1、,一階線性微分方程,第四節(jié),一、一階線性微分方程,*二、伯努利方程,第七章,一、一階線性微分方程,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若 Q(x) 0,稱為非齊次方程 .,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程 ;,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,例1. 解方程,解: 先解,即,積分得,即,用常數(shù)變易法求特解.,則,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,令,在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0,例2. 有一電路如圖所示,電阻 R 和電,解: 列方程 .,已知經(jīng)過(guò)電阻 R 的

2、電壓降為R i,經(jīng)過(guò) L的電壓降為,因此有,即,初始條件:,由回路電壓定律:,其中電源,求電流,感 L 都是常量,解方程:,由初始條件:,得,利用一階線性方程解的公式可得,因此所求電流函數(shù)為,解的意義:,例3. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同號(hào),由一階線性方程通解公式 , 得,故方程可變形為,所求通解為,*二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法:,(線性方程),伯努利,例4. 求方程,的通解.,解: 令,則方程變形為,其通解為,將,代入, 得原方程通解:,內(nèi)容小結(jié),1.

3、一階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,化為線性方程求解.,2. 伯努利方程,3. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程,例如, 解方程,法1. 取 y 作自變量:,線性方程,法2. 作變換,則,代入原方程得,可分離變量方程,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量方程,齊次方程,線性方程,線性方程,伯努利方程,P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5),作業(yè),第五節(jié),習(xí)題課1,備用題,1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),使其滿足下列方程:,提示:,令,則有,線性方程,利用公式可求出,2. 設(shè)有微分方程,其中,試求此方程滿足初始條件,的連續(xù)解.,解: 1) 先解定解問(wèn)題,利用通解公式, 得,利用,得,故有,2) 再解定解問(wèn)題,此齊次線性方程的通解為,利用銜接條件得,因此有,3) 原問(wèn)題的解為,( 雅各布第一 伯努利 ),書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年,版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過(guò)十多,1694