1、高 等 代 數(shù),6.1 集合 映射,第一節(jié) 集合 映射,第六章 線性空間 Linear Space,6.1 集合 映射,集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一. 集合是指由,一些確定的對(duì)象 (或事物) 匯集成的整體，其中每個(gè),對(duì)象叫集合的元素.,通常用大寫字母 A，B，X，Y 等表示集合，用,小寫字母 a, b, x, y 等表示集合的元素.,如果元素 a,在集合 A 中，就說“a 屬于 A”，記作 a A ；,一、集合,1. 集合的概念,6.1 集合 映射,如果元素 a 不在集合 A 中，就說“a 不屬于 A”，,記作 a A .,2. 集合的表示法,集合的表示法有兩種：列舉法和描述法.,3. 空集合

2、,不包含任何元素的集合稱為空集合, 記為 .,6.1 集合 映射,1) 相等,2) 子集合,4. 兩個(gè)集合之間的關(guān)系,3) 交集,4) 并集,5) 差集,6.1 集合 映射,1. 映射的概念,定義1 設(shè) X，Y 是非空集，所謂集合 X 到集合,Y 的一個(gè)映射就是指一個(gè)法則 ，它使 X 中每一個(gè),元素 都有 Y 中一個(gè)確定的元素 與之對(duì)應(yīng).,記為, ( ) = ，或 ： ., 稱為 在映射 下的像，而 稱為 在映射 下,的一個(gè)原像.,二、映射,6.1 集合 映射,M 到 M 自身的映射，有時(shí)也稱為 M 到自身的,變換.,注意：, 的像是唯一的，但 的原像不一定是,唯一的.,2. 映射的例子,例

3、1 設(shè) M 是一集合，定義, (a) = a ，a M .,即 把每個(gè)元素映到它自身，稱為集合 M 的恒等,映射或單位映射，記為 1M .,6.1 集合 映射,例 2 任意一個(gè)定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù),y = f (x),都是實(shí)數(shù)集合到自身的映射.,因此，函數(shù)可以認(rèn)為,是映射的一個(gè)特殊情形.,3. 兩個(gè)映射相等,定義2 設(shè) 、 都是集合 M 到 集合 N 的映射，,若對(duì) M 中的每個(gè)元素 a 都有, (a) = (a),則稱它們相等，記為 = .,6.1 集合 映射,4. 映射的乘積,1) 定義,定義3 設(shè) 、 分別是集合 A 到 B 和 B 到 C,的兩個(gè)映射，乘積 定義為,( ) (a) =

4、 ( (a) ) , a A ,即相繼施行 和 的結(jié)果， 是 A 到 C 的一個(gè),映射.,6.1 集合 映射,2) 運(yùn)算規(guī)律,映射的乘法滿足結(jié)合律.,設(shè) 、 、 分別是,集合 A 到 B，B 到 C，C 到 D，則, ( ) = ( ) .,注 映射的乘法不滿足交換律，例如,設(shè) f (x) = sin x , g (x) = x + 1 , 則,g ( f (x) ) = sin x + 1 ；,f ( g (x) ) = sin (x + 1) .,故 g f f g .,6.1 集合 映射,5. 單射、滿射、雙射,定義4 設(shè) 是集合 X 到 Y 的一個(gè)映射 , 如果：,(1) 對(duì)任意的 1

5、 , 2 X , 當(dāng) 1 2 時(shí)，( 1 ), ( 2 )，則稱 為單射.,(2) (X) = Y，即對(duì)于任意的 Y ，存在 , X，使 ( ) = ，則稱 為滿射.,(3) 若映射 既是單射又是滿射，則稱 為,雙射 (或稱一一對(duì)應(yīng)) .,6.1 集合 映射,對(duì)于有限集，兩個(gè)集合之間存在雙射的充分必,要條件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同. 對(duì)無(wú)限集就不,一定如此.,有限集到有限集的映射的三種情況，示意圖如,下.,6.1 集合 映射,6. 逆映射,1) 定義,定義5 設(shè) 是集合 X 到 Y 的一個(gè)映射，如果, = 1X 和 = 1Y,存在集合 Y 到 X 的一個(gè)映射 ，使,同時(shí)成立，則稱 是可逆映射

6、(簡(jiǎn)稱 可逆)， 并,稱 為 的逆映射，記作 -1 = .,定義中 與 的地位是相同的，此時(shí)也說 是,可逆的，且 -1 = .,6.1 集合 映射,2) 逆映射的唯一性,如果映射是可逆的，則其逆映射是唯一的.,證明,設(shè) 1 ，2 是 的兩個(gè)逆映射，即,1 = 2 = 1X 且 1 = 2 = 1Y .,則有,1 = 11Y,故 的逆映射是唯一的.,證畢,= 1 ( 2 ),= (1 )2,= 1X 2 = 2 ，,6.1 集合 映射,3) 映射可逆的條件,集合 X 到 Y 的映射 可逆的充分必條件是 ,為雙射.,證明,必要性,設(shè) 可逆，即有唯一的從集合,Y 到 X 的映射 ，使, = 1X 且 = 1Y ,于是，對(duì)任意的 Y ，有, = 1Y ( ),由于 ( ) X，故 是滿射；,= ( ) ( ),= ( ( ) ) ，,6.1 集合 映射,又因?yàn)椋? ( 1 ) = ( 2 ) ，,1 = 1X( 1 ),= ( ( 1 ) ),= ( ) ( 1 ),= ( ( 2 ) ),= ( ) ( 2 ),= 1X( 2 ),= 2 ，,故 是單射，從而 是雙射.,充分性,設(shè) 是雙射，對(duì)任意的 Y , 存在,唯一的 X，使 ( ) = ，于是可定義集合 Y,到 X 的映射 ，使得 ( ) = ，其中 是 X 中與,一一對(duì)應(yīng)的元素，這樣，對(duì)任意的 X ,則,都有,6.1