1、第20課 函數(shù)建模問題(一)函數(shù)、導數(shù)、不等式最新考綱內(nèi)容要求ABC函數(shù)模型及其應用基本不等式在實際問題中的應用導數(shù)在實際問題中的應用1常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：yaxnb(a0)2解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語

2、言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題以上過程用框圖表示如下：1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利()(2)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時間內(nèi)變化量較大的實際問題()(3)形如“yx”型的函數(shù)最值均可以用基本不等式解決()(4)在用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時，若定義域中的極值點只有一個，則該點也是最值點()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改

3、編)在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數(shù)據(jù)現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是_(填序號)x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61y2x；ylog2x；y(x21)；y2.61cos x.由表格知當x3時，y1.59，而中y238，不合要求，中ylog23(1,2)，中y(321)4，不合要求，中y2.61cos 30，不合要求3已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)間的函數(shù)關系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為_萬件9因為yx281，所以當x9時

4、，y0.所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增所以x9是函數(shù)的極大值點又因為函數(shù)在(0，)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x9處取得最大值4某公司一年需購買某種貨物200噸，平均分成若干次進行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是_20設每次購買該種貨物x噸，則需要購買次，則一年的總運費為2，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為x240，當且僅當x，即x20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應購買該種貨物20噸5

5、(教材改編)用長為90 cm，寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折90角，再焊接而成，則該容器的高為_ cm時，容器的容積最大10設容器的高為x cm，即小正方形的邊長為x cm，該容器的容積為V，則V(902x)(482x)x4(x369x21 080x)，0x12，V12(x246x360)12(x10)(x36)，當0x0；當10x12時，V0，所以V在(0,10上是增函數(shù)，在10,12)上是減函數(shù)，故當x10時，V最大應用二次函數(shù)模型解決實際問題某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖；B產(chǎn)品

6、的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖.(注：利潤和投資單位：萬元)圖201(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？解(1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以總利潤y8.25萬元設B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元則y(18x)2，0x18.令t，t0,3，則y(t28t18)(

7、t4)2.所以當t4時，ymax8.5，此時x16,18x2.所以當A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，約為8.5萬元規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關注點：(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實際問題易錯警示：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍變式訓練1甲廠以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時可獲得的利潤是100元(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求此

8、最大利潤. 【導學號：】解(1)證明：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時間是小時，所獲得的利潤為100.所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a元(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時間是小時，獲得的利潤為90 000，1x10.記f(x)5,1x10，則f(x)325，當且僅當x6時，f(x)取到最大值f(6).獲得最大利潤90 000457 500(元)因此甲廠應以6千克/時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457 500元利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題(2015江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連結兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路

9、為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖202所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型圖202(1)求a，b的值；(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度解(1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點

10、P的坐標為.設在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20設g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當t(5,10)時，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當t(10，20)時，g(t)0，g(t)是增函數(shù)從而，當t10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時f(t)min15.故當t10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米規(guī)律方法利用導數(shù)解決生活中的實際應用問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各變量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)；(2)求

11、函數(shù)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使得f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回歸實際問題作答變式訓練2某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大. 【導學號：】解(1)因為x5時，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2，所以商場每日銷售該

12、商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0)”型的函數(shù)求最值常用基本不等式，但需注意其等號成立的條件，倘若等號取不到，要借助導數(shù)來求解如本題(2).變式訓練3為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求

13、最小值解(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(萬元)，當且僅當6x10，即x5時等號成立，所以當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元.課時分層訓練(二十)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)1.據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k(k0)現(xiàn)已知相距18 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和設ACx(km)(1)試將y表示為x的函數(shù)；(2)若

14、a1，且x6時，y取得最小值，試求b的值解(1)設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中k為比例系數(shù)，且k0，從而點C處受污染程度y.(2)因為a1，所以y，yk，令y0，得x，又此時x6，解得b8，經(jīng)驗證符合題意，所以，污染源B的污染強度b的值為8.2.某種商品原來每件售價為25元，年銷售量為8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入

15、50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價. 【導學號：】解(1)設每件定價為x元，依題意，有x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x25時，不等式ax25850(x2600)x有解，等價于x25時，ax有解x210(當且僅當x30時，等號成立)，a10.2.當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1.(2017南京模擬)經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價格為x(1x0)；月需求量為y2萬噸，y2x2x1.當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積(1)若a，問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？(2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍解(1)若a，由y2y1，得x2x1x2.解得40x6.因為1x14，所以1x6.