1、.Southern Medical University,ARMA時間序列模型及其相關應用,段曉曼 吳艾茜 黃衍超 2017.12.07,.Southern Medical University,2,提綱,時間序列模型的概念 模型的識別 模型階數的確定 模型參數的估計 模型的檢驗 模型的應用,.Southern Medical University,3,一、時間序列模型的概念,.Southern Medical University,4,時間序列的概念,時間序列是指將同一統(tǒng)計指標的數值按其發(fā)生的時間先后順序排列而成的序列。 時間序列分析的主要目的是根據已有的歷史數據對未來進行預測。,2000-

2、2013年我國GDP增長圖,*公開數據整理,.Southern Medical University,5,ARMA模型的概念,ARMA 模型（自回歸滑動平均模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時間序列的重要方法。 1976年，英國統(tǒng)計學家G.E.P.Box和英國統(tǒng)計學家G.M.Jenkins聯(lián)合出版了時間序列分析預測和控制一書，在總結前人的研究的基礎上，系統(tǒng)地闡述了ARMA模型的識別、估計、檢驗及預測的原理和方法，成為時間序列分析的核心，故ARMA 模型也稱為Box-Jenkins模型。,.Southern Medical Univer

3、sity,6,ARMA模型的概念,ARMA 是一種單變量、同方差的線性模型，對于滿足有限參數線形模型的平穩(wěn)時間序列，主要有以下三種基本形式： 自回歸模型（ AR : Auto-regressive） 移動平均模型（ MA : Moving-Average） 混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）,平穩(wěn)時間序列：統(tǒng)計量的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間變化。,.Southern Medical University,7,設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，階數為p的自回歸模型定義為：,AR模型,模型簡記為 ，是時間序列 自身回歸的表達式，所以稱為自回歸模型。,其中，

4、是獨立同分布的隨機變量序列，且滿足 ， 也稱白噪聲序列。,為了方便表示，引進延遲算子的概念。令：,則自回歸模型可寫為：,其中：,.Southern Medical University,8,對于模型：,AR模型,若滿足條件： 的根全在單位圓外，即所有根的模都大于1，則稱此條件為AR(p)模型的平穩(wěn)性條件。,當模型滿足平穩(wěn)性條件時， 存在且一般是B的冪級數，于是模型又可寫為：,.Southern Medical University,9,設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，階數為q的滑動平均模型定義為：,模型簡記為 。同樣為了方便表示，引進延遲算子的概念。令：,則滑動平均模型可寫為：,其中：,MA模型

5、,若滿足條件： 的根全在單位圓外，則稱此條件為MA(q)模型的可逆性條件，此時 存在且一般是B的冪級數，于是模型又可寫為：,.Southern Medical University,10,AR與MA模型的比較,自回歸模型： 意義在于僅通過時間序列變量的自身歷史觀測值來反映有關因素對預測目標的影響和作用，不一定平穩(wěn)。 滑動平均模型： 意義在于用過去各個時期的隨機干擾（白噪聲）或預測誤差的線性組合來表達當前預測值，但具有不一定可逆性。,.Southern Medical University,11,ARMA模型,設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，p階自回歸q階滑動平均混合模型定義為：,=,模型簡記為A

6、RMA(p, q).,顯然，當q =0時，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型；,顯然，當p =0時，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；,ARMA(p, q)模型的平穩(wěn)性只依賴于AR 部分；,ARMA(p, q)模型的可逆性只依賴于MA 部分；,.Southern Medical University,12,二、模型的識別,.Southern Medical University,13,MA模型的自相關函數,階數為q的滑動平均模型定義為：,根據自相關函數的定義：,因為,所以自相關函數變?yōu)槿棧?.Southern Medical University,14,MA模型的自相關

7、函數,對于：,分以下幾種情況討論： 1）當 k =0 時，有,2）當 時，有,3）當 kq 時，有,從上述性質可以看出，MA(q)序列的自相關系數 在 kq 時全為0.這種性質稱為q步截尾性，表明序列只有q步相關性。,.Southern Medical University,15,AR模型的自相關函數,階數為q的自相關模型定義為：,根據自相關函數的定義：,令k=1,2, p,得自相關系數：,從上述性質可以看出，AR(q)序列的自相關系數 隨著k的增大始終不為0.這種性質稱為拖尾性，并且是呈負指數衰減。,.Southern Medical University,16,ARMA模型的自相關函數,A

8、RMA(p, q)模型的自相關系數，可以看做AR(p)模型的自相關函數和MA(q)模型的自相關系數的混合物。 當p=0時，它具有截尾性質； 當q=0時，它具有拖尾性質； 當p，q均不為0時，如果當p, q均大于或者等于2，其自相關函數的表現(xiàn)形式比較復雜，有可能呈現(xiàn)出指數衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質。,.Southern Medical University,17,偏相關函數,從上面的討論可知，對于自相關函數，只有MA(q)模型是截尾的，AR(p)和ARMA(p, q)模型是拖尾的。為了進一步區(qū)分AR(p)模型和ARMA(p, q)模型，我們引入了偏相關函數的概念。,對

9、于零均值的平穩(wěn)時間序列中，給定 ，則 之間的偏相關函數定義為：,注意：此時的期望指的是條件期望。,.Southern Medical University,18,AR模型偏相關函數,設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，設它滿足AR(p)模型：,用 乘上式兩邊，當給定 時，取條件期望得：,因為 k0 時， ，且有,故,顯然 即為AR(p)序列的偏相關函數，同時它又是AR(p)模型的最后一個回歸系數。當kp時，有 ，也即是截尾的。,.Southern Medical University,19,ARMA模型偏相關函數,ARMA模型的偏相關函數求解方法和上述略有不同，考慮用 對 做最小方差估計來求ARMA

10、(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例) 的偏相關函數 ，同時推出偏相關函數與自相關函數的關系。,當kp時，,即ARMA模型和MA模型都是拖尾的。,.Southern Medical University,20,平穩(wěn)時間序列的類型識別,.Southern Medical University,21,三、模型階數的確定,.Southern Medical University,22,討論： 如何用樣本自相關函數來推斷模型的階。,模型階數的確定,.Southern Medical University,23,樣本的自相關函數,樣本自相關函數定義為：,模型階數的確定,（式1）,由樣本值

11、求出樣本自相關函數,.Southern Medical University,24,由正態(tài)分布的性質知，,或,在實際應用中，因為q一般不是很大，而N很大，此時常取,或,.Southern Medical University,25,或,（3）ARMA(p, q)模型的階數p和q難于確定，一般采用由低階到高階逐個試探，如取(p, q)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，直到經驗證認為模型合適為止。,.Southern Medical University,26,四、模型參數的估計,.Southern Medical University,27,當選定模型及確定階數后，進一步地問題是要估計出模型

12、的未知參數。參數估計方法有矩法、最小二乘法、極大似然法等。,模型參數的估計,.Southern Medical University,28,模型參數的估計,寫成矩陣式為,（式2）,（式3）,推導見課本P135,AR(p)模型的參數估計,.Southern Medical University,29,利用(式2)，(式3) 將參數換成它們的估計，,模型參數的估計,AR(p)模型的參數估計,.Southern Medical University,30,模型參數的估計,將參數換成它們的估計，,可直接求解，也可迭代求解。,MA(q)模型的參數估計,MA(q)序列的協(xié)方差函數表達式,.Southern

13、 Medical University,31,模型參數的估計,首先，利用（式4），將參數換成它們的估計,（式4）,ARMA(p, q)模型的參數估計,.Southern Medical University,32,然后，令,模型參數的估計,ARMA(p, q)模型的參數估計,.Southern Medical University,33,五、模型的檢驗,.Southern Medical University,34,模型的檢驗,.Southern Medical University,35,模型的檢驗,M取N/10左右,.Southern Medical University,36,六、模型的

14、應用,.Southern Medical University,37,時間序列或動態(tài)數據是依時間順序先后排列的，各有其大小的一列數據。這種有序性和大小反映了數據內部的相互聯(lián)系和變化規(guī)律，蘊含著產生這列數據的現(xiàn)象、過程或系統(tǒng)的有關特性，有關的信息。,研究、分析與處理動態(tài)數據，正是為了揭示數據本身的結構與規(guī)律，了解系統(tǒng)的特性，明了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，推斷數據與系統(tǒng)的未來情況。,但是，通常人們獲得的實測數據總是有限而非無限的，所以時間序列分析就是在有限個樣本數據總量的情況下，建立相對準確的數學模型，從而獲得具有一定精度的統(tǒng)計特性，進而達到預判經濟形勢、規(guī)避風險等目的。,時間序列分析,.Southern

15、 Medical University,38,構建模型的數據（67個數據，5個測試數據）,構建時間序列模型,.Southern Medical University,39,使用SPSS畫出時間序列的序列圖,序列特點： 1.序列具有周期性，且周期為12個月。 2.序列具有上升趨勢。 3.序列不平穩(wěn)。,構建時間序列模型,.Southern Medical University,40,RA 、MA 、RAMA模型，只適用于平穩(wěn)時間序列，但是通過前面的分析，該時間序列的模型符合以下特征：,其中 是趨勢項， 是周期項， 則是平穩(wěn)序列。,只要能將平穩(wěn)序列 從原始具有趨勢的非平穩(wěn)序列 中提取出來，就可以對提

16、取出來的序列進行上述平穩(wěn)序列的分析。,而一個具有趨勢項的非平穩(wěn)序列，總是可以在經過若干次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。當然，具有周期性的序列也可以通過季節(jié)性的差分提取平穩(wěn)序列。,如果序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)；如果序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響；對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好的提取周期信息。,構建時間序列模型序列平穩(wěn)化,.Southern Medical University,41,構建時間序列模型序列平穩(wěn)化,進行季節(jié)性差分，周期為12,序列特點： 1.周期性基本去除； 2.序列仍然具有上升趨勢。,.

17、Southern Medical University,42,構建時間序列模型序列平穩(wěn)化,進行季節(jié)性差分以及一階差分,序列特點： 1.周期性基本去除； 2.序列圍繞著0波動，零均值。 3.經過差分處理后為平穩(wěn)的序列適用于ARMA模型時，稱這種模型為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q),.Southern Medical University,43,構建時間序列模型相關性分析,自相關函數,特性： 1.自相關函數在一階滯后的函數值基本都落入置信區(qū)間。 2.在12階滯后時自相關系數超出置信區(qū)間，周期性趨勢仍存在。 3.自相關函數拖尾，無截斷。,.Southern Medical Universit

18、y,44,特性： 1.偏相關函數在二階滯后的函數值基本都落入置信區(qū)間； 2.偏相關函數拖尾，無截斷,差分處理后的模型適用于ARMA模型，因此對原序列采用ARIMA模型分析。 3.根據偏相關函數：初步定階為：非周期性滯后偏相關階數p = 2，周期性滯后偏相關階數P=0； 4.根據相關函數，初步定階為：非周期性滯后相關階數q =1，周期性滯后相關階數Q=1；,構建時間序列模型相關性分析,偏相關函數,.Southern Medical University,45,構建時間序列模型確定模型,構建模型： 1.選擇銷售額作為因變量輸入。 2.在方法中選擇使用ARIMA模型，階數為(2,1,1)(0,1,1),前面的括號表示非周期性滯后階數變量，其中p=2，d=1，q=1，d表示的是差分的階數；后面的括號表示的是季節(jié)性滯后階數變量，其中D=1表示進行1次季節(jié)性差分。,.Southern Medical University,46,構建時間序列模型結果分析,當模型為RAIMA(2,1,1)(0,1,1)時,Ljung-Box檢驗的顯著性水平為0.264 0.05, 接受原假設：即真實值與預測值的殘差是白噪聲，說明模型可行。,預測結果與真實值