1、魯棒控制理論,第一篇 控制理論,第一章 概述,1.2 魯棒性的基本概念 魯棒概念:假定對(duì)象的數(shù)學(xué)模型屬于一集合P，考察反饋系統(tǒng)的某些特性，如內(nèi)部穩(wěn)定性，給定一控制器K，如果集合P中的每一個(gè)對(duì)象都能保持這種特性成立，則稱(chēng)該控制器對(duì)此特性是魯棒的。 （因此談及魯棒性必有一個(gè)控制器，一個(gè)對(duì)象集合和某些系統(tǒng)特性。）,1.2.1 不確定性與魯棒性,對(duì)象的不確定性 本書(shū)中對(duì)象模型的基本形式:,用集合P代表對(duì)象模型，可分為結(jié)構(gòu)化和非結(jié)構(gòu)化兩種形式。 結(jié)構(gòu)化集合是由于不定參數(shù)的變化引起的，如 非結(jié)構(gòu)化不確定性是由未建模動(dòng)態(tài)引起。 這種由于建模中簡(jiǎn)化的誤差和被控對(duì)象本身的不確定性造成的實(shí)際被控對(duì)象與所建模型之間

2、的差異稱(chēng)為系統(tǒng)的攝動(dòng)量,1.2.2 魯棒穩(wěn)定性(RS),定義:設(shè)對(duì)象的傳遞函數(shù)屬于一集合P,如果一個(gè)控制器K對(duì)集合P中的每個(gè)對(duì)象都能保證內(nèi)部穩(wěn)定,則稱(chēng)它為RS的. 假定控制器使得標(biāo)稱(chēng)反饋系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定,引進(jìn)靈敏度函數(shù)S和補(bǔ)靈敏度函數(shù)T:,反饋系統(tǒng)框圖,K,P,e,r,定理 ：（乘積不確定模型）控制器K能保證魯棒穩(wěn)定性的充要條件是： 轉(zhuǎn)化一下得：,上式表明在每一頻率下，臨界點(diǎn)1都位于 以 為圓心，以 為半徑的圓外。,攝動(dòng)系統(tǒng)框圖，設(shè),1.2.3 魯棒性能(RP),定義:假定對(duì)象的傳遞函數(shù)屬于集合P,魯棒性能是指集合中的所有對(duì)象都滿(mǎn)足內(nèi)部穩(wěn)定性和一種特定的性能。,例如跟蹤控制中,若希望跟蹤誤差e的幅

3、值小于給定的 ,則性能指標(biāo)為: 若P取攝動(dòng)為 ,那么S的攝動(dòng)為:,顯然RP的條件為: 且,1.3.2 控制系統(tǒng)的攝動(dòng)形式,當(dāng)前研究得最普遍的是兩種非結(jié)構(gòu)模型攝動(dòng)附加攝動(dòng)與相乘攝動(dòng)。,1. 附加攝動(dòng),附加攝動(dòng)的結(jié)構(gòu)如圖所示,攝動(dòng)后的傳遞函數(shù)矩陣為：,r,-,+,u,e,z,被控對(duì)象,2. 相乘攝動(dòng),相乘攝動(dòng)的結(jié)構(gòu)如圖所示,攝動(dòng)后的傳遞函數(shù)矩陣為：,r,-,r,e,u,z,第2章 優(yōu)化問(wèn)題理論,2.1 優(yōu)化問(wèn)題的描述,控制系統(tǒng)的 優(yōu)化實(shí)質(zhì)上是極小化某些 閉環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)的峰值?？紤]下圖所示 反饋系統(tǒng):,2.1.1 優(yōu)化問(wèn)題的頻率域描述,-,v(干擾),z,由v到z的閉環(huán)傳遞函數(shù),即反饋系統(tǒng)的靈敏度

4、函數(shù)為: 靈敏度函數(shù)表征了控制系統(tǒng)輸出對(duì)干擾的靈敏度,理想情況下為0。,考慮的問(wèn)題是尋找一補(bǔ)償器C,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且極小化靈敏度函數(shù)的峰值,這個(gè)峰值定義為 由于在無(wú)限頻率范圍內(nèi),某些函數(shù)的峰值可能不存在,所以用上確界或最小上界來(lái)取代最大值,則,這一問(wèn)題的合理性在于:極小化S的峰值相當(dāng)于極小化最壞干擾對(duì)輸出的影響。 假設(shè)干擾v具有未知頻率成分,但是有有限能量 , 我們定義干擾的2范數(shù) v的能量是它2范數(shù)的平方。則下圖的系統(tǒng)范數(shù) 定義為,v,z,上式是2范數(shù)的誘導(dǎo)范數(shù),根據(jù)Parseval定理,不難得到 即峰值 正是系統(tǒng)范數(shù) ,因此 優(yōu) 化就是系統(tǒng)范數(shù)的極小化問(wèn)題。 考慮到實(shí)際對(duì)象和補(bǔ)償器的頻率

5、響應(yīng)函數(shù)在高 頻處都要衰減,所以靈敏度函數(shù)S在低頻處可能很小, 在高頻處趨于1,它在低頻處的情況就可能不會(huì)反映 在峰值中,然而低頻處往往對(duì)系統(tǒng)性能來(lái)說(shuō)是最重要 的。所以引入頻率加權(quán)函數(shù)W,并考慮如下極小化問(wèn) 題 ,其中W在低頻處很 大,在高頻衰減下來(lái)。,考慮SISO反饋系統(tǒng)的回路增益L=PC的Nyquist圖,L是標(biāo)稱(chēng)值,L是實(shí)際值,-1,0,L,L,實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是L的Nyquist圖不包圍-1點(diǎn)。由圖可以看出,也就是對(duì)于所有頻率有: 上式等價(jià)于 又標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)補(bǔ)靈敏度函數(shù)定義為,所以上面的穩(wěn)定條件等價(jià)于 假設(shè)相對(duì)攝動(dòng)滿(mǎn)足下面不等式 則穩(wěn)定條件變?yōu)?可以證明上式是滿(mǎn)足相對(duì)攝動(dòng)條件下閉

6、環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。雖然它是在假設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下獲得,但是可以證明,當(dāng)標(biāo)稱(chēng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)與受攝動(dòng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有相同數(shù)目的右半平面極點(diǎn)時(shí),魯棒穩(wěn)定條件對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)仍然成立。 采用范數(shù)概念,上面的魯棒穩(wěn)定條件可以寫(xiě)為,考慮一般的攝動(dòng)模型LL,相對(duì)攝動(dòng)滿(mǎn)足 攝動(dòng)模型可以等價(jià)地寫(xiě)為,這種形式的攝動(dòng)可用下圖表示,v,p,z,q,H,-,上圖可以簡(jiǎn)化為,p,q,根據(jù)小增益定理,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是 實(shí)際上上式是一個(gè)充要條件,穩(wěn)定條件 不僅適用于SISO系統(tǒng),也適用于MIMO系統(tǒng)?，F(xiàn)在討論MIMO系統(tǒng)如何定義無(wú)窮范數(shù)的問(wèn)題?？紤]如下圖所示穩(wěn)定的MIMO系統(tǒng) 系統(tǒng)范數(shù)是下列范數(shù)的誘導(dǎo)范數(shù),u,y,根據(jù)

7、Parseval定理,這些信號(hào)范數(shù)誘導(dǎo)出來(lái)的系統(tǒng)范數(shù)為 其中對(duì)于常熟復(fù)矩陣A, 表示譜范數(shù):,下面研究一種特殊的攝動(dòng)形式分子-分母攝動(dòng),它依賴(lài)于對(duì)象傳遞函數(shù)P的分式表示 ,若P為有理的,則N和D分別 為分子,分母多項(xiàng)式。分子-分母攝動(dòng)模型將攝動(dòng)表示為,-,加入補(bǔ)償器后的閉環(huán)系統(tǒng)可以表示成:,-,H,其中 由圖可得傳遞函數(shù)H為,12矩陣 和21矩陣 的奇異值均為: 所以攝動(dòng)和系統(tǒng)的無(wú)窮范數(shù)的平方分別為:,當(dāng)攝動(dòng)滿(mǎn)足如下條件: 閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件是靈敏度函數(shù) 和輸入靈敏度函數(shù) 滿(mǎn)足不等式:,可見(jiàn) 為別為對(duì)象P的分母和分子的相對(duì)攝動(dòng)大小的度量。則上面的魯棒穩(wěn)定準(zhǔn)則表明在分母相對(duì)攝動(dòng)較大的頻段

8、,標(biāo)稱(chēng)靈敏度函數(shù) 應(yīng)該比較小,而在分子相對(duì)攝動(dòng)較大的頻段,標(biāo)稱(chēng)補(bǔ)靈敏度函數(shù) 應(yīng)該較小。,上面的分析意味著低頻攝動(dòng)最好作為分母攝動(dòng)來(lái)處理。低頻攝動(dòng)通常是由參數(shù)不確定性引起,常稱(chēng)之為結(jié)構(gòu)不確定性。 另一方面高頻攝動(dòng)最好作為分子攝動(dòng)來(lái)處理。高頻攝動(dòng)常由寄生效應(yīng)和未建模動(dòng)態(tài)所引起,常稱(chēng)之為非結(jié)構(gòu)不確定性。 上面討論的這種形式的魯棒性設(shè)計(jì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是混合靈敏度問(wèn)題的一種形式?；旌响`敏度問(wèn)題是頻率響應(yīng)成形的有效方法。通過(guò)適當(dāng)選擇函數(shù) ,可以使靈敏度函數(shù)在低頻段小,而輸入靈敏度函數(shù)在高頻段小。選擇這些函數(shù)要兼顧魯棒性和性能的要求。,2.1.2 優(yōu)化問(wèn)題的狀態(tài)空間描述,幾個(gè)概念: (1)稱(chēng) 為系統(tǒng)(A,B,C

9、,D)的不變零點(diǎn),當(dāng) 時(shí)矩陣 降秩。 (2)對(duì)有理矩陣G,rankR(s)G表示G的秩。 (3) 為定義在虛軸上的矩陣函數(shù)的線(xiàn)性空間。 為定義在開(kāi)右半復(fù)平面內(nèi)解析且有界的矩陣函數(shù)構(gòu)成的線(xiàn)性空間。顯然有 。,一個(gè)有理的傳遞函數(shù)矩陣屬于 當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)傳遞函數(shù)矩陣是穩(wěn)定的并且為真,當(dāng) ,我們定義 表示最大奇異值。即無(wú)窮范數(shù)是幅頻特性的峰值。 設(shè)有一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng),找一個(gè)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器: 通過(guò)反饋 使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且 范數(shù)嚴(yán)格小于某一預(yù)先給定值 。 首先做兩個(gè)假設(shè): (1)兩個(gè)直饋矩陣應(yīng)該分別為1-1映射和上映射; (2)兩個(gè)給定子系統(tǒng)在虛軸上沒(méi)有不變零點(diǎn)。,在上面假設(shè)條件下,滿(mǎn)足條件的控制器存在的充要條

10、件:兩個(gè)給定的Riccati方程應(yīng)該有半正定的穩(wěn)定解,并且這兩個(gè)解的乘積的譜半徑小于 。 假設(shè)1:系統(tǒng) 滿(mǎn)足下面條件: (1)(A,E,C1,D1)在虛軸上沒(méi)有不變零點(diǎn); (2)(A,B,C2,D2)在虛軸上沒(méi)有不變零點(diǎn)。 對(duì)于任意 ,考慮如下矩陣:,對(duì)于任意 ,考慮如下矩陣: 我們定義兩個(gè)矩陣束:,其中 是與系統(tǒng) 相關(guān)的能控性矩陣束; 是與系統(tǒng) 相關(guān)的能觀性矩陣束。 再定義兩個(gè)傳遞矩陣: 令 表示譜半徑。,定理:考慮系統(tǒng) ,設(shè)系統(tǒng)(A,B,C2,D2)與(A,E,C1,D1)在虛軸上沒(méi)有不變零點(diǎn),則下面的敘述使等價(jià)的: (1)對(duì)于系統(tǒng) ,存在一個(gè)時(shí)不變有限維動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器 使得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣

11、GF 為內(nèi)部穩(wěn)定并且 范數(shù)小于1,即 。 (2)存在半正定矩陣P,Q使得 并同時(shí)使得以下秩條件成立:,這里應(yīng)說(shuō)明: (a)對(duì)于P的約束是與狀態(tài)反饋的 控制問(wèn)題相關(guān)的。對(duì)于Q的約束是與對(duì)P的約束伴隨的。Q的存在性與我們能否在觀測(cè)y的基礎(chǔ)上對(duì)狀態(tài)x進(jìn)行良好的估計(jì)有關(guān)。而檢驗(yàn)我們能否同時(shí)估計(jì)和控制并達(dá)到預(yù)期效果則由耦合條件 決定。,(b)我們總是可能找到與原系統(tǒng)同階的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器?？梢钥闯龃嬖谝粋€(gè)適當(dāng)?shù)目刂破?其階數(shù)為 。補(bǔ)償器的動(dòng)態(tài)部分實(shí)際是狀態(tài)觀測(cè)器。因此如果可以直接獲得k個(gè)無(wú)噪聲的狀態(tài),則可得到補(bǔ)償器的階數(shù)為nk。雖然實(shí)際測(cè)量總有噪聲,但是如果噪聲相對(duì)狀態(tài)很小,則可以忽略噪聲而獲得低階補(bǔ)償器。 (c)當(dāng)D1為單映射,D2為滿(mǎn)映射的情況稱(chēng)為正則 控制