1、專(zhuān)題能力訓(xùn)練17橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)能力突破訓(xùn)練1.(2017全國(guó),理5)已知雙曲線(xiàn)C:=1(a0,b0)的一條漸近線(xiàn)方程為y=x,且與橢圓=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=12.已知M(x0,y0)是雙曲線(xiàn)C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線(xiàn)的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=15.設(shè)雙曲線(xiàn)=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線(xiàn)l交兩漸近線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若=

2、m+n(m,nR),且mn=,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A.B.C.D.6.雙曲線(xiàn)=1(a0,b0)的漸近線(xiàn)為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線(xiàn),點(diǎn)B為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.7.(2017全國(guó),理15)已知雙曲線(xiàn)C:=1(a0,b0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn).若MAN=60,則C的離心率為.8.如圖,已知拋物線(xiàn)C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)PA,PB分別與拋物線(xiàn)C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積.注:直線(xiàn)

3、與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸不平行,則稱(chēng)該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切,稱(chēng)該公共點(diǎn)為切點(diǎn).9.如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成MAB,且直線(xiàn)MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)y=x+m(m0)與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|PR|,求的取值范圍.10.已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足|=()+2.(1)求曲線(xiàn)C的方程;(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2x00,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)x2=2py(p0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|

4、,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.14.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程;(2)設(shè)M,N為拋物線(xiàn)C2:y=x2上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作拋物線(xiàn)C2的切線(xiàn)交曲線(xiàn)C1于P,Q兩點(diǎn),求MPQ面積的最大值.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓:+y2=1(a1)上的任意一點(diǎn),AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點(diǎn)),的最大值是.(1)求橢圓的方程;(2)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,過(guò)點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).在線(xiàn)段OF2上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊

5、的平行四邊形是菱形?若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案專(zhuān)題能力訓(xùn)練17橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)能力突破訓(xùn)練1.B解析由題意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程為=1.2.A解析由條件知F1(-,0),F2(,0),=(-x0,-y0),=(-x0,-y0),-30.=1,=2+2.代入得,-y00),圓的方程為x2+y2=R2.因?yàn)閨AB|=4,所以可設(shè)A(m,2).又因?yàn)閨DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是4.4.D解析根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,其坐標(biāo)為(x,y),于是有則xy=b2=12.故所求雙曲線(xiàn)

6、的方程為=1,故選D.5.C解析在y=x中令x=c,得A,B,在雙曲線(xiàn)=1中令x=c得P當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),由=m+n,得由(舍去),e=同理,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),e=故該雙曲線(xiàn)的離心率為6.2解析四邊形OABC是正方形,AOB=45,不妨設(shè)直線(xiàn)OA的方程即雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程為y=x=1,即a=b.又|OB|=2,c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.7解析如圖所示,由題意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=b,|OP|=設(shè)雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)y=x的傾斜角為,則tan=又tan=,解得a2=3b2,e=8.解(1)由題意知直線(xiàn)PA的斜率存

7、在,故可設(shè)直線(xiàn)PA的方程為y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直線(xiàn)PA與拋物線(xiàn)相切,得k=t.因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線(xiàn)PD對(duì)稱(chēng),故解得因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)由(1)知|AP|=t和直線(xiàn)PA的方程tx-y-t2=0.點(diǎn)B到直線(xiàn)PA的距離是d=設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)=|AP|d=9.解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x=-1時(shí),直線(xiàn)MA的斜率不存在;當(dāng)x=1時(shí),直線(xiàn)MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此時(shí),MA的斜率為,MB的斜率為由題意,有=4.整理,得

8、4x2-y2-4=0.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.對(duì)于方程,其判別式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而當(dāng)1或-1為方程的根時(shí),m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)(m0)可知,m0,且m1.設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因?yàn)閨PQ|PR|,所以|xQ|1,且2,所以11+3,且1+,所以12=|BC|,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓,其中2a=2,2c=2.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為=1.(2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-

9、t2.聯(lián)立方程組消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,點(diǎn)M到PQ的高為h=,由SMPQ=|PQ|h代入化簡(jiǎn),得SMPQ=,當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí),SMPQ可取最大值15.解(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則+y2=1.連接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y-1,1.因?yàn)閍1,所以當(dāng)y=-1,即1-1,即a3時(shí),的最大值是,由條件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則滿(mǎn)足=1,=1,兩式相減,整理,得=-=-,從而直線(xiàn)PQ的方程為y-y0=-(x-x0).又右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)是(2,0),將點(diǎn)F2的坐標(biāo)代入PQ的方程得-y0=-(2-x0)