證明問題,要將條件與結(jié)論結(jié)合起來,找出變形的思路,

5、構(gòu)造出基本不等式.若兩次(或兩次以上)使用基本不等式的傳遞性,則應(yīng)保證等號(hào)成立的條件一致.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題,【例3】 已知26輛貨車以相同速度v(單位:km/h)由A地駛向400 km處的B地,每?jī)奢v貨車的間距為d km,現(xiàn)知d與速度v的平方成正比,且當(dāng)v=20時(shí),d=1. (1)寫出d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式; (2)若不計(jì)貨車的長(zhǎng)度,則26輛貨車都到達(dá)B地最少需要多少小時(shí)?此時(shí)貨車的速度為多少? 分析：對(duì)于(1),可由已知數(shù)據(jù)代入求得;對(duì)于(2),首先列出時(shí)間與速度的關(guān)系式,然后借助基本不等式求解.,探究一,探究二,

6、探究三,思維辨析,解：(1)由題意可設(shè)d=kv2,其中k為比例系數(shù),k0. 因?yàn)楫?dāng)v=20時(shí),d=1,所以1=k202, (2)因?yàn)槊績(jī)奢v貨車的間距為d km,所以最后一輛貨車與第一輛貨車的間距是25d km,所以最后一輛貨車到達(dá)B地所需的時(shí)間為,故26輛貨車都到達(dá)B地最少需要10 h,此時(shí)貨車的速度為80 km/h.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟用基本不等式求解實(shí)際問題的盲點(diǎn): (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范

7、圍)內(nèi)求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3 某公司一年購買某種貨物400 t,每次都購買x t,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x= t.,答案：20,探究一,探究二,探究三,思維辨析,忽視基本不等式成立的條件而致錯(cuò) 典例若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是( ),探究一,探究二,探究三,思維辨析,答案：C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得本題錯(cuò)解中忽視了基本不等式中等號(hào)成立的條件,沒有注意到兩次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)成立的條件不一致,從而出現(xiàn)錯(cuò)誤.連續(xù)使用基本不等式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格,要求同時(shí)

8、滿足任何一次的字母取值存在且一致.因此盡量不要連續(xù)兩次或兩次以上使用基本不等式.若連續(xù)使用兩次或兩次以上時(shí),應(yīng)保證每次等號(hào)成立的條件都相等.此外,在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí),通常的辦法是變量替換或常數(shù)值“1”的替換,即首先由已知條件得到某個(gè)式子的值為常數(shù),然后將待求最值的代數(shù)式乘“1”,最后對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形整理,從而可利用基本不等式求最值.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練(2017吉林三模)已知x0,y0,x+2y+2xy-8=0,則x+2y的最小值是 ( ),令x+2y=t(t0),則t2+4t-320,解得t4或t-8(舍去),因此x+2y4,即x+2y的最小值是4,故選B. 答案：B,1 2 3 4 5,1.下列不等式中恒成立的是( ),答案：B,1 2 3 4 5,答案：C,1 2 3 4 5,答案：C,3.某公司要租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1(單位:萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)輸費(fèi)y2(單位:萬元)與倉庫到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉庫,