1、第一節(jié) 大數(shù)定律,大數(shù)定律 小結(jié),預(yù)備知識：依概率收斂定義及性質(zhì),定義,性質(zhì),請注意 :,大量隨機試驗中,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,n 個隨機變量的算術(shù)平均,大數(shù)定律講述的是：,大數(shù)定律,定理1（切比雪夫定理的特殊情況）,切比雪夫,則對任意的0，有,做前 n 個隨機變量的算術(shù)平均,說明,證,由切比雪夫不等式,上式中令,得,伯努利,設(shè)nA是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,是事件A發(fā)生的頻率.,設(shè) nA 是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā) 生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生 的概率，則對于任意正數(shù) 0 ，有,定理2（伯

2、努里大數(shù)定律）,或,伯努利,證明,證畢,注,貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,或,下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.,設(shè)隨機變量序列X1,X2, 相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對于任意正數(shù) ，有,定理3（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.,注,2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.,3、辛欽定理具有廣泛的適用性.,要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ， 要收割某些有代表性塊，例如n 塊 地. 計算其平均畝產(chǎn)量，則

3、當(dāng)n 較 大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝 產(chǎn)量的一個估計.,例 在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.,問對序列Xk能否應(yīng)用大數(shù)定律？,即對任意的0,解:,諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.,小結(jié),大 數(shù) 定 律,大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,第二節(jié) 中心極限定理,中心極限定理 例題 小結(jié),中心極限定理的客觀背景,在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和)影響所形成的.,例如：炮彈射擊的 落點與目標的偏差， 就受著許多隨機因 素（如瞄準，空氣 阻力，炮彈或炮

4、身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個隨機因素的對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布哪 ？,如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大. 則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測量誤差服從正態(tài) 分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在 自然界中極為常見.,現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.,高斯,當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？,由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量.,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫

5、做中心極限定理.,一、中心極限定理,定理1（獨立同分布下的中心極限定理）,注,3、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分布.,定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理),(獨立不一定同分布),請注意 :,定理3(棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理）,設(shè)隨機變量 (n=1,2,)服從參數(shù)n,p(0p1) 的二項分布，則對任意x，有,證,(獨立同分布,二項分布),定理表明，當(dāng)n很大，01920)=1-P(Y1920),1-,例2 在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.,(1) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?,(2)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.,由中心極限定理,例2解答：,欲使,即,查表得,從中解得,即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.,（2）解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為,由中心極限定理,即,其中