1、1,應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析,第二章 多元正態(tài)分布及 參數(shù)的估計(jì),2,在多元統(tǒng)計(jì)分析中,多元正態(tài)分布占有相當(dāng)重要的地位.這是因?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題涉及到的隨機(jī)向量服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布;當(dāng)樣本量很大時(shí),許多統(tǒng)計(jì)量的極限分布往往和正態(tài)分布有關(guān);此外,對(duì)多元正態(tài)分布,理論與實(shí)踐都比較成熟,已有一整套行之有效的統(tǒng)計(jì)推斷方法.基于這些理由,我們?cè)诮榻B多元統(tǒng)計(jì)分析的種種具體方法之前，首先介紹多元正態(tài)分布的定義、性質(zhì)及多元正態(tài)分布中參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題.,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),3,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 目 錄,2.1 隨機(jī)向量 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性 2

2、.4 隨機(jī)陣的正態(tài)分布* 2.5 多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì),4,本課程所討論的是多變量總體.把p個(gè)隨機(jī)變量放在一起得 X=(X1,X2,Xp) 為一個(gè)p維隨機(jī)向量,如果同時(shí)對(duì)p維總體進(jìn)行一次觀測(cè),得一個(gè)樣品為 p 維數(shù)據(jù).常把n個(gè)樣品排成一個(gè)np矩陣,稱為樣本資料陣.,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨 機(jī) 向 量,5,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨 機(jī) 向 量 ,其中 X(i)( i=1,n)是來(lái)自p維總體的一個(gè)樣品.,=(X1,X2,Xp),def,6,表示對(duì)第 j 個(gè)變量的 n 次觀測(cè),在具體觀測(cè)之前,它是一個(gè) n 維隨機(jī)向量;而樣本數(shù)據(jù)陣 X 是一個(gè)隨機(jī)陣.,在多

3、元統(tǒng)計(jì)分析中涉及到的都是隨機(jī)向量,或是多個(gè)隨機(jī)向量放在一起組成的隨機(jī)陣.,X,7,在多元統(tǒng)計(jì)分析中涉及到的都是隨機(jī)向量, 或是多個(gè)隨機(jī)向量放在一起組成的隨機(jī)矩陣. 本節(jié)有關(guān)隨機(jī)向量的一些概念(聯(lián)合分布,邊緣分布,條件分布,獨(dú)立性;X的均值向量,X的協(xié)差陣和相關(guān)陣,X與Y的協(xié)差陣)要求大家自已詳細(xì)復(fù)習(xí).,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨 機(jī) 向 量 ,8,一、隨機(jī)向量的（聯(lián)合，邊緣，條件）分布,1、聯(lián)合分布 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)： 隨機(jī)向量 的分布函數(shù)：,9,多元概率密度函數(shù),一元的情形： 多元的情形： 多元密度f(wàn) (x1, ,xp)的性質(zhì)：,10,2、邊緣分布,設(shè)X是p維隨機(jī)向量，

4、由它的r(p) 個(gè)分量組成的向量X(1)的分布稱為X的關(guān)于X(1)的邊緣分布。 不妨設(shè) ，則對(duì)連續(xù)型的分布，有,11,例2.1.1 設(shè)二維隨機(jī)向量 的聯(lián)合密度函數(shù)為,試求 X1 和 X2 關(guān)于隨機(jī)向量 X 的邊緣密度.,解: 首先可驗(yàn)證 f(x1 , x2) 滿足聯(lián)合密度函數(shù)的兩條性質(zhì).在利用邊緣密度的計(jì)算公式,有,類似可得出,12,3、條件分布,設(shè) 是p維連續(xù)型的隨機(jī)向量，在給 定 的條件下， 的條件密度定義為 或表達(dá)為,13,均成立,則稱 相互獨(dú)立.在連續(xù)型隨機(jī)變量的情況下, 相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng) 的 聯(lián)合密度函數(shù) f (x1,x2,xp),滿足,在例2.1.1 中隨機(jī)向量 X 的兩個(gè)分量

5、X1, X2 互相不獨(dú)立.,4、獨(dú)立性,14,兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)向量的獨(dú)立 n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)向量的獨(dú)立 在實(shí)際應(yīng)用中，若隨機(jī)向量之間的取值互不影響，則認(rèn)為它們之間是相互獨(dú)立的。,15,二、隨機(jī)向量的數(shù)字特征,1、數(shù)學(xué)期望（均值） 2、協(xié)方差矩陣 3、相關(guān)矩陣,16,1、數(shù)學(xué)期望（均值）,隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望 記為=(1,2,p)。 隨機(jī)矩陣X=(xij)的數(shù)學(xué)期望,17,隨機(jī)矩陣X的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(1)設(shè)a為常數(shù)，則 E(aX)=aE(X) (2)設(shè)A,B,C為常數(shù)矩陣，則 E(AXB+C)=AE(X)B+C 特別地，對(duì)于隨機(jī)向量X，有 E(AX)=AE(X) (3)設(shè)X1,X2,Xn為n個(gè)同階的

6、隨機(jī)矩陣，則 E(X1+X2+ Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn),18,2、協(xié)方差矩陣,協(xié)方差定義為 若Cov(X,Y)=0，則稱X和Y不相關(guān)。 兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量必然不相關(guān)，但兩個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量未必獨(dú)立。 當(dāng)X=Y時(shí)，協(xié)方差即為方差，也就是 的協(xié)方差矩陣（簡(jiǎn)稱協(xié)差陣）定義為,19,20,X和Y的協(xié)方差矩陣與Y和X的協(xié)差陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系，即有 若COV(X,Y)=0，則稱X和Y不相關(guān)。 兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)向量必然不相關(guān)，但兩個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)向量未必獨(dú)立。 X=Y時(shí)的協(xié)差陣COV(X,X)稱為X的協(xié)差陣，記作D(X)，即 D(X)亦記作=(ij)，其中ij=Cov(Xi,Xj)。,21,協(xié)差

7、陣既包含了X各分量的方差，也包含了每?jī)蓚€(gè)分量之間的協(xié)方差。顯然，是一個(gè)對(duì)稱矩陣。 例 隨機(jī)向量一分為二后，其協(xié)差陣分為四塊： 其中，對(duì)角線塊為子向量的協(xié)差陣，非對(duì)角線塊為兩個(gè)子向量之間的協(xié)差陣。熟悉這四塊子矩陣的含義很有益處。,22,三 協(xié)方差陣的性質(zhì) (1) 設(shè)X,Y為隨機(jī)向量(矩陣） D(AX+b)=AD(X)A COV(AX,BY)=ACOV(X,Y)B,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨 機(jī) 向 量 ,23,(2) 若X,Y相互獨(dú)立,則COV(X,Y)=O;反之不成立. 若COV(X,Y)=O,我們稱X與Y不相關(guān).故有: 兩隨機(jī)向量若相互獨(dú)立,則必不相關(guān); 兩隨機(jī)向量若不相關(guān)

8、,則未必相互獨(dú)立. (3) 隨機(jī)向量X=(X1,X2,Xp)的協(xié)差陣D(X)=是對(duì)稱非負(fù)定陣.記為0. 即 = , 0 (為任給的p維常量).,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨 機(jī) 向 量 ,24,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨機(jī)向量協(xié)差陣的性質(zhì),(4) =L2 ,其中L為非負(fù)定陣. 由于0(非負(fù)定),利用線性代數(shù)中實(shí)對(duì)稱陣的對(duì)角化定理，存在正交陣,使,25,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.1 隨機(jī)向量協(xié)差陣的性質(zhì), 當(dāng)矩陣0(正定)時(shí)，矩陣L也稱為的平方根矩陣，記為1/2.,當(dāng)矩陣0(正定)時(shí),必有pp非退化矩陣A使得 =AA,26,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)

9、的估計(jì) 2.1 隨機(jī)向量協(xié)差陣的性質(zhì),若0(非負(fù)定),必有pq矩陣A1使得 =A1A1,這里記=(1 | 2) , 1為pq列正交陣(p q). 并設(shè)：,27,協(xié)差陣的性質(zhì),（1）協(xié)差陣是對(duì)稱非負(fù)定陣，記為0。 即 = , 0 (為任給的p維常量). 推論 若|0，則0。 （2）設(shè)A為常數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，則 當(dāng)p=1時(shí)，上述等式就是我們熟知的如下等式： 例 的分量之間存在線性關(guān)系（以概率1）。,28,3、相關(guān)矩陣,隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)定義為 的相關(guān)陣定義為,29,即 R=(rij)和 =(ij)之間有關(guān)系式：R=V1V1 其中V見(jiàn)下 ；R和的相應(yīng)元素之間的關(guān)系式為,30,標(biāo)準(zhǔn)差矩陣,3

10、1,前述關(guān)系式即為,32,33,34,習(xí)題二(P46-50): 1，2, 3, 6, 9, 11.,書(shū)面作業(yè)一：,35,在一元統(tǒng)計(jì)中，若UN(0,1),則U的任意線性變換X=U+N(,2)。利用這一性質(zhì)，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)定義一般正態(tài)分布： 若UN(0,1),則稱X =U+的分布為一般正態(tài)分布,記為X N(, 2 )。 此定義中，不必要求0,當(dāng)退化為0時(shí)仍有意義。把這種新的定義方式推廣到多元情況，可得出多元正態(tài)分布的第一種定義。,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義,36,定義2.2.1 設(shè)U=(U1,Uq)為隨機(jī)向量, U1,Uq相互獨(dú)立且同N(0，1)分布；設(shè)為p

11、維常數(shù)向量，A為pq常數(shù)矩陣，則稱X=AU + 的分布為p維正態(tài)分布，或稱X為p 維正態(tài)隨機(jī)向量,記為X Np(, AA)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，稱q個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的一些線性組合構(gòu)成的隨機(jī)向量的分布為多元正態(tài)分布。,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的第一種定義,37,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)1,在一元統(tǒng)計(jì)中,若XN(,2),則X的特征函數(shù)為 (t)=E(eitX)=expit-t 22 /2,38,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)1,39,性質(zhì)1 設(shè)U= (U1,Uq)為隨機(jī)向量, U1, ,Uq 相互獨(dú)立

12、且同 N(0,1)分布；令X=+AU,則X的特征函數(shù)為,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)1,這里t=(t1,tp), 故X(t)為p元函數(shù).,當(dāng) XN(0,1)時(shí),(t)=exp-t 2 /2.,40,性質(zhì)1的證明 ： 根據(jù)隨機(jī)向量特征函數(shù)的定義和性質(zhì)，經(jīng)計(jì)算即可得出X的特征函數(shù)為 X(t)= E(eitX)= E(eit (AU+) ),第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)1,令tA=s=(s1,sq),41,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)1,(因U1 , Uq相互獨(dú)立,乘積的期望等于期望的乘積),42,定義2

13、.2.2 若p維隨機(jī)向量X的特征函數(shù)為:,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的第二種定義,一元正態(tài): (p=1),則稱X服從 p 維正態(tài)分布,記為 X Np(,) .,記=AA，則有以下定義。,43,性質(zhì)2 設(shè)XNp(,), B為sp常數(shù)陣，d為s1常向量，令Z=BX+d,則 ZNs(B+d , BB ). 該性質(zhì)指出正態(tài)隨機(jī)向量的任意線性組合仍為正態(tài)分布.,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)2,44,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)2,證明 因 0, 可分解為=AA ,其中A為pq 矩陣.已知XNp(,),由定義2.2

14、.1可知 X = AU+ (d表示兩邊的隨機(jī)向量服從相同的分布.) 其中U=(U1,Uq),且U1,Uq 相互獨(dú)立同 N(0，1)分布。,d,45,Z=BX+d = B(AU+)+d,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)2,d,= (BA)U+(B+d) 由定義2.2.1可知 Z Ns(B+d, (BA)(BA)， 即 Z Ns(B+d, BB). (這里=AA). ,46,推論 設(shè)X= Np(,),將,剖分為,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論,則 X(1) Nr(1),11), X(2) Np-r(2),22).,X(1) r X(2

15、) p-r,47,證明：,由性質(zhì)2可得：,類似地,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論,48,此推論指出，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布。但反之，若隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)分布，也不一定能導(dǎo)出該隨機(jī)向量服從多元正態(tài)分布. 如例2.1.1,證明了X1,X2均為一元正態(tài)分布,但由(X1,X2) 聯(lián)合密度函數(shù)的形式易見(jiàn)它不是二元正態(tài).,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論,49,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論,例2.1.1 (X1,X2)的聯(lián)合密度函數(shù)為,我們從后面將給出的正態(tài)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度

16、函數(shù)的形式可知, (X1,X2)不是二元正態(tài)隨機(jī)向量.但通過(guò)計(jì)算邊緣分布可得出: X1N(0,1) , X2N(0,1) 這就說(shuō)明若隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)分布時(shí)，也不一定能導(dǎo)出該隨機(jī)向量服從多元正態(tài)分布.,50,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)簡(jiǎn)單例子,例如:設(shè)三維隨機(jī)向量X=(X1,X2,X3),且,則有(1) X1 N(2,1),51,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)簡(jiǎn)單例子,由性質(zhì)2知,Y為3維正態(tài)隨機(jī)向量,且,(2),52,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)簡(jiǎn)單例子,

17、53,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)簡(jiǎn)單例子,(3) 設(shè)Z=2 X1-X2+3X3,試求隨機(jī)變量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 故有:,所以 Z N(4,29).,54,性質(zhì)3 若XNp(,),E(X)=,D(X)=. 證明 因0,可分解為：=AA， 則由定義2.2.1可知 X = AU+ (A為pq實(shí)矩陣) 其中U=(U1,Uq),且U1,Uq相互獨(dú)立同N(0，1)分布,故有 E(U )=0, D(U )=Iq .,d,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)3,55,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的

18、估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)3,利用均值向量和協(xié)差陣的有關(guān)性質(zhì)可得：,此性質(zhì)給出多元正態(tài)分布中參數(shù)和的 明確統(tǒng)計(jì)意義.是隨機(jī)向量X的均值向量， 是隨機(jī)向量X的協(xié)差陣。,如簡(jiǎn)單例子中,由性質(zhì)2知Z服從正態(tài)分布,利用性質(zhì)3,56,性質(zhì)4 設(shè)X=(X1,Xp)為p維隨機(jī)向量，則X服從p維正態(tài)分布 對(duì)任一p維實(shí)向量a,=aX是一維正態(tài)隨機(jī)變量. 必要性的證明由性質(zhì)2即得（只須取B=a,d=0即可）. 充分性的證明： 首先說(shuō)明隨機(jī)向量X的均值和協(xié)方差陣存在: 因?qū)θ谓op維實(shí)向量 tR p, = tX一元正態(tài)分布，可知的各階矩存在，,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)4,57

19、,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)4,如取t = ei =(0,1,0), Xi = eiX,且 E(Xi) (i=1,2,p) 存在. E(Xi2) (i=1,2,p) 也存在. 再比如取 t =(0,1,0,1,.,0), = t X= Xi +Xj ,且 E( )=E(Xi +Xj ) (i,j=1,2,p) 存在. E( 2) =E(Xi +Xj )2= E(Xi2)+ 2E(XiXj )+ E(Xj2) 也存在, 即E(XiXj ) (i,j=1,2,p)存在. 故E(Xi),Cov(Xi,Xj)=E(XiXj )-E(Xj) E(Xi) (i,j=1,p

20、)存在.,58,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)4,記 E(X)=,D(X)=., 計(jì)算的特征函數(shù): 對(duì)任意給定的tRp,因隨機(jī)變量=t X服從 N(t,t t).，故知的特征函數(shù)為 ()=E(ei) =expi(t) -2(t t)/2, 計(jì)算隨機(jī)向量X的特征函數(shù): 在的特征函數(shù)中，取=1，即得,59,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的第三種定義,(1)=E(ei)=E(e it X)=X(t) = expit - t t / 2 由定義2.2.2可知，XNp(,).,定義2.2.3 若p維隨機(jī)向量X的任意線性組合均服從一元正態(tài)分布，則稱X為

21、p維正態(tài)隨機(jī)向量.,60,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 一元正態(tài)分布的密度函數(shù),在概率論中大家都知道一元正態(tài)隨機(jī)變量的密度函數(shù)是,這個(gè)式子可改寫(xiě)為:,61,作為一元正態(tài)隨機(jī)變量的推廣，以下性質(zhì)來(lái)導(dǎo)出多元正態(tài)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù).,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5,性質(zhì)5 設(shè)XNp(,),且0 (正定),則X的聯(lián)合密度函數(shù)為,62,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5,證明 因0,rk()=p,由線性代數(shù)的知識(shí)知存在非奇異方陣A,使得 =AA，且 X = AU+ 其中U=(U1,Up),且U1,Up相互獨(dú)立同N(0，1)分布。

22、,d, U的聯(lián)合密度函數(shù)(p元函數(shù)）為,63,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5, 利用U的聯(lián)合密度函數(shù)及隨機(jī)向量的變換求X=AU+的密度函數(shù)。 對(duì)任給Borel可測(cè)集B，求p元函數(shù)fX(x)使得,其中 D=u | u=A-1(x-), xB,64,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5,根據(jù)附錄8 (P397)公式(8.4),即有,以下來(lái)求Jacobi行列式J(ux).,65,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5, 積分變換的Jacobi行列式J(ux)可利用線性變換x=Au+及J(xu)來(lái)計(jì)算： ,因,向量微商的

23、公式見(jiàn)附錄8 (8.1),66,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5,關(guān)于積分變換的Jacobi行列式J(ux)的有關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參閱附錄部分。,故,67,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì)5, 寫(xiě)出X=AU+的密度函數(shù)：,( 這里=AA, ),68,其中是p維實(shí)向量,是p階正定陣,則稱X=(X1,X2Xp )服從(非退化的)p元正態(tài)分布.也稱X為p維正態(tài)隨機(jī)向量,簡(jiǎn)記為 XNp(,).,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的第四種定義,定義2.2.4 p 維隨機(jī)向量X=(X1,X2Xp) 的聯(lián)合密度函數(shù)為,69,第二章 多元正態(tài)

24、分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的多種定義及關(guān)系,以上給出了多元正態(tài)分布的4種定義。定義2.2.4用密度函數(shù)給出定義，它可看成一元正態(tài)密度的直接推廣；但在這個(gè)定義里要求是正定陣,它給出的是非退化的正態(tài)分布的定義。 另三種定義中把陣推廣到非負(fù)定的情形,這三種定義是等價(jià)的。,70,例2.2.1(二元正態(tài)分布),第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.1,(即10,20,|1) (1)試寫(xiě)出X的聯(lián)合密度函數(shù)和邊密度 函數(shù)； (2)試說(shuō)明的統(tǒng)計(jì)意義.,71,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.1,解:（1）因

25、,注意改p26,72,二元正態(tài)隨機(jī)向量X的聯(lián)合密度函數(shù)為,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.1,73,另由性質(zhì)2的推論，即得,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.1,(2)因Cov(X1 ,X2)=12 =12 ,而X1與X2的相關(guān)系數(shù)為,故二元正態(tài)分布的參數(shù)就是兩個(gè)分量的相關(guān)系數(shù).,74,顯然 當(dāng)=0時(shí)，f(x1, x2)=f1(x1)f2(x2)，即X1與X2相互獨(dú)立. 當(dāng)|=1時(shí)，|=0 (退化,即的列向量或行向量線性相關(guān))，則存在非零向量t =(t1, t2) ,使得t =0, 從而t t =

26、0，故而隨機(jī)變量 =t (X-)的方差為 Vart (X-)= t t =0, 這表示 Pt (X-)=0=1.,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.1,75,即 t1(X1-1)+t2(X2-2)=0 以概率1成立； 反之，若X1與X2以概率1存在線性相關(guān)關(guān)系，則|=1. 當(dāng)0時(shí),我們稱X1與X2存在正相關(guān); 當(dāng)0時(shí),我們稱X1與X2存在負(fù)相關(guān).,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.1,76,例2.2.2 二元正態(tài)密度函數(shù)的圖形及等高線的圖形,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定

27、義與基本性質(zhì)-例2.2.2,為了對(duì)多維正態(tài)密度函數(shù)有更直觀地了解，下面的例子給出幾組參數(shù)下二維正態(tài)密度函數(shù)的幾何圖形. 我們把具有等密度的點(diǎn)的軌跡稱為等高線(面). 顯然當(dāng) p=2 時(shí),它是一族中心在(1,2 )的橢園.,77,一般的p維正態(tài)密度等高面為,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.2,取1 =0,2 =0,以下繪制三組參數(shù)下二元正態(tài)密度函數(shù)及密度等高線圖形：,（1）當(dāng) 時(shí),（2）當(dāng) 時(shí),（3）當(dāng) 時(shí),78,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.2,79,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2

28、多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.2,80,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.2 多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì)-例2.2.2,81,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性,以下是關(guān)于獨(dú)立性的一條重要結(jié)論：,設(shè)XNp(,) (p2),將X,剖分為,82,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性,定理2.3.1 設(shè)p維隨機(jī)向量XNp(,)，,則 X(1)與X(2)相互獨(dú)立 12Or(p-r) (即X(1)與X(2)不相關(guān)) ,證明:必要性顯然成立.,83,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性,(充分性)：

29、設(shè)120 ，則X的聯(lián)合密度函數(shù)為,所以X(1)與X(2)相互獨(dú)立.,84,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性,推論1 設(shè)ri1(i=1,k),且r1 + r2 + rk=p，,則X(1),X(k)相互獨(dú)立ij0(一切ij),推論2 設(shè)XNp(，)，若為對(duì)角形矩陣，則X1,Xp 相互獨(dú)立.,85,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性例子,例如:設(shè)三維隨機(jī)向量X=(X1,X2,X3),且,則有(1),(2),86,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性的例子,(3) X1與X3 , X2與X3 ,也相互獨(dú)立;

30、,(4),(5) 令,87,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.3 條件分布和獨(dú)立性-獨(dú)立性例子,(6) Y的密度函數(shù)為,X3的密度函數(shù)為,故二維隨機(jī)向量Z的聯(lián)合密度函數(shù)為,88,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì),考慮p維正態(tài)總體XNp(,), 設(shè)X(i)=(Xi1, Xip )(i1,n)為p維總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，資料陣,是一個(gè)隨機(jī)矩陣.,89,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征,(1) 樣本均值向量X,90,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征,中心化數(shù)據(jù)陣:,91,第二章 多元正態(tài)分布及

31、參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征,(2) 樣本離差陣A (交叉乘積陣),其中,92,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征,或者把A表為:,93,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征,或者把A表為:,94,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征,(3) 樣本協(xié)方差S:,(4) 樣本相關(guān)陣R:,95,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子,例:設(shè)從某書(shū)店隨機(jī)抽取4張收據(jù)了解圖書(shū)的銷售情況.每張收據(jù)記錄售書(shū)數(shù)量X2及總金額X1,具體數(shù)值如下:,試計(jì)算樣本均值,

32、樣本離差陣,樣本協(xié)差陣和相關(guān)陣. 解:,96,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子,樣本離差陣A的計(jì)算公式為:,中心化數(shù)據(jù)陣,97,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子,98,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子,99,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - ，的最大似然估計(jì),設(shè)X(i)(i1,n) 為p維正態(tài)總體N(,) 的隨機(jī)樣本， 以下用最大似然法來(lái)求參數(shù),的最大似然估計(jì).,100,定理2.5.1 設(shè)X(i)(i1,n) 是多元正態(tài)總體Np(,)的隨機(jī)樣本， np，則,的最大

33、似然估計(jì)為,第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2.5 - ，的最大似然估計(jì),101,例 對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測(cè)量，得樣本數(shù)據(jù)如表所示。現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下估計(jì)參數(shù), 。,表 某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù),102,103,104,105,106,107,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 一般結(jié)論最大似然估計(jì)量單個(gè)總體,單個(gè)p維正態(tài)總體Np(,)，設(shè)X(i)(i=1,n)為來(lái)自p維總體的隨機(jī)樣本.樣本的似然函數(shù)為,108,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 最大似然估計(jì)量單個(gè)總體,109,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 最大似然估計(jì)量單個(gè)總體,110,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 所涉及的最大似然估計(jì)量單個(gè)總體,111,第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 一般結(jié)論最大似然估計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體,兩個(gè)p維正態(tài)總體Np(1),)和Np(2),)，設(shè)X(t)