1、1,第一講評價(jià)相對有效性的DEA模型運(yùn)籌學(xué)的新領(lǐng)域1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(庫伯),及E.Rhodes(羅茲)首先提出了一個(gè)被稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentanalysis,簡稱DEA模型）的方法，用于評價(jià)相同部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）.他們的第一個(gè)模型被命名為C2R模型.從生產(chǎn)函數(shù)的角度看,這一模型是用來研究具有多個(gè)輸入,特別是具有多個(gè)輸出的“生產(chǎn)部門”同時(shí)為“規(guī)模有效”與“技術(shù)有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,庫伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.S

2、tutz)給出另一個(gè)模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來研究生產(chǎn)部門間的“技術(shù)有效性”.,2,1987年查恩斯,庫伯,魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型C2WH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”.靈活地應(yīng)用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì).數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域.查恩斯和庫伯等人的第一個(gè)應(yīng)用DEA的十分成功的案例,就是評價(jià)為弱智兒童開設(shè)公立學(xué)校項(xiàng)目的效果.在評估中,輸出包括“自尊”等無形的指標(biāo);輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無論哪種指標(biāo)都有無法與市場價(jià)格相比較,也難

3、以輕易定出適當(dāng)?shù)臋?quán)重(權(quán)系數(shù)),這也是DEA的優(yōu)點(diǎn)之一.DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引眾多的應(yīng)用者,應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國軍用飛機(jī)的飛行,基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵,城市,銀行,3,等方面.目前,這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域在不斷地?cái)U(kuò)大.它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性(例如投資項(xiàng)目的評價(jià));研究在決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何(例如建立新廠后,新廠相對于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術(shù)有效性作出評價(jià)，即對各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)量的資金、勞動(dòng)力等資源后，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益）作一個(gè)相對有效性評價(jià)。為了說明DEA模型的建模思路，我

4、們看下面的例子,4,例1：某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動(dòng)資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表,由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。,5,對于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。,我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比,即,類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：,6,我們限定所有的hj值不超過1，即，這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，

5、則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若hk1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。,即,因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：,這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。,7,設(shè),則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃,其對偶問題為,8,設(shè)vi為第i個(gè)指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個(gè)產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重，則第j個(gè)企業(yè)投入的綜合值為，產(chǎn)出的綜合值為其生產(chǎn)效率定義為:于是問題實(shí)際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個(gè)企業(yè)的效率值hj最大。這個(gè)最大的效率評價(jià)值是該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說不可

6、能更高的相對效率評價(jià)值。,我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj1。這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。,9,根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個(gè)企業(yè)（如第3個(gè)企業(yè)即丙企業(yè)）的相對生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：,1、評價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型設(shè)有n個(gè)同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對于每個(gè)企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。這n個(gè)

7、企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下：,10,每個(gè)決策單元的效率評價(jià)指數(shù)定義為：,j=1,2,n,11,而第j0個(gè)決策單元的相對效率優(yōu)化評價(jià)模型為：,上述模型中xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測數(shù)據(jù)得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評價(jià)第j0個(gè)決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。,12,這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此，令,則模型（1）轉(zhuǎn)化為：,（2）,13,（2）,寫成向量形式有:,14,其對偶問題為：,（3）,寫成向量形式有：,15,

8、設(shè)問題（4）的最優(yōu)解為*，s*-,s*+,*，則有如下結(jié)論：,（1）若*=1，則DMUj0為弱DEA有效（總體）。（2）若*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效（總體）（3）令0=*x0-s*-,0=y0+s*+,則為在有效前沿面上的投影，相對于原來的n個(gè)DMU是有效（總體）的。,（4）若存在j*(j=1,2,m),使=1成立，則DMUj0為規(guī)模效益不變；若不存在j*(j=1,2,m)，使=1成立，則1DMUj0為規(guī)模效益遞減。,16,有效解的解釋：F(X)=f1(X),f2(X),fn(X)如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X

9、*）F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X),17,18,P63例28以1997年全部獨(dú)立核算企業(yè)為對象,對安徽、江西、湖南和湖北四省進(jìn)行生產(chǎn)水平的比較。投入要素取固定資產(chǎn)凈值年平均余額(億元),流動(dòng)資金年平均余額及從業(yè)人員(萬人),產(chǎn)出要素取總產(chǎn)值(億元)和利稅總額(億元).,19,1.建立評價(jià)湖南省的DEA模型如下,求解結(jié)果為:,調(diào)整方案為:,20,2、具有非阿基米德無窮小的C2R模型在評價(jià)決策單元是否為DEA有效時(shí),如果利用原線性規(guī)劃問題,需要判斷是否存在最優(yōu)解，滿足,如果利用對偶線性規(guī)劃,需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足,無論是對于線性

10、規(guī)劃還是對于對偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。,21,令是非阿基米德無窮小量，它是一個(gè)小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。考慮帶有非阿基米德無窮小的C2R模型：,對偶問題為：,其中,22,5、DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義考慮投入量為，產(chǎn)出量為的某種生產(chǎn)活動(dòng)。我們的目的是根據(jù)所觀察到的生產(chǎn)活動(dòng)（xj,yj),j=1,2,n,去描述生產(chǎn)可能集，特別是根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)去確定哪些生產(chǎn)活動(dòng)是相對有效的。,生產(chǎn)可能集定義為：T=(X,Y)|產(chǎn)出向量Y可以由投入向量X生產(chǎn)出來,因此，生產(chǎn)可能集可確定為：,23,有

11、效性定義：對任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到100%的效率是指：在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時(shí)降低其他種類的輸出；要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加其他種類的輸入。一個(gè)決策單元達(dá)到了100%的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。,無效性定義：（1）對任意（X，Y）T，并且，均有（2）對任意（X，Y）T，并且，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進(jìn)行生產(chǎn)總是可能的。,24,既是技術(shù)有效,也是規(guī)模有效,下面我們以單輸入單輸出的情況來說明DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義。首先敘述生產(chǎn)函數(shù)的概念。生產(chǎn)函數(shù)Y=f(X）表示在生產(chǎn)處于最好的理想狀態(tài)時(shí)，當(dāng)投入量為X,

12、所能獲得的最大輸出.因此,生產(chǎn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)(X表示輸入,Y表示輸出)所對應(yīng)的決策單元,從生產(chǎn)函數(shù)的角度看,是處于“技術(shù)有效”的狀態(tài).一般來說生產(chǎn)函數(shù)的圖象如下:,既不是技術(shù)有效,也不是規(guī)模有效,技術(shù)有效,但不是規(guī)模有效,25,我們現(xiàn)在來研究在模型C2R之下的DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義.檢驗(yàn)決策單元j0的DEA有效性,即考慮線性規(guī)劃問題:,由于,即滿足,可以看出,線性規(guī)劃是表示在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例減少.如果投入量X0不能按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效,也為規(guī)模有效.反之,如果投入量X0能

13、按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效,或不為規(guī)模有效.,26,例題:下面是具有3個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對應(yīng)的點(diǎn)以A,B,C表示,其中點(diǎn)A、C在生產(chǎn)曲線上,點(diǎn)B在生產(chǎn)曲線下方。由3個(gè)決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來。,245,213.5,輸入,輸出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),對于決策點(diǎn)A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”,它所對應(yīng)的C2R模型為,其最優(yōu)解為:,27,245,213.5,輸入,輸出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),對于決策點(diǎn)B,它不是“技術(shù)有

14、效”,因?yàn)辄c(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,也不是“規(guī)模有效”,這是因?yàn)樗耐顿Y規(guī)模太大.,其最優(yōu)解為:,其對應(yīng)的C2R模型如下:,由于1,故B點(diǎn)不是DEA有效,由,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.,28,245,213.5,輸入,輸出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),其最優(yōu)解為:,對于決策點(diǎn)C,因?yàn)辄c(diǎn)C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,它是“技術(shù)有效”,但由于它的投資規(guī)模太大,所以不是“規(guī)模有效”.,其對應(yīng)的C2R模型如下:,由于1,故C點(diǎn)不是DEA有效,由,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.,29,二、評價(jià)技術(shù)有效性的C2GS2模型考慮一對線性規(guī)劃對偶問題：,(P),(D),該模型計(jì)算出的DMU效率

15、是純技術(shù)效率，反映DMU的純技術(shù)效率狀況，稱為純技術(shù)效率。設(shè)問題的最優(yōu)解為*，s*-,s*+,*，則有如下結(jié)論：,(1)若*=1，則DMUj0為弱DEA有效（C2GS2純技術(shù)）。(2)若*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效(C2GS2純技術(shù))。,30,線性規(guī)劃(D)的經(jīng)濟(jì)解釋是:在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例減少.如果投入量X0不能按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效.反之,如果投入量X0能按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效

16、.,C2GS2模型的經(jīng)濟(jì)解釋:,(D),在這里之所以與C2R模型的情況不同,是因?yàn)樯a(chǎn)可能集T的構(gòu)成不滿足“錐性”的公理假設(shè).“錐性”的公理假設(shè):對任意(X,Y)T,及數(shù)k0,均有這就是說,若以投入量X的k倍進(jìn)行輸入,那么產(chǎn)出量也以原來產(chǎn)出Y的k倍產(chǎn)出是可能的.,31,具有非阿基米德無窮小的模型為:,(P),(D),32,例題:考慮具有一個(gè)輸入和一個(gè)輸出的問題,它們由下表給出:,134,231,輸入,輸出,考察決策單元1,相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為:,其最優(yōu)解為:,知決策單元1為DEA有效(C2GS2),33,134,231,輸入,輸出,考察決策單元2,相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為:,其最優(yōu)解為:,知決策單

17、元2為DEA有效(C2GS2),34,134,231,輸入,輸出,考察決策單元3,相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為:,其最優(yōu)解為:,知決策單元3不為DEA有效(C2GS2),T,(1,2),(3,3),(4,1),35,134,231,輸入,輸出,對于決策單元2,為DEA有效(C2GS2),但卻不是DEA(C2R)有效.,其最優(yōu)解為:,知決策單元2不為DEA有效(C2R),T,(1,2),(3,3),(4,1),T,(1,2),(3,3),(4,1),其C2R模型為:,36,三、評價(jià)第j0決策單元DMU純規(guī)模效率模型為：,（6）,根據(jù)DEA的理論，總體效率*、純技術(shù)效率*、純規(guī)模效率s*三個(gè)參數(shù)之間存在（

18、6）式所述的關(guān)系，由（6）可直接計(jì)算DMU的純規(guī)模效率。,37,四、具有錐比率的C2WH模型假設(shè)有n個(gè)決策單元對應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)如下,X,Y,12n,則C2WH模型如下：,38,則C2WH模型如下：,(P),結(jié)論:(1)若規(guī)劃P存在最優(yōu)解,滿足,(D),則稱決策單元j0為弱DEA有效(C2WH),(2)若規(guī)劃P存在最優(yōu)解,滿足,則稱決策單元j0為DEA有效(C2WH),39,使用凸錐去度量決策單元的DEA有效性時(shí),相應(yīng)的生產(chǎn)可能集為:,其中,若令,則錐比率模型(P)和(D)化為C2R模型,(P),(D),可見C2WH模型是C2R模型的推廣.,40,例題:考慮具有二個(gè)輸入和一個(gè)輸出的問題,

19、它們由下表給出:,33410132,1121,輸入,輸出,在使用C2R模型評價(jià)時(shí),決策單元1,2,3均為DEA有效(C2R).以決策單元2為例.其C2R模型為:,其最優(yōu)解為故為DEA有效(C2R),41,我們知道,在使用DEA方法評價(jià)部門間的相對有效性時(shí),變量v表示對輸入的權(quán)系數(shù),它表示各種不同輸入之間的相對重要;變量u表示對輸出的權(quán)系數(shù),表示各種不同輸出之間的相對重要性.于是,在C2R模型中的線性規(guī)劃(P)中的和也具有同樣的意義.在求線性規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解時(shí),實(shí)際上是選取對決策單元j0最為有利的權(quán)系數(shù).在很多實(shí)際問題中,每項(xiàng)輸入(或輸出)的重要性是不盡相同的(例如某項(xiàng)生產(chǎn)活動(dòng)中輸入可以是黃金和煤炭的情況).因此,權(quán)系數(shù)的選取應(yīng)該滿足一定的限制.在上述例子中,決策單元2是DEA有效(C2R)時(shí),表示輸入項(xiàng)目1和輸入項(xiàng)目2的重要性之比是,如果事先認(rèn)為第一項(xiàng)輸入與第二項(xiàng)輸入的重要性之比為,則必須使用C2WH模型,此時(shí),對決策單元2,有:,42,其中,求解結(jié)果為,不為DEA有效(C2WH),下面討論當(dāng)V,U,K為多面凸錐時(shí)的C2WH模型.令,則有,43,AX1AX2AXn,By1By2BYn,12n,因此