1、第16講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角 知識(shí)縱橫 角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線位置關(guān)系、運(yùn)用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特征，賦予角極強(qiáng)的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化。根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索；由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)焦互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對(duì)角，可將于圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來(lái)。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論。例題求解【例1】 如圖，圓是的外接圓，是直徑，則的度數(shù)是_ （2011年荊州市中考題） 思路點(diǎn)撥 略【例2】 如圖，為圓的直徑，交圓于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：；

2、弧=弧；其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（ ） （蘇州市中考題）思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用于圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、相似三角形，逐一驗(yàn)證?！纠?】 如圖，已知四邊形外接圓的半徑為5，對(duì)角線與的交點(diǎn)為，且，求的面積。思路點(diǎn)撥 由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得為弧中點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵。【例4】 如圖，圓中是直徑，是圓上一點(diǎn)，等腰直角三角形中是直角，點(diǎn)在線段上。 （1）證明：、三點(diǎn)共線； （2）若是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，證明：； （3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，記為（如圖），若是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說(shuō)明理由。 （2011年廣州市中考題）思路點(diǎn)撥 對(duì)于（2），充分利用條

3、件中的多個(gè)中點(diǎn)，探尋線段之間的數(shù)量關(guān)系于位置關(guān)系?！纠?】 如圖，是圓中的三條弦，點(diǎn)在上，且求證：（1）；（2） （浙江省競(jìng)賽題）分析 對(duì)于（2），需證，從構(gòu)造相似三角形入手?！纠?】 如圖，已知是圓的直徑，平分，求證：分析與解 如圖，補(bǔ)短構(gòu)造或聯(lián)想角平分線性質(zhì)等。學(xué)力訓(xùn)練基礎(chǔ)夯實(shí)1. 如圖，為圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在圓上（不與重合），則的度數(shù)是_. （撫順市中考題）2. 如圖，已知均在圓上，且為圓的直徑，則_.（河南省中考題）3. 如圖，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，是外接圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi). （蘇州市中考題） 4. 如圖，已知圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線平分，于，給出下列結(jié)論：；。其中，

4、正確結(jié)論的序號(hào)是_.5. 如圖，是圓的內(nèi)接正三角形，四邊形是圓的內(nèi)接正方形，則（ ）。 （安徽省中考題）6. 如圖，是圓內(nèi)接三角形的高，是圓的直徑，則等于（ ）。 （南充市中考題）7. 如圖，在圓中，為弧的中點(diǎn)，交圓于，若，則的長(zhǎng)為（ ）。 8. 如圖，正內(nèi)接于圓，是劣弧上任意一點(diǎn)，于交于點(diǎn)，有如下結(jié)論：；.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）。.3個(gè) .2個(gè) .1個(gè) .0個(gè) （天津市中考題）9. 如圖，已知等邊內(nèi)接于圓，是弧上任一點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。（1） 求證：為等邊三角形；（2） 若，求梯形的面積。 （2011年孝感市中考題）10. 正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，是圓上的以點(diǎn)

5、。（1） 如圖，若點(diǎn)在弧上，求證：；（2） 如圖，若點(diǎn)在弧上，求證：為定值。 （三明市中考題）能力拓展11. 已知在半徑為2的圓中，圓內(nèi)接的邊，則的度數(shù)為_(kāi). （廣東省競(jìng)賽題） 12. 如圖，已知圓的直徑長(zhǎng)為10，弦長(zhǎng)為6，的平分線交圓于，則長(zhǎng)為_(kāi). （武漢市中考提）13. 如圖，圓內(nèi)接四邊形中，則_. （江蘇省競(jìng)賽題）14. 如圖，是半圓直徑，半徑于點(diǎn)，平分分別交于點(diǎn)，交弧于點(diǎn)，連接，給出以下四個(gè)結(jié)論：；.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_. （2011年嘉興市中考題）15. 如圖，是半圓的直徑，是弧的中點(diǎn)，則等于（ ）。 （重慶市競(jìng)賽題）16. 如圖，的高相交于點(diǎn)，分別延長(zhǎng)于的外接圓交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)

6、論：；若為的外接圓的直徑，則.其中正確的是（ ）。 17. 如圖，已知在中，高，則的外接圓半徑是（ ）。 （四川省競(jìng)賽題）18.如圖，內(nèi)接于圓，于點(diǎn)，于點(diǎn)，相交于點(diǎn)。若，則圓的半徑為（ ）。 （2011年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）19.如圖，已知四邊形外接圓圓的半徑為2，對(duì)角線與的交點(diǎn)為，且，求四邊形的面積。 （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）20如圖，已知圓于軸交于兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，且，。（1） 求圓心的坐標(biāo)；（2） 求四邊形的面積；（3） 如圖，過(guò)點(diǎn)作弦交于點(diǎn)，當(dāng)是，求的長(zhǎng)。綜合創(chuàng)新21. 如圖，內(nèi)接于圓，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，求證： . （天津市競(jìng)賽題）22. 如圖，已知半圓的直徑，將一個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)固定在圓