1、2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值考綱展示1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會(huì)利用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).考點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是_自左向右看圖象是_答案：f(x1)f(x2)上升的下降的(1)教材習(xí)題改編函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則()AkBkDk答案：D(2)教材習(xí)題改編當(dāng)k1，即a0，

2、故0a1.(2)2017廣東佛山聯(lián)考試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性解解法一(定義法)：設(shè)1x1x20時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0得x2，又ux2x2在(，1)上為減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù)，ylogu為減函數(shù)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)，故選C.(2)求函數(shù)yx22|x|1的單調(diào)區(qū)間解由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)題點(diǎn)發(fā)散1若將本例(2)中函數(shù)變?yōu)椤癴(x)|x22x1|”，如何求解？解：函數(shù)y|x22

3、x1|的圖象如圖所示由圖象可知，函數(shù)y|x22x1|的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，1)和(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)和(1,1)題點(diǎn)發(fā)散2若將本例(2)中函數(shù)變?yōu)椤癴(x)”，如何求解？解：由x22|x|10，得1|x|1，又|x|0，0|x|1，即1x1.根據(jù)函數(shù)圖象可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1,1 點(diǎn)石成金1.確定有解析式的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三種方法提醒單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)2求復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本

4、初等函數(shù)yf(u)，ug(x)(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增同減，則yf(g(x)為增函數(shù)；若一增一減，則yf(g(x)為減函數(shù)，即“同增異減”.2017天津模擬函數(shù)yf(x)(xR)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)f(logax)(0a1)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.B，1C(，0)D， 答案：B解析：由圖象知f(x)在(，0和上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增又0a1時(shí)，ylogax為(0，)上的減函數(shù)，所以要使g(x)f(logax)單調(diào)遞減，需要logax，即0logax，解得x，1，故選B.考點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿

5、足條件(1)對(duì)于任意的xI，都有_；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)對(duì)于任意的xI，都有_；(4)存在x0I，使得f(x0)M結(jié)論M為最大值M為最小值答案：(1)f(x)M(3)f(x)M考情聚焦高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也應(yīng)用于解答題的某一問中主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一利用函數(shù)的單調(diào)性求最值典題3(1)函數(shù)f(x)的最大值為_答案2解析當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)xx11時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac答案D解析因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱由此可得ff .由x2

6、x11時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上單調(diào)遞減12ff(e)，bac.角度三利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式典題5f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，當(dāng)f(x)f(x8)2時(shí)，x的取值范圍是()A(8，)B(8,9C8,9D(0,8)答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得f(x(x8)f(9)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得8x9.角度四利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值典題6(1)2017湖南師大附中月考已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是()A3,0)B

7、(，2C3，2D(，0)答案C解析由題設(shè)可得解得3a2，故選C.(2)已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1x2，都有0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，2)BC(，2D答案B解析由題意可知，函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，于是有由此解得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)石成金函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解不等式在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域(3)利用單調(diào)性求參數(shù)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，

8、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集區(qū)間上也是單調(diào)的(4)利用單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值方法技巧1.利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值；(2)作差；(3)變形；(4)定號(hào)；(5)下結(jié)論2判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法(1)定義法；(2)復(fù)合法：同增異減；(3)導(dǎo)數(shù)法；(4)圖象法3設(shè)任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函數(shù)；0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是減函數(shù)易錯(cuò)防范1.區(qū)分兩個(gè)概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單

9、調(diào)”，前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集2若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個(gè)區(qū)間要分開寫，不能寫成并集 真題演練集訓(xùn) 12014北京卷下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案：A解析：A項(xiàng)，函數(shù)y在1，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0，)上為增函數(shù)，故正確；B項(xiàng)，函數(shù)y(x1)2在(，1)上為減函數(shù)，在1，)上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，函數(shù)y2xx在R上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，函數(shù)ylog0.5(x1)在(1，)上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤22014陜西卷下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)

10、遞增函數(shù)是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x)xDf(x)3x答案：D解析：根據(jù)各選項(xiàng)知，選項(xiàng)C，D中的指數(shù)函數(shù)滿足f(xy)f(x)f(y)又f(x)3x是增函數(shù)，故選D.32015天津卷已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBacbCcabDcba答案：C解析：由f(x)2|x m|1是偶函數(shù)可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12|log23|12，bf(log25)2|log25|12|log25|14，cf(0)2|0

11、|10，所以ca0，則x的取值范圍是_答案：(1,3)解析：由題可知，當(dāng)2x0.f(x1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若f(x1)0，則1x0時(shí)，2x0，得x1，f(x)0，得12，解得a0時(shí)，f(x)1.(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；(2)若f(1)1，解關(guān)于x的不等式f(x22x)f(1x)4.審題視角(1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義借助于賦值法比較出f(x2)與f(x1)的大小(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本小題的切入點(diǎn)要構(gòu)造出f(M)f(N)的形式解(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，則x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4，得f(x2x1)f(3)，又函數(shù)f(x)在R