1、第一章 預(yù)備知識(shí),1.1 概率空間,1.2 隨機(jī)變量及其分布,1.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1.4 特征函數(shù)、母函數(shù),1.5 收斂性與極限定理,1.1 概率空間,一、隨機(jī)事件的公理化定義,回顧初等概率論中引進(jìn)古典概率、幾何概率 等定義，有如下問題：,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)e的樣本空間,是否的每一個(gè) 子集(事件)都能確定概率?,定義(代數(shù))：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)e 的樣本空間為,f 是的子集組成的集族，滿足,(1) f ;,(2)若af,則 .（對(duì)逆運(yùn)算封閉）,(3) 若 則 （對(duì)可列并運(yùn)算封閉）,稱f為的一個(gè)-代數(shù)（事件體）, f 中的集 合稱為事件.,f的定義給出了事件間類似于代數(shù)學(xué)中的代 數(shù)結(jié)構(gòu).,ex1：在編

2、號(hào)為1,2，,n 的 n個(gè)元件中取一件， 1. 考慮元件的編號(hào)，則全體基本事件為,樣本空間為,構(gòu)造如下事件:,可驗(yàn)證集族,組成一個(gè)代數(shù).,2. 僅考慮元件是正品或次品，則基本事件為 a1=取到正品, a2=取到次品,則 為一個(gè)代數(shù).,ex.2 測(cè)量一個(gè)零件,考慮其測(cè)量結(jié)果與實(shí)際長(zhǎng) 度的誤差.,基本事件為x,樣本空間為,則r1的子集全體： ,單點(diǎn)集 x ，一切開的, 閉的，半開半閉區(qū)間等組成的集族f是一個(gè)代數(shù).,另外，令,則 為一個(gè)代數(shù).,注：對(duì)同一研究對(duì)象的同一試驗(yàn),試驗(yàn)?zāi)康牟煌? 其樣本空間和代數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)不同.,定義(可測(cè)空間)：樣本空間和代數(shù)的二元體 (,f) 稱為可測(cè)空間.,可測(cè)空間有如

3、下性質(zhì)：,1.,2.對(duì)可列交運(yùn)算封閉,若 則有,證,3. 對(duì)有限并,有限交封閉：若 則,4.對(duì)差運(yùn)算封閉,即若 則 .,二、概率的公理化定義,柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石.,定義(概率)：設(shè)(,f)是一可測(cè)空間，對(duì) 定義在f上的實(shí)值集函數(shù)p(a), 滿足,1) 非負(fù)性：對(duì),2) 規(guī)范性:p() = 1;,3) 完全可加性,對(duì),有,稱p是(,f)上的概率(測(cè)度),p(a)是事件a 的概率.,三元體(,f, p)稱為概率空間.,ex: 設(shè)某路口到達(dá)的車輛數(shù)為m,基本事件 為m,樣本空間 f是的一切子集 組成的集族，則f是一個(gè)代數(shù).,定義p()=0,并對(duì)af 令,證明 p為可測(cè)空間(,f)上的概率

4、.,證: 1),2) 因,3) 設(shè),有,三、概率性質(zhì),設(shè)(,f, p)是概率空間,則概率p 有如下性質(zhì):,1) p()=0;,2)有限可加性: 若,則,推論1:,推論2 (單調(diào)性):若 ，則,p(ab)=p(a)p(b) 且,3) 概率的單調(diào)性,證：,a1,an,an+1,其中b1,b2,互不相容，由完全可加性有,收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)極限為0,(as ),即,推論1：,推論2：,證：在推論1中,a,bn= an - a,4）多除少補(bǔ)原理,推論：概率具有次可加性,四、條件概率,定義：設(shè)(,f, p)是概率空間，a, bf， 且p(b)0,稱為已知事件b發(fā)生的條件下，事件a 發(fā)生的 條件概率.,定理：設(shè)(,f,p)是概率空間,bf,且p(b)0,則 對(duì) 有 對(duì)應(yīng), 集函數(shù) 滿足三條公理:,條件概率是概率.,定義:記pb= p(|b）,則pb 是可測(cè)空間(,f) 上的概率,稱(,f,pb)是條件概率空間.,定理：設(shè)a是概率空間(,f, p)上的正概率事件,bf, 且pa(b)0, 則對(duì)任意cf 有,證,ex. 10 張簽中有三張幸運(yùn)簽,3人依次各抽一 張簽,第一個(gè)人抽到幸運(yùn)簽,假若第二人也抽到, 問第三人抽到幸運(yùn)簽的概率.,解 設(shè) ai=第i 人抽到幸運(yùn)簽, i=1,2,3.,所求概率為,五、全概率公式與bayes公