1、1、物理專業(yè)必修課，數(shù)學(xué)方法物理，2、方法，2、第1章波動(dòng)方程和行波方法，3、介紹1.1弦振動(dòng)方程1.2行波方法，4、數(shù)學(xué)方程(廣義方程)(三種類型)在物理研究中發(fā)揮重要作用。如何從物理實(shí)際問(wèn)題中推導(dǎo)出數(shù)學(xué)方程？讓我們從弦振動(dòng)方程開始。導(dǎo)言，5?；静襟E：1。建立坐標(biāo)系(時(shí)間和空間)；2.選擇物理量來(lái)表征所研究的過(guò)程，這通常是建立新方程的起點(diǎn)。(一個(gè)或幾個(gè))。數(shù)學(xué)模型，物理模型，6，3。找出(猜測(cè))物理過(guò)程所觀察到的物理規(guī)律或物理公理；4.寫出物理定律的表達(dá)式，即數(shù)學(xué)模型。7，1。弦的交叉振動(dòng)方程2。提出確定解的條件。三種定解問(wèn)題，1.1弦振動(dòng)方程，8。1.弦的交叉振動(dòng)方程(均勻弦的輕微橫向振

2、動(dòng))演奏弦的人(二胡和小提琴)用弓在弦上來(lái)回拉動(dòng)，弓只接觸弦的一小部分，這似乎只引起這一小部分的振動(dòng)。事實(shí)上，振動(dòng)總是會(huì)發(fā)生。振動(dòng)是如何傳播的？9、實(shí)際問(wèn)題：有一根細(xì)長(zhǎng)而柔軟的弦，緊夾在兩點(diǎn)a和b之間，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動(dòng)(以某種方式激發(fā)，在同一平面內(nèi)，弦上各點(diǎn)的振動(dòng)方向相互平行，并垂直于波的傳播方向(弦的長(zhǎng)度方向)，從而找到弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1.物理模型，10。2.分析弦是柔軟的，也就是說(shuō)，在松弛狀態(tài)下，弦被彎曲成任何形狀，并且保持靜止。拉緊后，相鄰線段之間存在張力，這被稱為線張力，張力沿直線的切線方向。由于張力的作用，一小段的振動(dòng)將驅(qū)動(dòng)其相鄰的一段，而相鄰的一段又將驅(qū)動(dòng)其

3、相鄰的一段，因此一小段的振動(dòng)將不可避免地傳播到整個(gè)弦上，這就是所謂的波。繩子是一種輕質(zhì)的繩子(它的質(zhì)量只是張力的幾萬(wàn)倍)。與張力相比，弦的質(zhì)量可以完全忽略。事實(shí)上，這個(gè)模型是：一根柔軟而輕的弦(沒(méi)有質(zhì)量的弦)拉緊一根沒(méi)有質(zhì)量的弦，當(dāng)它不振動(dòng)時(shí)，它是一條直線，它被當(dāng)作x軸。弦上最后一點(diǎn)的橫向位移記為，13，14，3。方程如圖所示建立。當(dāng)弦繃緊(不振動(dòng))時(shí)，選擇直線作為x軸、15、來(lái)表示物理量。弦從平衡位置的位移寫成：因?yàn)橄业恼駝?dòng)是機(jī)械振動(dòng)，基本定律是：但弦不是粒子，所以它不適用于整個(gè)弦。但是整個(gè)弦可以被細(xì)分成許多微小的片段，每個(gè)片段都可以被抽象成一個(gè)粒子。16，也就是說(shuō)，整個(gè)串由彼此相關(guān)的粒子組

4、成，這些粒子可以應(yīng)用于每個(gè)粒子，也就是每個(gè)小片段dx，其沒(méi)有沿著x方向(縱向方向)的運(yùn)動(dòng)，并且沿著x方向的合力為零。在振動(dòng)過(guò)程中，任何小的弦只受到相鄰節(jié)段的張力和施加在弦上的外力。讓單位長(zhǎng)度的橫向外力為18，那么對(duì)應(yīng)于牛頓第二定律的dx的弦有：19、20、21，所以它被簡(jiǎn)化為：22，也就是說(shuō)，讓，那么上面的公式是：23、并且應(yīng)用微積分中值定理。對(duì)于樂(lè)器來(lái)說(shuō)，這意味著弦越緊，波速就越大；弦材料越致密，波速越小。則得到弦的自由橫向振動(dòng)方程。注意：在上述推導(dǎo)中沒(méi)有考慮重力。不僅是弦振動(dòng)，還有一維波動(dòng)方程，如彈性桿的橫向振動(dòng)。二維波動(dòng)方程，如薄膜的橫向振動(dòng)方程、管道中微小振動(dòng)的傳播方程和理想傳輸線的電

5、報(bào)方程，可以用上述波動(dòng)方程來(lái)描述。因此，它被稱為一種方程，即波動(dòng)方程。(也稱為廣義方程的偉大)可以描述一類物理現(xiàn)象。三維波動(dòng)方程是從流體力學(xué)和聲學(xué)中推導(dǎo)出來(lái)的，它們并不精確然而，僅僅廣義方程還不足以完全確定方程的解，也就是說(shuō)，還不足以完全確定具體的物理過(guò)程，因?yàn)榫唧w的物理過(guò)程也與其初始狀態(tài)和邊界上的外部作用有關(guān)，所以有必要找到一些補(bǔ)充條件來(lái)確定物理過(guò)程。29，從物理的觀點(diǎn)來(lái)看：廣義方程只代表一般性(generality ),而附加條件應(yīng)該針對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)而個(gè)性化。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，微分方程解的任意性也需要附加條件。一般解包含任意函數(shù)(解不能唯一確定)。任意函數(shù)(常數(shù))由附加條件確定，從而確定解。

6、這些附加條件是上述問(wèn)題的“歷史”和“環(huán)境”，即初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。初始條件當(dāng)用時(shí)間t變量求解數(shù)學(xué)方程時(shí)，它通常被追溯到一個(gè)早期的所謂“初始”時(shí)間條件(“歷史”)，所以物理過(guò)程初始條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式被稱為初始條件。31、等弦振動(dòng)方程：其初始條件為：注：(a)初始條件應(yīng)該是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中各個(gè)點(diǎn)的初始狀態(tài)。例如，如果一根兩端固定的長(zhǎng)度為l的弦，用手將它的中點(diǎn)拉離橫向方向一段距離h，然后放開并讓它振動(dòng)(初始時(shí)間應(yīng)該是放開的時(shí)間)，那么初始條件應(yīng)該是：33，(b)時(shí)間的n階方程t需要n個(gè)初始條件和n個(gè)常數(shù)。如：34，3，邊界條件在解方程時(shí)，我們還應(yīng)該考慮邊界條件(周圍的“

7、環(huán)境”)(邊界條件會(huì)逐點(diǎn)影響整個(gè)討論區(qū)域)，而物理過(guò)程的邊界條件的表達(dá)式稱為邊界條件，或邊值條件。數(shù)學(xué)上，邊界條件可分為三類：第一類邊界條件(狄利克雷邊界條件)直接指定邊界上研究的物理量的數(shù)值；第二類邊界條件(諾依曼邊界條件):指定邊界外法線方向上研究的物理量的方向?qū)?shù)的數(shù)值。第三類邊界條件(混合邊界條件也稱為robin邊界條件):第一類、第二類和第三類齊次邊界條件，它們規(guī)定了所研究的物理量及其在邊界上的外部法向?qū)?shù)的線性組合的值。39，收斂條件。由于某些原因，在研究區(qū)域中有一個(gè)跳躍點(diǎn)，在這個(gè)點(diǎn)上，廣義方程失去了意義。例如，在波動(dòng)方程(弦)中，如果有橫向力作用在該點(diǎn)上，它就成為弦的拐點(diǎn)。在這一

8、點(diǎn)上，斜率的左極限不同于右極限，因此，不存在其他條件，40。在每一部分，弦振動(dòng)方程都是有意義的，但它是弦的兩個(gè)部分，不會(huì)分別振動(dòng)。從數(shù)學(xué)上講，不可能在兩端列出明確的解決問(wèn)題。這兩個(gè)部分可以作為一個(gè)整體來(lái)研究，這兩個(gè)部分的振動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的。41、42、是頂點(diǎn)，但它們是連續(xù)的，也就是說(shuō)、統(tǒng)稱為收斂條件，因此振動(dòng)問(wèn)題是適定的。對(duì)于另一個(gè)例子，由不同材料制成的桿的振動(dòng)位移和能量在接頭處相等，即桿的兩個(gè)部分的位移，兩個(gè)部分的楊氏模量，44。在靜電場(chǎng)中，兩個(gè)電介質(zhì)之間的界面處的電勢(shì)應(yīng)該相等(連續(xù))，電位移矢量的法向分量也應(yīng)該相等(連續(xù))，并且其聯(lián)合條件是30。出于物理合理性等原因，當(dāng)要求解是單值和有限時(shí)，

9、提出自然邊界條件。這些條件通常不是根據(jù)要研究的問(wèn)題直接給出的，而是根據(jù)解的特性自然地加上的，所以它們被稱為自然邊界條件，例如：47，一般的解是：48，但不是所有定解問(wèn)題都必須有初始條件和邊界條件。三種定解例如，一個(gè)有界弦的自由振動(dòng)，52，物理系統(tǒng)總是有限的并且必須有界，這就需要邊界條件，例如，一個(gè)弦總是有限的并且有兩個(gè)端點(diǎn)，但是如果我們注意研究一個(gè)弦的一端附近，也就是說(shuō)，在短時(shí)間內(nèi)，另一端還沒(méi)有到達(dá)它，我們可以認(rèn)為另一端不存在，這樣真實(shí)的弦可以抽象為一個(gè)半無(wú)界的弦。(4)無(wú)界和半無(wú)界問(wèn)題：53。如果我們注意一個(gè)不靠近兩端的弦，我們可以認(rèn)為兩端在短時(shí)間內(nèi)不存在，也就是說(shuō)，兩端都在無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以我

10、們不提邊界條件。因此，有限實(shí)字符串被抽象為無(wú)界字符串，分別稱為半無(wú)界問(wèn)題和無(wú)界問(wèn)題。例如，在弦振動(dòng)問(wèn)題中，第一類邊界條件是：55，端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是：左端點(diǎn)是，和右端點(diǎn)。如果兩個(gè)端點(diǎn)是固定的，則它是齊次邊界條件，這稱為固定端點(diǎn)邊界條件。第三種邊界條件：弦的左端點(diǎn)固定在彈簧的自由端，弦的左端點(diǎn)在垂直于軸線的已知外力作用下上下移動(dòng)。如果彈性支撐的邊界條件是，弦的一端與另一個(gè)系統(tǒng)連接，弦的左端與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)連接，以保持其運(yùn)動(dòng)完全垂直。彈簧的拉伸長(zhǎng)度是：這是由牛頓第二定律移動(dòng)的：彈簧上的其他力，胡克定律，以及根據(jù)其解的弦的支撐點(diǎn)。彈簧的長(zhǎng)度是62、63、64，然后是65、如果質(zhì)量的平衡位置與弦的平衡位置

11、一致，也就是說(shuō)，在66、的末端沒(méi)有其他垂直外力，并且末端彈性力的垂直分量必須是0。如果端點(diǎn)連接到上面提到的無(wú)摩擦垂直軌道，它可以自由地上下移動(dòng)，并且沒(méi)有彈簧質(zhì)量系統(tǒng)和外力。67，1.2行波法，1。定解問(wèn)題2。解決定解問(wèn)題3。分析解決方案4。從屬區(qū)域5。其他：題，68，引言，69，首先找到方程的一般解(包括任意常數(shù))。其次，用定解條件很難確定函數(shù)，但也不是不可能求解任何方程，這對(duì)于一類問(wèn)題是可行的：無(wú)界域中齊次波動(dòng)方程的定解。73，74，(初值問(wèn)題)抽象問(wèn)題區(qū)域是整個(gè)空間，由初始擾動(dòng)引起的振動(dòng)將向前傳播并形成行波。從數(shù)學(xué)上講，字符串的長(zhǎng)度被認(rèn)為是無(wú)限的。這種解決行波問(wèn)題的方法叫做行波法。75、1

12、。定解問(wèn)題，76。物理模型解釋：無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)桿的縱向振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)理想傳輸線的電流與電壓之比這里，“無(wú)限長(zhǎng)”是指如果只有很短的一段不受外力作用，兩端的影響，77個(gè)端點(diǎn)，可以認(rèn)為在短時(shí)間內(nèi)不存在，所以它是無(wú)限長(zhǎng)的。為了處理這個(gè)問(wèn)題(借鑒ode處理方法)，獨(dú)立變量變換，簡(jiǎn)化廣義方程，確定問(wèn)題的解，得到一般解，初始條件、78，2。解決定解問(wèn)題(一維齊次波動(dòng)方程的通解)(1)進(jìn)行獨(dú)立變量變換(行波變換)。目的：將廣義方程簡(jiǎn)化成易于積分的形式。假設(shè)、82，這時(shí)有83，為了簡(jiǎn)單對(duì)稱地書寫，即84、85、86、87、()，然后有88、89、90、(。95、3。分析解(1)解的適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性)(2)解的物理意義.96，97，它越大，波傳播得越快。，98、99，上述公式的第一項(xiàng)是：100，101，102、例1。解決初始值問(wèn)題(由初始位移引起的波動(dòng))，103，if，104，下圖3360，107，108，109，110，111，示例2。尋找弦振動(dòng)方程的初始值(由初