1、,總復(fù)習(xí),一、極限與連續(xù),1.求極限,無理函數(shù)的極限,有理化,例1 求極限,解,例2 求極限,解,兩個基本極限,變形:,變形:,類型:,例3 求極限,解,無窮小與等價無窮小,基本等價無窮小,當(dāng) 時,等價無窮小代換,若,則,例4 求極限,解,例5 求極限,解,例6 確定 使,解 由條件得:,從而極限為未定式. 所以,由條件得:,所以,即:,例7 已知當(dāng) 時,則 .,解 因,而,所以,2.連續(xù)函數(shù),定義 函數(shù) 在點 處連續(xù),等價條件,函數(shù) 在 處連續(xù),間斷點的分類.,設(shè) 為 的間斷點:,則 為可去間斷點;,則 為跳躍間斷點;,存在,第一類;,其余為第二類間斷點.,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,最大值和

2、最小值定理,有界性定理,零點定理,介值定理,例8 設(shè)函數(shù),問當(dāng) 為何值是, 在 處連續(xù), 當(dāng) 為何值時,是 的可去間斷點.,解,左極限:,右極限:,由條件:,若函數(shù)連續(xù), 即,即:,可去間斷點, 即,即:,例9 設(shè)函數(shù) 在 的某個鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階,解 由條件得:,得,導(dǎo)數(shù), 且,的一組 使得,證明有惟一,對上式由羅必達法則, 得,分別得到:,及,因三階行列式:,知方程的解是唯一的.,例10 設(shè),證明:,使得,證 令 分別為函數(shù)在 區(qū)間上的最小和最大值,即:,則有:,由介值定理知:,使得,從而有:,二、一元函數(shù)微分學(xué),1.導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義,導(dǎo)數(shù)定義,變形: 若,則:,幾何意義,函數(shù)在一點的

3、導(dǎo)數(shù)為對應(yīng)的曲線在該點,的切線的斜率.,切線方程:,法線方程:,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:,可導(dǎo)必連續(xù).,例11 已知,求:,解,例12 設(shè),求,解 由函數(shù)的表達式知: 函數(shù)在點 處連續(xù), 而在點,當(dāng) 時,處間斷. 求出函數(shù)在各段的導(dǎo)數(shù).,當(dāng) 時,當(dāng) 時,在點 處,所以,由此得:,例13 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義, 且滿足:,求,解 由條件得,又:,由夾逼定理得:,所以,2.導(dǎo)數(shù)計算,導(dǎo)數(shù)的基本公式;,求導(dǎo)法則:,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):,設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù), 則,反函數(shù)求導(dǎo):,設(shè) 是函數(shù) 的反函數(shù),則,隱函數(shù)求導(dǎo)及對數(shù)求導(dǎo)法:,由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,設(shè),則,高階導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的萊伯尼茨公式:,例14 設(shè)

4、求,解 兩邊取對數(shù), 得,求導(dǎo)得:,所以:,例15 求由參數(shù)方程,解 由求導(dǎo)公式得:,所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).,例16 求函數(shù),解 令,由對數(shù)求導(dǎo)法得:,所以,的微分.,3.中值定理,羅爾定理 設(shè)函數(shù),則存在 使得,拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù),且,么至少存在一點 使得,則,柯西定理 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 并且在開區(qū)間 內(nèi),那么至少存在一點 使得,例17 設(shè)函數(shù) 且,證明存在 使得:,證 由積分中值定理, 存在 有,令:,則,且,由羅爾定理, 知存在 使得,又,即有:,例18 設(shè) 且 若極限,存在, 證明,在 內(nèi),在 內(nèi)存在 使得,在 內(nèi)存在與相異的 使,證 由條件極限,存

5、在及函數(shù)的連續(xù)性, 得,又,得 是單調(diào)上升的. 從而,令,則函數(shù)滿足柯西定理,條件, 由定理得:,使得,即:,因,在區(qū)間 中使用拉格朗日中值定理, 存在,再由,使得,即:,3.羅必達法則,基本類型,變型,變型,法則:,例19 求極限,解,例20 求極限,解 作變換,則,例20 求極限,解 作變換,令,則,所以,即,例21 求極限,解 令,則,再令,則,所以,例22 設(shè) 連續(xù), 記,證明,為連續(xù)函數(shù).,證 當(dāng) 時,為連續(xù)函數(shù),當(dāng) 時,4.Taylor公式,定理 如果函數(shù) 在含 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有,直到 階導(dǎo)數(shù), 即,其中:,那么對于,有,這里, 是 與 之間的某個值.,當(dāng) 時, 上式為,例23

6、 將 展開成 的多項式.,解,代入公式得,例24 將,余項的Taylor公式.,解,所以,在點,處展開成帶有皮亞型,5.曲線形態(tài)討論,單調(diào)性研判及求單調(diào)區(qū)間;,極值及極值的求法:,極值存在的必要條件:,可導(dǎo)的極值點為駐點.,極值存在的第一充分條件:,導(dǎo)函數(shù)在該點兩側(cè)異號,則該點為函數(shù)的極值點.,極值存在的第二充分條件:,若函數(shù) 在點 處連續(xù),若函數(shù) 在點 處滿足:,則該點為函數(shù)的極值點.,凹凸性的判定及求凹凸區(qū)間:,若函數(shù) 滿足: 對區(qū)間上的所有點都有:,則稱函數(shù) 為區(qū)間 內(nèi)的凸函數(shù), 如果對任意的,及任意的 都有,則稱函數(shù)為區(qū)間上的凹函數(shù).,前者所對應(yīng)的曲線稱為是下凸的, 后者所對應(yīng)的曲線,

7、判定 若函數(shù) 滿足: 則函數(shù)為凸函數(shù), 對,應(yīng)的曲線為下凸的; 則函數(shù)為凹函數(shù), 對應(yīng)的,若曲線在曲線上某點的兩側(cè)有不同的凹凸向, 則該點,成為是上凸的.,曲線為上凸的.,稱為曲線的拐點.,漸進線,設(shè)曲線,若:,則曲線有水平漸進線,若:,則曲線有垂直漸進線,若:,則曲線有斜漸進線,例25 已知函數(shù) 求,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;,函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點;,漸進線.,解 函數(shù)的定義域為,列表:,在區(qū)間 內(nèi), 曲線為上凸的;,在區(qū)間 內(nèi), 曲線是下凸的.,曲線的拐點為,函數(shù)的極小值為,因,曲線有垂直漸進線:,因,曲線有斜漸進線:,例26 證明當(dāng),證 令,則,且,所以 是單調(diào)上升的. 從而有,時有:,故

8、是單調(diào)上升的.,由此得,即:,5.曲率與曲率半徑,設(shè)曲線 則在點 處的曲率為,參數(shù)方程情況下,曲率半徑為,三、一元函數(shù)積分學(xué),1.原函數(shù)與不定積分,若函數(shù) 滿足:,的原函數(shù).,則稱 為,函數(shù) 的原函數(shù)的全體稱為函數(shù)的,不定積分. 記為,例27 設(shè) 的原函數(shù)為 求,解 由上式得:,2.不定積分方法,第一類換元積分法,若,則,第二類換元積分法,分部積分法,其它積分方法,有理函數(shù)積分:,部分分式法.,三角函數(shù)積分:,萬能代換及特殊代換.,例28 求下列積分,解,解,解,解,設(shè),求,解 令,所以,解 令,則,所以,2.定積分,定積分的定義,積分上限函數(shù)及導(dǎo)數(shù),設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù), 記,則: 為可導(dǎo)函數(shù),

9、且,定積分積分方法,NL公式,若 為 的原函數(shù), 則,換元積分法,分部積分法,定積分中的幾個重要公式, 設(shè),則,設(shè),則:,設(shè) 是以 為周期的連續(xù)函數(shù), 則:,例29 設(shè),求,解,所以,例30 求極限,解 取,區(qū)間為,則,為函數(shù),在將區(qū)間等分后在小區(qū)間右端點的取值. 即,所以:,例31 設(shè),證明:,證 在區(qū)間,分別使用拉氏定理, 即有,記 又 所以:,因,兩式相加即有:,例32 設(shè),證 因極限,所以 與 是同階但不是等價無窮小.,當(dāng) 時, 與 是同階的但不是等價無窮小.,證:,例33 設(shè) 且單調(diào)增加, 證明,證,由積分第二中值定理,又:,兩式相加, 得,所以:,例34 求定積分,解 函數(shù) 的零點

10、為 所,以,例35 設(shè)連續(xù)函數(shù) 滿足:,及 求,解 令,則,當(dāng) 時, 有,變形后得:,求導(dǎo)后得:,即,因,作 上的積分, 有,例36 求積分,解,所以:,例37 設(shè) 且,求,解 因定積分是常數(shù), 故設(shè),所以:,又:,所以:,由此得:,例38 求正常數(shù),使得,解 因,所以,此時:,所以,例39 計算積分,解 因,故積分,為定積分. 又,而:,所以:,同理, 有,所以,解2,所以: 原積分為,例40 求積分,解,3.定積分的幾何應(yīng)用,面積計算,直角坐標(biāo)情形,設(shè)區(qū)域 由,確定, 則區(qū)域的面積為:,極坐標(biāo)情形,設(shè)平面區(qū)域 由曲線,確定,則區(qū)域的面積為:,體積計算,已知平行截面面積的體積計算,設(shè)有一物體

11、位于 之間, 任一個垂,直于 的平面與該物體相交的面積為 則該物體的,體積為:,旋轉(zhuǎn)體體積,設(shè)區(qū)域 由 圍成,而區(qū)域 繞 旋轉(zhuǎn)所得到的體積為:,區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體, 則體積為,弧長的計算,設(shè)曲線 方程為,則曲線的弧,長為:,參數(shù)方程情況:,設(shè)曲線為:,則:,極坐標(biāo)情形:,設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為:,則:,側(cè)面積公式,設(shè)曲線 方程為,旋轉(zhuǎn)一周所得到的側(cè)面積為:,則曲線繞 軸,極坐標(biāo)情況:,設(shè)光滑曲線:,則,曲線繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的側(cè)面積為:,例41 求星形線,圍成圖形的面,積, 全長, 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的體積及側(cè)面積.,解 面積,全長,旋轉(zhuǎn)體體積,側(cè)面積:,4.物理應(yīng)用,功,物體作直

12、線運動過程中受到變力 的作用, 則,變力所作的功為:,水壓力,引力,例42 某閘門的形狀與大小入圖所示, 其中直線 為對稱,為 閘門矩形部分的高,解 閘門矩形部分所受到的水壓,軸, 閘門的上部為矩形 下部為拋物線 與,線段 圍成, 當(dāng)水面與閘門的上端起平時, 欲使閘門矩,形部分所承受的水壓力與閘門下部所承受的水壓力之比,應(yīng)為多少米?,力為:,閘門下部所承受的水壓力為:,由題意:,即:,得,四、微分方程,1.一階微分方程,可分離變量的微分方程,一階線性微分方程,公式解:,齊次方程,解法:,令變換:,則有,代入到方程中去:,即,從而化為一個變量可分離的微分方程.,Bernoulli方程,解法:,做

13、代換 則 于是方程成為,此為一階線性微分方程. 求出通解后, 再代入,則得到原方程的通解.,例43 求解下列微分方程:,解 方程變形后為:,即:,所以:,此為一階線性微分方程, 由公式解得:,解 方程變形后為:,令,則,即:,代入 得原方程的解:,解 方程變形后為:,為Bernoulli方程.,令:,則有:,得:,即:,例45 設(shè)函數(shù),又曲線 與,解 當(dāng) 時, 方程為,且,圍成區(qū)域的面積為,求函數(shù) 并問 為何值時, 區(qū)域繞 軸旋轉(zhuǎn)一,周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小?,即:,所以:,再由函數(shù)的連續(xù)性知:,再由條件: 面積為 即,得:,所以:,此時相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體的體積為,求導(dǎo)并令其為零, 得,2.可降

14、階的微分方程,解法,作 次積分.,解法,令,則,新方程為,解法,新方程為:,令,則,3.二階常系數(shù)線性微分方程,齊次方程,特征方程為,由特征方程三種不同根的形式, 得齊次方程的通解依次,為:,非齊次方程,特解:,其中:,滿足:,特解:,例46 求解方程,解 齊次方程為:,特征方程為:,相應(yīng)的特征根為:,因而通解為:,非齊次方程:,特解為,代入關(guān)系式:,即有:,得:,非齊次方程,相應(yīng)的特解為:,即:,得:,即:,非齊次方程,相應(yīng)的特解為:,求導(dǎo)后代入方程:,即:,得:,即:,所以, 原方程的通解為,例47 求方程,滿足初始條件 且在 處連續(xù)的解.,解 由題設(shè)得齊次方程的通解為:,當(dāng) 時有, 方程

15、為,特解為,于是:,由初始條件得,即:,當(dāng) 時, 有,特解為,于是:,當(dāng) 時, 即有:,及,即:,得:,即:,所以, 方程之解為,五、模擬試題,一、填空題（每小題4分）,1.按極限定義, 是指: 對于任意給定的正數(shù) , 總存在一個正數(shù) , 使得當(dāng) , 時有 .,2.函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)是 在 可導(dǎo)的 條 件, 函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)是函數(shù) 在 內(nèi) 可微的 條件.,3.設(shè) 則 , .,4.函數(shù) 的單調(diào)減少區(qū)間是 , 單調(diào)增 加區(qū)間是 .,二、選擇題（每小題4分）,5.當(dāng) 時, 這4個無窮小: 從低階到高階排列出來為 .,A. B.,C. D.,6.設(shè) 則 的值 .,A.與 有關(guān),B.與 均無關(guān),C.與 有關(guān), 與 無關(guān). D.與 有關(guān)而與 無關(guān).,7. 則,A. B.C.D.,8.設(shè)曲線的方程,則曲線上的拐點是 .,A. B. C.D.,三、計算題（每題6分）,1.求極限,2.設(shè) 是由方程 所確定的隱函,數(shù), 且 求,3.求積分,4.求反常積分,四、（10分）設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 如果將極 坐標(biāo)