1、,一、溫故知新,(一) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義,平面內(nèi)，到定點F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點的軌跡,當(dāng)e1時，是雙曲線 .,當(dāng)0e1時，是橢圓；,(定點F不在定直線l上),當(dāng)e=1時，是拋物線 .,(二) 拋物線的標(biāo)準方程,(1)開口向右,y2 = 2px (p0),(2)開口向左,y2 = -2px (p0),(3)開口向上,x2 = 2py (p0),(4)開口向下,x2 = -2py (p0),在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.,點F叫拋物線的焦點, 直線l 叫拋物線的準線,|MF|=d,d 為 M 到 l 的距離,準線,焦點,d,拋

2、物線的定義：,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,標(biāo)準方程、焦點、準線：,1拋物線x24y上一點A的縱坐標(biāo)為4，則點A與拋物線焦點的距離為() A2 B3 C4 D5 解析：點A與拋物線焦點的距離就是點A與拋物線準線的距離，即4(1)5. 答案：D,答案：B,一、拋物線的幾何性質(zhì),拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。,1、范圍,由拋物線y2 =2px（p0）,所以拋物線的范圍為,2、對稱性,定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線 的頂點。,由y2 = 2px （p0）當(dāng)y=0時,x=0, 因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點（0，0

3、）。,注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。,、頂點,拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率。,由定義知， 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1.,5、開口方向,拋物線y2 =2px（p0）的開口方向向右。,+X，x軸正半軸，向右,-X，x軸負半軸，向左,+y，y軸正半軸，向上,-y，y軸負半軸，向下,特點：,1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;,2.拋物線只有一條對稱軸,沒有 對稱中心;,3.拋物線只有一個頂點、 一個焦點、一條準線;,4.拋物線的離心率是確定的,為1;,思考：拋物線標(biāo)準方程中的p對拋物線開口的影響

4、.,P越大開口越大,x軸,x軸,y軸,y軸,練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上）,開口向右,開口向左,開口向上,開口向下,（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì),y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x軸,y軸,1,F,A,B,y2=2px,2p,過焦點而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，,利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖.,|AB|=2p,2p越大，拋物線張口越大.,P越大,開口越開闊,1、已知拋物線的頂點在原點，對稱

5、 軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那 么拋物線通徑長是 . 2、一個正三角形的三個頂點，都在拋 物線 上，其中一個頂點為坐標(biāo) 原點，則這個三角形的面積為 。,課堂練習(xí)：,連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。,|PF|=x0+p/2,焦半徑公式：,F,x0,p/2,焦半徑及焦半徑公式,拋物線上一點到焦點的距離,P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上, P(x0，y0)在x2=2py上, P(x0，y0)在x2=-2py上,歸納: (1)、拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線； (2)、拋物線只有一條對稱軸,沒有對

6、稱中心; (3)、拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線； (4)、拋物線的離心率e是確定的為, 、拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.,因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M（，），,解:,所以設(shè)方程為：,因此所求拋物線標(biāo)準方程為：,例3：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M（，），求它的標(biāo)準方程.,三、典例精析,作圖：,(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）,(2)描點：,(3)連線：,課堂練習(xí)：,求適合下列條件的拋物線的方程：,（1）頂點在原點，焦點F為（0，5）; （2）頂點在原點，關(guān)于x軸對稱,并且 經(jīng)過點M(5,-4).,求滿足下列條件的

7、拋物線的方程,（1）頂點在原點，焦點是（0，4）,（2）頂點在原點，準線是x4,（3）焦點是F（0，5），準線是y5,（4）頂點在原點，焦點在x軸上， 過點A（2，4）,練習(xí),（三）、例題講解：,練習(xí)：頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，并且經(jīng)過點M（4,)的拋物線的標(biāo)準方程為,A,（三）、例題講解：,練習(xí)2：頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是X軸，點M（-5, )到焦點距離為6,則拋物線的標(biāo)準方程為,A,探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。,拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。,燈泡放在拋物線的焦點位置上，通過鏡面反射就變 成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電

8、筒的 設(shè)計原理。,平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都 經(jīng)過拋物線的焦點，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能 的理論依據(jù)。,例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源 位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深 40cm，求拋物線的標(biāo)準方程和焦點位置。,(40,30),解:,設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為:y2=2px,由條件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求拋物線的標(biāo)準方程為: y2= x,焦點為( ,0),只有一個公共點,有兩個公共點,沒有公共點,例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時，拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，

9、水面寬多少？,o,A,思考題,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距離為1.5米,不能安全通過,y=3代入得,例題3,（1）已知點A（-2，3）與拋物線 的焦點的距離是5，則P = 。,（2）拋物線 的弦AB垂直x軸，若|AB|= ， 則焦點到AB的距離為 。,4,2,（3）已知直線x-y=2與拋物線 交于A、B兩 點，那么線段AB的中點坐標(biāo)是 。,四、課堂練習(xí),34,B,有困難，找準線！,35,已知點P在拋物線y24x上，那么點P到點Q(2，1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為_,有困難，找準線！,有困難，找準線！,6、已知Q(4,

10、0)，P為拋物線 上任一點，則|PQ|的最小值為( ) A. B. C. D.,C,4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準方程： (1)焦點在直線x-2y-4=0上. (2)焦點在軸x上且截直線2x-y+1=0所得的弦長為,解析：y24x，2p4，p2. 由拋物線定義知：|AF|x11，|BF|x21， |AB|AF|BF|x1x22628.故選A. 答案：A,【變式訓(xùn)練】直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公 共點，則k的值為( ) （A）1 （B）1或3 （C）0 （D）1或0 【解析】選D.由 得ky28y160，若k0， 則y2，若k0，則0，即6464k0,解得k1，此 時直線ykx2

11、與拋物線y28x有且只有一個公共點，綜 上,k0或k1.,D,題后感悟求拋物線焦點弦長的一般方法 用直線方程和拋物線方程列方程組； 消元化為一元二次方程后，應(yīng)用韋達定理，求根與系數(shù)的關(guān)系式，而不要求出根； 若弦過焦點，則據(jù)定義轉(zhuǎn)化為x1x2|AB|p或y1y2|AB|p.結(jié)合中的結(jié)果可求解；,3.過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中點M到拋物線準線的距離,五、歸納總結(jié),拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；,拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;,拋物線的離心率是確定的，等于；,拋物線只有一個頂點，一個焦點

12、，一條準線；,拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.,1、范圍：,2、對稱性：,3、頂點：,4、離心率：,5、通徑：,6、光學(xué)性質(zhì)：,從焦點出發(fā)的光線，通過拋物線反射就變成了平行光束.,2.焦半徑與焦點弦 拋物線上一點與焦點F的連線的線段叫做焦半徑，過焦點的直線與拋物線相交所得弦叫做焦點弦，設(shè)拋物線上任意一點P(x0，y0)，焦點弦端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標(biāo)準形式下的焦點弦，焦半徑公式為,試試看!,x1x2p,px1x2,y1y2p,py1y2,判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序：,把直線方程代入拋物線方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直線與拋物線的

13、對稱軸平行,相交（一個交點）,計 算 判 別 式,當(dāng)k為何值時,直線y= kx+2與拋物線,(1)兩個交點(2)一個交點,(3)沒有交點,直線與拋物線的位置關(guān)系的判定,例4：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線 的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.求線段AB的長度.,已知直線與拋物線，求弦長,(解法二：利用拋物線定義可將|AB|的長度 轉(zhuǎn)化為A、B兩點到準線的距離和，然后用 韋達定理求解。),提示（解法一：聯(lián)立方程組求解A、B兩點坐標(biāo)， 利用兩點距離公式即可。）,A,B,例2 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線相交于A、B兩點,求線段AB的長.,法2 |AB|=x1+x2+P,法1

14、利用兩點間距離公式,法3,證明方法1：利用韋達定理,證明方法1：利用韋達定理,證明方法2：利用三角函數(shù),引伸： 過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切,O,F,B,A,C,D,E,H,分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷,x,y,證明：如圖,設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，,則AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHl，因而圓E和準線l相切,A1,拋物線的焦點弦：,通徑就是過焦點且垂直于x軸的線段長為2

15、p即為 的最小值,例5 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。,所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸。,例5.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證:直線DB平行于拋物線的對稱軸.,x,O,y,F,A,B,D,當(dāng)直線AB存在斜率時,設(shè)AB為,與y2=2px聯(lián)立,得,yAyB=-p2,當(dāng)直線AB不存在斜率時,結(jié)論顯然成立.,所以，直線DB平 行于拋物線的對稱軸。,中點弦問題,一、拋物線的幾何性質(zhì)：,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,

16、x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,關(guān)于x軸對稱,關(guān)于x軸對稱,關(guān)于y軸對稱,關(guān)于y軸對稱,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,73,例2、正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線 上，求這個三角形的邊長。,A,B,解：如圖，設(shè)正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),則 ，,又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22,即 ：x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,A,B,X10，X20，2p0, X1=x2.,由此可得|y1|=|y2|,，即線段AB關(guān)于x軸對稱。因為x軸垂直于AB，且 ， 所以,答案：C,3頂點在原點，焦點在x軸上且