1、專題三綜合測試專題三綜合測試 一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共60 分在每小 題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在題后 括號內(nèi) 1在數(shù)列an中，a12，當 n 為正奇數(shù)時，an 1an2，當 n 為正偶數(shù)時，an 12an，則 a6( ) A11B17C22D23 解析逐項計算得該數(shù)列的前 6 項依次為：2,4,8,10,20,22. 答案C 1 2各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比 q1，a2，2a3，a1成等 a3a4a2a6 差數(shù)列，則() a2a6a4a5 51 A. 1 1 5 C. 2 51 B. 2 51 D. 2 解析依題意，有 a3a1a2，

2、設(shè)公比為 q， 1 5 則有 q q10，所以 q 2 (舍去負值)2 a3a4a2a6a2a4qq2 1 51 2 q 2 . 23a2a6a4a5a2a4q q 1 5 答案B 3若等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，且 S1018，S2024，則 S40 等于() 80 A. 3 79 C. 3 76 B. 3 82 D. 3 解析根據(jù)分析易知：S1018，S20S106，S30S202，S40 280 S 303，S403 ，故選 A. 答案A 4 等差數(shù)列an中， 已知 a16， an0， 公差 dN N*， 則 n(n3) 的最大值為() A7 C5 B6 D8 6 解析ana1(

3、n1)d0，d.又 dN N*，n(n3)的最 n1 大值為 7. 答案A 5設(shè) f(x)是定義在 R R 上恒不為 0 的函數(shù)，對任意實數(shù)x，yR R， 1 都有 f(x)f(y)f(xy)，若anf(n)(nN N*)，且a12，則數(shù)列an的前 n 項和 Sn的取值范圍是() 1 A.2，2 1 C.2，1 1 B.2，2 1 D.2，1 11 解析由題意知 a1f(1)2， an1f(n1)f(1)f(n)2an.數(shù)列 1 1n 212 1n 11 ， an是以2為首項， 2為公比的等比數(shù)列，Sn 1 1 2 12 1 Sn的取值范圍是2，1. 答案D 6數(shù)列an的通項公式 an 24，

4、則 n 為() A25 C624 解析an 1 nn1 B576 D625 ( nn1)，a n的前 n 項和 n1)n1124， 1 n n1，若an的前 n 項和為 Sn(1 2)( 2 3)( n n624. 答案C 122232102 7. 2 22( ) 1 1022292328210 1 A8 C6 B7 D5 122232102 解析設(shè) S 2 22 22 2 ，則 S 221 10 2 9 3 8 10 1 102928212 22 22 2 ，兩式相加得 2S11 22210 1 2 9 3 8 1 10 110，S5. 答案D 8公差不為 0 的等差數(shù)列an中，3a2 01

5、0a2 2 0123a2 0140，數(shù) 列bn是等比數(shù)列，且 b2 012a2 012，則 b2 011b2 013() A4 C16 B8 D36 解析3a2 010a2 2 0123a2 0140， 6a 2 012a22 0120，即 a2 012(a2 0126)0. 數(shù)列b n是等比數(shù)列， a 2 012b2 0120. b 2 012a2 0126. 2 b 2 011b2 013b22 0126 36. 答案D 9已知數(shù)列an的首項 a11，且 an2an 11(n2)，則 an 等 于() A3n2 C2n1 B2n1 D3n1 解析設(shè) anm2(an1m)， an2an1m，

6、 m1， 當 n2 時，2，a n12n，an2n1； an11 又當 n1 時，a 1211，nN *時，an2n1. 答案B 10已知等比數(shù)列 an滿足 an0，n1,2，且 a5a2n 5 22n(n3)，則當 n1 時，log2a1log2a3log2a2n 1 等于() An(2n1)B(n1)2 an1 Cn2D(n1)2 解析由an為等比數(shù)列，則 a5a2n5a1a2n122n， 則(a 1a3a5a2n1)2(22n)n a1a3a2n12n2， 故 log 2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)n2. 答案C 11在公差為 d，各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列

7、an中，若 a11， an51，則 nd 的最小值為() A14 C18 B16 D10 解析由題意得 an1(n1)d51，即(n1)d50，且 d0. 由(n1)d2n1d2 50(當且僅當 n1d 時等號成立)，得 nd10 21，因為 n，d 均為正整數(shù)，所以 nd 的最小值為 16. 答案B 1n 12 (2012上海)設(shè) annsin25， Sna1a2an.在 S1， S2， ， S100中，正數(shù)的個數(shù)是() A25 C75 B50 D100 解析由數(shù)列通項可知，當1n25，nN N*時，an0，當 26n50，nN N*時，an0，因為 a1a260，a2a270，所以 S1，

8、 S2， ， S50都是正數(shù)； 當 51n100， nN N*時， 同理 S51， S52， ， S100也都是正數(shù)，所以正數(shù)的個數(shù)是 100. 答案D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分將答案 填在題中橫線上 13(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前 n 項和若 a1，a3是方程 x25x40 的兩個根，則 S6_. 126 解析由已知得 a11，a34，所以 q2，則 S6 63. 12 答案63 14(2013河南商丘二模)在等差數(shù)列an中，滿足 3a47a7，且 a10，Sn是數(shù)列an前 n 項的和，若Sn取得最大值，則n_. 解析設(shè)公

9、差為 d，由題設(shè)知3(a13d)7(a16d)，所以 d 4 33a10， 4 即 a 1(n1)33a10. 37 所以 n0，同理可得當 n10 時，an1，nN *)，則通項 公式 an_. 解析an4n1an1， a2a3 2 an a4，a4 ，4n1以上式子相乘得： 12 an1 an 12 (n1)(n1)n4 2， a1 a n2n 2n2. 答案2 2 n n2 1 16(2013江蘇卷)在正項等比數(shù)列an中，a52，a6a73. 則 滿足 a1a2ana1a2an的最大正整數(shù) n 的值為_ 1 解析a6a7a5qa5q23，把 a52代入得 q2q60，即 q 1 2，所以

10、 a 132，所以 an2n6，Sn2n52 5 ，a 1a2an(a1an) n 2 n n11 2 n n11 2 n n11 2 2，由題意 2n52 5 2，當 2n52時可求 得 n 的最大值為 12，當 n13 時，282 5 an，a2a9 232，a4a737. (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)若將數(shù)列an的項重新組合， 得到新數(shù)列bn， 具體方法如下： b1a1， b2a2a3， b3a4a5a6a7， b4a8a9a10a15， ， 依此類推，第 n 項 bn由相應(yīng)的an中 2n1項的和組成，求數(shù)列 1 n bn 4 2 的前 n 項和 Tn. 解(1)由 a2a923

11、2 與 a4a7a2a937， a28， 解得： a929， a229， 或 a98 (由于 an1an，舍去) a2a1d8， 設(shè)公差為 d，則 a9a18d29， a15， 解得 d3. 所以數(shù)列a n的通項公式為 an3n2(nN *) (2)由題意得： bna2n1a2n11a2n12a2n12n11 (32n12)(32n15)(32n18)32n1(32n1 1)2n132n1258(32n14)(32n11) 而 2 58(32n14)(32n11)是首項為 2，公差為 3 的等差 數(shù)列的前 2n1項的和， 所以 258(32n14)(32n11) 2n12n11 1 nn12n

12、3 2 2332 42 . 2 所以 b n322n2322n3 1 n 42 9 2n 1 n 8242 . 1 n 9 2n 所以 b n42 82 . 414n 399 所以 T n8(4166422n)8 2(4n1) 14 x 20(本小題 12 分)設(shè)函數(shù) f(x)2sinx 的所有正的極小值點從 小到大排成的數(shù)列為xn (1)求數(shù)列xn的通項公式； (2)設(shè)xn的前 n 項和為 Sn，求 sinSn. 11 解(1)令 f(x)2cosx0，所以 cosx2， 2 解得 x2k3(kZ Z) 2 由 x n 是 f(x)的第 n 個正極小值點知，x n2n3(nN N*) (2)

13、由(1)可知， 22n Sn2(12n)3nn(n1) 3 ， 2n 所以 sinS nsin nn1 3 . 因為 n(n1)表示兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積，n(n1)一定為偶數(shù)， 2n 所以 sinS nsin3 . 當 n3m2(mN N*)時， 4 3 sinSnsin2m3 2 ； 當 n3m1(mN N*)時， 2 3 2m sinSnsin 3 2 ； 當 n3m(mN N*)時， sinSnsin2m0. 綜上所述，sinS 3，n3m1mN N ， 2 0，n3mmN N . n* * 3 2 ，n3m2mN N*， 21(本小題 12 分)(2013湖北卷)已知等比數(shù)列an滿足：

14、|a2a3| 10，a1a2a3125. (1)求數(shù)列an的通項公式； 111 (2)是否存在正整數(shù) m，使得aaa1？若存在，求 m 12m 的最小值；若不存在，說明理由 解(1) 設(shè) 等 比 數(shù) 列 an 的 公 比 為 q ， 則 由 已 知 可 得 3 3q 125，a 1 |a1qa1q2|10， 5 a13， 解得 q3， a15， 或 q1. 5 n1 故 a n33 ，或 a n5(1)n1. 5 n1 131 n1 ， (2)若 an33 ，則a5 3 n 1 31 故 a 是首項為5，公比為3的等比數(shù)列， n 3 1m 1 m153 91 m 9 從而 a 10 13 10

15、1. 1 n 13 n1 1 111 若 a n5(1)n1，則a 5(1)n1，故a 是首項為5， n n 公比為1 的等比數(shù)列， 1 1 5，m2k1kN N， 從而 a n n1 0，m2kkN N. m m 1 故 a 1. n m n1 1 綜上，對任意正整數(shù) m，總有 a 1. n m n1 111 故不存在正整數(shù) m，使得aaa 1 成立 12 22(本小題 12 分)(2013江蘇卷)設(shè)an是首項為 a，公差為 d 的 nSn 等差數(shù)列(d0)，Sn是其前 n 項的和記 bn 2 ，nN N*，其中 c n c 為實數(shù) (1)若 c0，且 b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Sn

16、kn2Sk(k，n N N*)； (2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0. nn1 解由題設(shè)，Snna 2 d. n1 Sn (1)由 c0，得 bn n a 2 d.又 b1，b2，b4成等比數(shù)列，所 以 2 b 2b1b4，即a d 2 3 aa d，化簡得d22ad0.因為 d0，所 22 以 d2a. 因此，對于所有的 mN N*，有 S mm2a. 從而對于所有的 k，nN N*，有 S nk(nk)2an2k2an2Sk. nSn (2)設(shè)數(shù)列bn的公差是 d1，則 bnb1(n1)d1，即 2 b 1 n c (n1)d1，nN N*，代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nN N*，有 1 3 1 2 d1dn b 1d1a dn cd 1nc(d1b1)2 2 11 令 Ad 12d，