1、線性方程組的解,知識點回顧：克拉默法則,設,結論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有唯一的.,結論 1如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,設,用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：,(1) 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；,(2) 系數(shù)行列式不等于零.,線性方程組的解受哪些因素的影響？,結論 2 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.,結論 2如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,一、線性方程組的表達式,一般形式 向量方程的形式 方程組可簡化為 AX = b ,增廣矩陣的形式 向

2、量組線性組合的形式,二、線性方程組的解的判定,設有 n 個未知數(shù) m 個方程的線性方程組,問題1：方程組是否有解？ 問題2：若方程組有解，則解是否唯一？ 問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？,m、n 不一定相等！,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,例：求解非齊次線性方程組,解：,R(A) = R(A, b) = 3 4，故原線性方程組有無窮多解,解（續(xù)）： 即得與原方程組同解的方程組 令 x3 做

3、自由變量，則 方程組的通解可表示為 ,例：求解非齊次線性方程組,解：,R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原線性方程組無解,例：求解齊次線性方程組,提問：為什么只對系數(shù)矩陣 A 進行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰?矩陣？,答：因為齊次線性方程組 AX = 0 的常數(shù)項都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組 的解的情況,設有 n 個未知數(shù) m 個方程的非齊次線性方程組,問題1：方程組是否有非零解？ 問題2：若方程組有非零解，則如何掌握解的全體？,m、n 不一定相等！,定理：n 元齊次線性方程組 AX = 0 有唯一零解的充分必要條件是 R(

4、A) = n ； 有非零解的充分必要條件是 R(A) n ,例：設有線性方程組,問 l 取何值時，此方程組有(1) 唯一解；(2) 無解；(3) 有無 限多個解？并在有無限多解時求其通解,定理：n 元線性方程組 AX = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,解法1：對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,附注： 對含參數(shù)的矩陣作初等變換時，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜進行下列的變換： 如果作了這樣的變換，則需對 l +

5、1 = 0（或 l +3 = 0）的情況另作討論,分析： 討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù) l 取何值時，r2 、r3 是非零行 在 r2 、r3 中，有 5 處地方出現(xiàn)了l ，要使這 5 個元素等于零， l = 0，3，3，1 實際上沒有必要對這 4 個可能取值逐一進行討論，先從方程組有唯一解入手,于是 當 l 0 且 l 3 時，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解 當 l = 0 時，R(A) = 1， R(B) = 2 ，無解 當 l = 3 時，R(A) = R(B) = 2 ，有無限多解,解法2：因為系數(shù)矩陣 A 是方陣，所以方程組有唯一解的充 分必要條件是 |A| 0 ,于是當 l 0 且 l 3 時，方程組有唯一解,當 l = 0 時， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程組無解,當 l = 3 時， R(A) = R(B) = 2 ，方程組有無限多個解，其通解為,定理：n 元線性方程組 AX = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：因為對于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組的解的情況,